浙教版2021年九年级上册第4章《相似三角形》单元练习题（Word版含解析）

浙教版2021年九年级上册第4章《相似三角形》单元练习题
一、选择题
1．身高为1.8m的墨墨站在离路灯底部6m处时发现自己的影长恰好为2m，如图所示，则该路灯的高度是（　　）.
A．5.4m B．6m C．7.2m D．8m
2．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（ ）
A．AB2＝BCBD B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD D．ABAC＝ADBC
3．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，正确的个数是（ ）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
7．如图，在中，，于，，，则为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．已知，那么的值为______．
9．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是________．
10．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有△ABC∽△AED．
11．已知在中，点、分别在和上，，，，要使和平行，那么________．
12．如图，已知 ，如果AB： ：3, ，则EF的长是______．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），（6，2）．
若△ABC的面积为m，则△的面积（用含m的代数式表示）是________
14．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.
三、解答题
15．如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高．
16．已知， 求的值．
17．如图，，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．
18．如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
19．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
20．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
参考答案
1．C
【分析】
如图，设AB为小亮，CD为路灯，DB＝10米，利用相似三角形求得CD的长即可．
【详解】
如图，AB＝1.8m，DB＝6米，BE＝2米．
∵△EAB∽△ECD，∴，即：，解得：CD＝7.2米．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，根据题意画出图形，构造出相似三角形是解答此题的关键．
2．B
【分析】
根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】
∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选B.
3．C
【解析】
∵AB//CD，∴ ，故A、D选项错误；
∵AB//CD，∴△AEF∽△DEC，∴，故B选项错误；
∵AB=CD，，∴，故C选项正确，
故选C.
4．D
【详解】
试题分析：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∴，， ，
所以A、B、C正确；
∵DE∥BC，
∴△AEN∽△ACM，
∴，
∴，
所以D错误．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．
5．B
【分析】
根据相似三角形的判定定理，依次判定各结论的正确与否．
【详解】
解：①∵等边三角形的各角都是60°，∴等边三角形都相似；①正确；
②∵直角三角形的直角相等，但两个锐角不一定相等，∴直角三角形不一定相似；②错误；
③∵等腰三角形的顶角不一定相等，则底角也不一定相等，∴等腰三角形不一定相似；③错误；
④锐角三角形不一定都相似，④错误；
⑤等腰三角形不一定都全等； ⑤错误；
⑥有一个角相等的等腰三角形相似不一定相似：如30°，30°，120°的等腰三角形和30°，75°，75°的两个等腰三角形就不相似；⑥错误；
⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；因为钝角只能是顶角，所以底角也相等，所以相似，⑦正确；
⑧∵全等三角形是相似比等于1的情况，属于相似；∴全等三角形都相似．⑧正确．
综上，正确的结论有3个．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，会熟练运用有两角对应相等的三角形相似的判定定理是解本题的关键．
6．A
【分析】
利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】
∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
7．B
【分析】
根据已知条件证明△BAC∽△ADC，由相似三角形的性质可得，代入数据求得AC的长即可.
【详解】
解：∵∠BAC=∠ADC=90°，∠C=∠C，
∴△BAC∽△ADC，
∴，
即，
解得AC=6.
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△BAC∽△ADC是解决问题的关键.
8．
【详解】
试题解析：∵，
∴
故答案为
9．2：3
【分析】
根据相似多边形周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方解答即可．
【详解】
∵两个相似多边形面积比为4：9，∴两个相似多边形相似比为2：3，∴两个相似多边形周长比为2：3．
故答案为2：3．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
10．∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=
【分析】
由于∠D≠∠B，∠DAE＝∠CAB，则∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED．
【详解】
∵DE与BC不平行，∴∠D≠∠B，而∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED．
当时，△ABC∽△AED．
故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
11．2
【分析】
求出,根据相似三角形的判定得出△BED~△BCA,推出∠BED=∠C,根据平行线的判定得出即可.
【详解】
解：如图：
AD=2,DB=1,AB=2+1=3,
BC=6,BE=2,
,△BED~△BCA,
∠BED=∠C,
DE∥AC.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定,平行线的判定的应用,能推出△BED~△BCA是解此题的关键.
12．6
【解析】
已知，根据平行线分线段成比例定理可得AB：BC=DE:EF=2:3,又因，即可求得EF=6.故答案为6.
点睛：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.
13．4m
【详解】
∵△ABC与△的相似比为1:2，
∴，∴ ，
∴ ，
故答案为4m．
14．．
【分析】
由等边三角形的性质结合条件可证明△ABP∽△PCD，由相似三角形的性质可求得CD．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴，
∴CD=．
答案为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件能找到∠BAP=∠DPC是解题的关键，注意三角形外角性质的灵活运用．
15．此树高为14米．
【分析】
先证明△ABE∽△ADC，然后利用相似比可直接计算CD的长．
【详解】
∵ CD⊥AD，EB⊥AD，
∴ EB∥CD.
∴ △ABE∽△ADC．
∴ ．
∵ EB=2，AB=3，AD=21，
∴ ．
∴ CD=14．
答：此树高为14米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度；借助标杆或直尺测量物体的高度．
16．.
【解析】
【分析】
设比值为，然后用表示出、、，再把、、的值代入代数式进行计算即可得到答案．
【详解】
设，∴，
∴
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出、、是解题的关键．
17．24, 20
【详解】
试题分析：根据线段之间的比值得出相似三角形的周长之比，然后根据相似三角形的周长之差分别求出两个三角形的周长．
试题解析：∵＝＝＝，∴＝，即＝.
又C△ABC－C△ADE＝4，∴C△ABC＝24，C△ADE＝20.
18．MN的长为或3.
【解析】
【分析】
先根据M是AB的中点得出AM＝2，再分△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【详解】
①图1,作MN∥BC交AC于点N,则△AMN∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=4，
∴AM=2，
∵BC=9，
∴,
∴;
②图2,作∠ANM=∠B,则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点,AB=4，
∴AM=2，
∵BC=9，AC=6，
∴
∴MN=3，
∴MN的长为或3.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例．
19．（1）证明见解析；（2）15
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因为∠AEB=∠C=90°，所以可证△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．
【详解】
（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得 ，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴ ，
∴BE=20，
∴AE==15．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】
（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
考点：相似三角形的判定