第4章《相似三角形》单元测试卷（含详解）
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浙教版2021年九年级（上）数学第四章《相似三角形》单元测试卷
（满分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知，那么下列等式中正确的是（ ）
A．2a＝5b B．a+b＝7 C．a＝5，b＝2 D．
2．下面四条线段中成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
第3题图 第4题图 第7题图 第8题图
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
6．一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
9．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
10．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．已知线段a＝2cm，c＝8cm，则线段a、c的比例中项是 cm．
12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是 ．
13．如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为 ．
第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD BC的值为10，则DE的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，过B点作射线BD⊥AB，P是BC上一动点，连接AP，作PQ⊥AP，交射线BD于Q，设AP为x，PQ为y，则y与x的函数关系式为 ．
16．图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为0.8厘米，挡位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E挡时，点G离水平面的距离GH为
厘米；当支架从E挡调到F挡时，点D离水平面的距离下降了 厘米．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（本题6分）若，且3x﹣2y+z＝18，求x+5y﹣3z的值．
18．（本题6分）某市为了丰富市民的业余文化生活，决定在市中心修建一座文化娱乐活动中心，设计规定正面是一黄金矩形ABCD，如图所示，宽BC＝50m，问它的长AB约是多少？（精确到0.001）
19．（本题6分）如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
（本题8分）已知，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD.
求证：△ABC∽△BEC．
21．（本题8分）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝1.8m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
22．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N．
（1）求证：△BCP∽△MAN；
（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来．
23．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
24．（本题12分）画图题：在5×5的网格中画图（用实线画出图形；小正方形的顶点为格点，顶点在格点处的多边形称为格点多边形）
（1）在图1中，点P为格点，画出一个以点P为重心的格点三角形．
（2）在图2中，A，B，C，D为格点，画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，且相似比为无理数．
（3）在图3中，A，B，C是格点，直角三角板PQR（∠P＝90°）可以运动，但A，B两点始终分别在两条直角边上，画出使CP最大的点P的位置，并用字母P′标注（保留画图痕迹）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵，∴2a＝5b．
故选：A．
2．解：A、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
B、3×12≠6×9，故本选项不符合题意；
C、1×＝×，故本选项符合题意；
D、1×6≠2×4，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB的长度为10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：A．
4．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得，DE＝，
故选：D．
5．解：设另一个三角形的周长为x，则
4:x＝1:2，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
6．解：设五边形A1B1C1D1E1的最短边长为m．
由相似多边形的性质可知：，
∴m＝4，
故选：C．
7．解：∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∴．
∴A选项正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB．
∵BE：BC＝2：3，
∴．
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF．
∴
∴
∴B选项错误；
∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∵AD＝BC＝3k，
∴
∴C选项正确；
∵BE：BC＝2：3，
∵AD＝BC，
∴
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF．
∴
∴D选项正确．
综上，错误的选项为：B．
故选：B．
8．解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：﹣6：3＝﹣2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：（﹣2）2：1＝4：1．
故选：D．
9．解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴，
∴
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
10．解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：设线段b是a、c的比例中项，
∵线段a＝2cm，c＝8cm，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
∴b1＝4，b2＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
12．解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的面积比是52：22，
即这两个多边形的面积比是25：4，
故答案为：25：4．
13．解：∵AB∥CD∥EF，
∴
∴BE＝＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故答案为4．
14．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即AD BC＝AB DE，
∵AB＝5，AD BC＝10，
∴DE＝2．
故答案为：2．
15．解：如图，连接AQ，
∵AP⊥PQ，AB⊥BQ，
∴∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴点A，点P，点B，点Q四点共圆，
∴∠AQP＝∠ABC，
又∵∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△AQP，
∴
∴
∴y＝2x，
故答案为：y＝2x．
16．解：如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，
∴BK＝KE＝2（cm），
∴OK＝（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴
∴
∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），
∴（cm），
∵DT∥GH，
∴
∴
∴GH＝（cm）
如图3﹣1中，当支架调到F档时，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，
∴BK＝KF＝2.4（cm），
∴OK＝（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴
∴
∴DT＝（cm），
∵3.6﹣＝（cm），
∴点D离水平面的距离下降了cm，
故答案为，．
三．解答题（共8小题）
17．解：设，则
x＝3k，y＝4k，z＝5k，
又∵3x﹣2y+z＝18，
∴9k﹣8k+5k＝18，
∴k＝3，
∴x＝9，y＝12，z＝15．
∴x+5y﹣3z＝9+5×12﹣3×15＝24．
18．解：∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴BC＝AB，
∴AB＝50÷≈80.902．
即它的长AB约是80.902．
19．解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵△ABD∽△ACE，
∴，∠BAD＝∠CAE，
∴，∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝70°．
20．证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∴∠DAC＝∠CDE，∠BDC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠DCE＝∠ACD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC．
21．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝1.8米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴
∴，
解得：CH＝4.9米，
∴DC＝CH+DH＝4.9+1.5＝6.4米，即树高6.4米．
22．（1）证明：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°．
∴∠A＝∠BCD，
又∵MN⊥BM，AC⊥BC，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，∠CBM+∠BMC＝90°，
∴∠AMN＝∠CBM，
∴△BCP∽△MAN；
（2）有，它们分别是：△ACD∽△ABC，△ACD∽△BCD，△BCD∽△ABC，△BDP∽△BMN．
23．解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t （10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴，即，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴，即，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
24．解：（1）如图1中，△ABC即为所求：
（2）四边形A′B′C′D′即为所求，相似比为．
（3）以AB为直径作⊙O，连接CO延长CO交⊙O于P′，点P′即为所求；
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浙教版2021年九年级（上）数学第四章《相似三角形》单元测试卷
（满分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知，那么下列等式中正确的是（ ）
A．2a＝5b B．a+b＝7 C．a＝5，b＝2 D．
2．下面四条线段中成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
第3题图 第4题图 第7题图 第8题图
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AC＝11，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
6．一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
9．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
10．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．已知线段a＝2cm，c＝8cm，则线段a、c的比例中项是 cm．
12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是 ．
13．如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为 ．
第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD BC的值为10，则DE的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，过B点作射线BD⊥AB，P是BC上一动点，连接AP，作PQ⊥AP，交射线BD于Q，设AP为x，PQ为y，则y与x的函数关系式为 ．
16．图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为0.8厘米，挡位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E挡时，点G离水平面的距离GH为
厘米；当支架从E挡调到F挡时，点D离水平面的距离下降了 厘米．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（本题6分）若，且3x﹣2y+z＝18，求x+5y﹣3z的值．
18．（本题6分）某市为了丰富市民的业余文化生活，决定在市中心修建一座文化娱乐活动中心，设计规定正面是一黄金矩形ABCD，如图所示，宽BC＝50m，问它的长AB约是多少？（精确到0.001）
19．（本题6分）如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
（本题8分）已知，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD.
