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九上数学第四章：相似三角形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知，那么下列等式中，不一定正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，△ABC的两条中线BE，CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1:S2等于 ( )
A.1:4 B.2:3 C.1:3 D.1:2
3.如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，,,
则( )
A. B. C. D.
4.如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
5.如图，在正三角形ABC中，分别在AC，AB上，且，，则有（ ）
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
6.如图，已知△ADE∽△ACB，AB=10,AC=8,AD=4，则AE的长是（ ）
A.5 B.6 C.15 D.20
7.如图，点分别是的边上的点,的延长线与的延长线相交于点A，交于点， 则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图分别为矩形的边的中点，若矩形与矩形相似,，则矩形的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
10.如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________
12.已知，则
13.如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是______________
14.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为
15.如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O ， AO＝CO ， CD⊥BD ， 如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
18.（本题8分）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE＝∠B．
求证：（1）△ABD∽△ADE；（2）AD2＝AE AB．
19（本题8分）.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.
⑴当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB？
⑵当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.
20（本题10分）如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．（1）求证：△ADE∽△CDA．（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
21(本题10分）如图，在中，在上，，．
（1）求证：∽；（2）若，求的值．
22.(本题12分）如图，在正方形中，点在边上，连接的平分线与边交于点，与的延长线交于点．设．
（1）若，求线段的长．（2）连接，若．①求证：点为边的中点．
23．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
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九上数学第四章：相似三角形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵，
∴或或，
故B选项错误，故选择：B
2.答案：A
解析：∵BE和CD分别是中线，
∴DE是中位线，
∴,
∴,
故选择：A
3.答案：A
解析：∵，∴,
∴,
∵,
∴,∴,
∴,
故选择：A
4.答案：A
解析：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
5.答案：B
解析：.由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE＝BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A不符合题意；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也不符合题意；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也不符合题意；
故答案为：B．
6.答案：A
解析：∵△ADE∽△ACB，
∴,
∵,
∴,∴,
故选择：A
7.答案：C
解析：∵交GA于点E，
， ， ，，
所以，A，B，D符合题意，
故答案为：C．
8.答案：D
解析：∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴，即，
解得，，
∴矩形ABCD的面积＝AB AD＝，
故答案为：D ．
9.答案：C
解析：过D作交BF于H，
∵D是中点，∴H是BF的中点，
∴DH是中位线，
∴.
∵,
∴△DHE∽△AFE,
∴,
∴,
∴
∴,
故选择：C
10.答案：A
解析：过点C作的延长线于点，
与是等高三角形，
,
∴
设
，
故选：A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，
那么这两个三角形的面积比是
12.答案：
解析：设
∴，
∴
13.答案：
解析：∵D,E分别是中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴,,
∴∽,
∴,
∵,
∴,
∴,∴
14.答案：
解析：∵BC＝AB＝3BD，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴,
∴AD:AC＝,
故答案为：．
15.答案：
解析：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴，
∴AD+BE=AB-DE==，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE==，
在△BEF中，，
即，
解得：x=或（舍），
∴EF=，
故答案为：．
16.答案：
解析：过点A作AE⊥BD ，
∵CD⊥BD ， AE⊥BD ，
∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO ， ∠COD＝∠AOE ，
∴△AOE≌△COD（AAS）
∴CD＝AE＝3，
∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，
∴DB＝，
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△BCD ，
∴，∴，
∴AB＝．
故答案为:
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得
18.解析：（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠ADE＝∠B．
∴△ABD∽△ADE；
（2）∵△ABD∽△ADE，
∴
∴．
19.解析：⑴∵△PCD是等边三角形
∴∠PCD＝∠PDC＝60°PC＝PD＝CD
∴∠PCA＝∠PDB＝120°
∴当AC、CD、DB满足CD2＝AC·BD
⑵当△ACP∽△PDB时 由∠A＝∠BPD，∠B＝∠APC
∴∠PCD＝∠A＋∠APC＝60°＝∠A＋∠B
∠PDC＝∠B＋∠BPD＝60°
∴∠APB＝60°＋∠APC＋∠BPD＝60°＋60°－∠A＋∠60°－∠B
＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－60°＝120°
20.解析：（1）∵点D是的中点，
∴,
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D是的中点，
∴AD＝BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA，
∴，即AD2＝CD ED，
∴，
∴CD2﹣2CD﹣48＝0，解得CD＝8或﹣6．
∴CD＝8．
21.解析：（1）∵,
∴△CDF∽△CAB,
∵,
∴△ADE∽△ACB,
∴△DFC∽△AED,
(2)∵,
∴,∴
∵△DFC∽△AED,
∴
22.解析：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG=∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG，
∴∠EAG=∠F，
∴EA=EF，
∵AB=2，∠B=90°，
∴BE=EC=1，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵EA=EF，EG⊥AF，
∴AG=FG，
在△ADG和△FCG中
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴DG=CG，
即点G为CD的中点；
②设CD=2m，则CG=m，
由①知，CF=DA=2m，
∵EG⊥AF，∠GCF=90°，
∴∠EGC+∠CGF=90°，∠F+∠CGF=90°，∠ECG=∠GCF=90°，
∴∠EGC=∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC=m，FC=2m，
∴，
∴，
∴，
∴．
23.解析：（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac
∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），
∴c＝8．
∴
∴
＝，
∵，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
（2）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1﹣．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB AB＝（1+ ）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
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