求证：△ABC∽△BEC．
21．（本题8分）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝1.8m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
22．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N．
（1）求证：△BCP∽△MAN；
（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来．
23．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
24．（本题12分）画图题：在5×5的网格中画图（用实线画出图形；小正方形的顶点为格点，顶点在格点处的多边形称为格点多边形）
（1）在图1中，点P为格点，画出一个以点P为重心的格点三角形．
（2）在图2中，A，B，C，D为格点，画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，且相似比为无理数．
（3）在图3中，A，B，C是格点，直角三角板PQR（∠P＝90°）可以运动，但A，B两点始终分别在两条直角边上，画出使CP最大的点P的位置，并用字母P′标注（保留画图痕迹）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵，∴2a＝5b．
故选：A．
2．解：A、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
B、3×12≠6×9，故本选项不符合题意；
C、1×＝×，故本选项符合题意；
D、1×6≠2×4，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB的长度为10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：A．
4．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得，DE＝，
故选：D．
5．解：设另一个三角形的周长为x，则
4:x＝1:2，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
6．解：设五边形A1B1C1D1E1的最短边长为m．
由相似多边形的性质可知：，
∴m＝4，
故选：C．
7．解：∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∴．
∴A选项正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB．
∵BE：BC＝2：3，
∴．
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF．
∴
∴
∴B选项错误；
∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∵AD＝BC＝3k，
∴
∴C选项正确；
∵BE：BC＝2：3，
∵AD＝BC，
∴
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF．
∴
∴D选项正确．
综上，错误的选项为：B．
故选：B．
8．解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：﹣6：3＝﹣2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：（﹣2）2：1＝4：1．
故选：D．
9．解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴，
∴
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
10．解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：设线段b是a、c的比例中项，
∵线段a＝2cm，c＝8cm，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
∴b1＝4，b2＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
12．解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的面积比是52：22，
即这两个多边形的面积比是25：4，
故答案为：25：4．
13．解：∵AB∥CD∥EF，
∴
∴BE＝＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，
故答案为4．
14．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即AD BC＝AB DE，
∵AB＝5，AD BC＝10，
∴DE＝2．
故答案为：2．
15．解：如图，连接AQ，
∵AP⊥PQ，AB⊥BQ，
∴∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴点A，点P，点B，点Q四点共圆，
∴∠AQP＝∠ABC，
又∵∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△AQP，
∴
∴
∴y＝2x，
故答案为：y＝2x．
16．解：如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，
∴BK＝KE＝2（cm），
∴OK＝（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴
∴
∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），
∴（cm），
∵DT∥GH，
∴
∴
∴GH＝（cm）
如图3﹣1中，当支架调到F档时，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，
∴BK＝KF＝2.4（cm），
∴OK＝（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴
∴
∴DT＝（cm），
∵3.6﹣＝（cm），
∴点D离水平面的距离下降了cm，
故答案为，．
三．解答题（共8小题）
17．解：设，则
x＝3k，y＝4k，z＝5k，
又∵3x﹣2y+z＝18，
∴9k﹣8k+5k＝18，
∴k＝3，
∴x＝9，y＝12，z＝15．
∴x+5y﹣3z＝9+5×12﹣3×15＝24．
18．解：∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴BC＝AB，
∴AB＝50÷≈80.902．
即它的长AB约是80.902．
19．解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵△ABD∽△ACE，
∴，∠BAD＝∠CAE，
∴，∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝70°．
20．证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∴∠DAC＝∠CDE，∠BDC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠DCE＝∠ACD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC．
21．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝1.8米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴
∴，
解得：CH＝4.9米，
∴DC＝CH+DH＝4.9+1.5＝6.4米，即树高6.4米．
22．（1）证明：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°．
∴∠A＝∠BCD，
又∵MN⊥BM，AC⊥BC，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，∠CBM+∠BMC＝90°，
∴∠AMN＝∠CBM，
∴△BCP∽△MAN；
（2）有，它们分别是：△ACD∽△ABC，△ACD∽△BCD，△BCD∽△ABC，△BDP∽△BMN．
23．解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t （10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴，即，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴，即，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
24．解：（1）如图1中，△ABC即为所求：
（2）四边形A′B′C′D′即为所求，相似比为．
（3）以AB为直径作⊙O，连接CO延长CO交⊙O于P′，点P′即为所求；
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