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2021-2022学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一，选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．(本题3分)（2021·浙江·金华市第五中学九年级月考）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据比例式，设a=5k，b=8k，代入分式，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴设a=5k，b=8k，（k≠0），
∴= ，
故选A．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质，掌握设k值法是解题的关键．
2．(本题3分)（2019·浙江杭州·九年级期末）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】
解：∵，，
∴AB=AH＋HB=3
∵
∴
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．
3．(本题3分)（2020·浙江浙江·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】
解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
4．(本题3分)（2019·浙江瑞安·九年级期末）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为
A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【详解】
设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得：，
解得：，
即另一个三角形的最短边的长为6cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，
因为，所以A选项中的三角形与△ABC相似．
故选：A．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
6．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，得出方程4x-y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．
【详解】
解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB-BE=4x-y，
∴4x-y=x+y，
解得：x=y，
∴AE=y，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键，学会利用参数解决问题．
7．(本题3分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，在矩形中，点，，分别在边，，上，四边形由两个正方形组成，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质可得∠B=∠A=90°，∠FEH=90°，∠EFG=90°，可证∠BFE=∠AEH，△BEF∽△AHE，可得，求出AE，根据勾股定理EH=，再证△GFC∽△BEF，根据相似传递性△GFC∽△AHE，即即可，
【详解】
解：在矩形中，∠B=∠A=90°，四边形由两个正方形组成是矩形
∴∠FEH=90°，∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH，
∴△BEF∽△AHE，
∴，
∴，
∴AE=1，
在Rt△AEH中，AE=1，AH=2，
EH=，
∵∠FGC=∠GFE=90°，
∴∠CFG+∠FCG=∠CFG+∠BFE，
∴△GFC∽△BEF，
∵△BEF∽△AHE，
∴△GFC∽△AHE，
∴，
∵EH=FG=，
∴即，
∴BC=BF+FC=2+4.5．
故选择B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，正方形性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握矩形的性质，正方形性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理是解题关键．
8．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y=（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【详解】
解：（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y=DA=BC=4（0≤x≤3）；
（2）如图1，当点P在BC上移动时，连接AC，
∵AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠PAB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠ADE，
在△PAB和△ADE中，
，
∴△PAB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y=（3＜x≤5）．
综上，可得y关于x的函数大致图象是D．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
9．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D．－1
【答案】A
【分析】
先根据题意找到点E的运动轨迹是在的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，由此可得点E在OP与 P的交点处时，OE取得最小值，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，
∴，
∴的大小和形状是唯一的，
设∠B＝α，
∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝α，
∵CE⊥DC，
∴∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，
∴∠AEC的度数为定值90°＋α，
∴如图，点E在的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，
∵∠AEC＝90°＋α，
∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，
∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA＝＝α，
∵∠ACB＝90°，∠B＝α，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC，
∴，
∴∠AOP＝∠B，
∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，
∴，
∴，
∵直径AB＝5，
∴半径OA＝，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
∴OE的最小值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，找到点E的运动轨迹是解决本题的关键．
10．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
如图所示，连接OC，先证明△ADC∽△ACB，得到，则，，，，然后证明AD∥OC，得到△OCE∽△DAE，则．
【详解】
解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二，填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．(本题3分)（2021·浙江瓯海·三模）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，点C在线段OA上，则点C的坐标为___．
【答案】（2，1）
【分析】
根据关于原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标分别乘以，得到C点坐标．
【详解】
解：∵点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，且A（6，3），
∴C点坐标为，即（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
12．(本题3分)（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．
【答案】
【分析】
根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．
【详解】
解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
13．(本题3分)（2018·浙江温州·九年级期末）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AB交BC于点D，交AC于点E，若AB的长度为6，则DE的长度为_____．
【答案】4
【分析】
连接CP并延长交AB于F，由重心的性质得，CP：PF＝2：1．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】
解：连接CP并延长交AB于F，由重心的性质得，CP：PF＝2：1．
∵DE∥AB，
∴CD：DB＝CP：PF＝2：1，
∴CD：CB＝2：3，
∴＝＝，
∵AB＝6，
∴DE＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握三角形重心的概念和性质，准确作出辅助线是解题的关键．
14．(本题3分)（2019·浙江三门·中考模拟）如图，矩形ABCD周长为30，经过矩形对称中心O的直线分别交AD，BC于点E，F．将矩形沿直线EF翻折，A′B′分别交AD，CD于点M，N，B'F交CD于点G．若MN：EM＝1：2，则△DMN的周长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质得到AE＝CF，ED＝BF，根据折叠的性质得到A′E＝AE，B′F＝BF，得到CF＝A′E，根据全等三角形的性质得到EM＝FG，MN＝NG，求得CF+CD+DE＝15，根据相似三角形的性质得到＝2，设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′M＝2y，于是得到结论．
【详解】
解：∵EF 过矩形对称中心O，
∴AE＝CF，ED＝BF，
∵将矩形沿直线EF翻折，
∴A′E＝AE，B′F＝BF，
∴CF＝A′E，
∵∠A′＝∠B′＝∠D＝∠C＝90°，
∵∠A′ME＝∠DMN，∠DNM＝∠B′NG，∠B′GN＝∠CGF，
∴∠A′EM＝∠CFG，
∴△A′ME≌△CGF(ASA)，
∴EM＝FG，
同理△DMN≌△B′NG，
∴MN＝NG，
∵矩形ABCD周长为30，
∴CF+CD+DE＝15，
∵∠A′＝∠D＝90°，∠A′ME＝∠DMN，
∴△A′EM∽△DNM，
∴ ＝ ＝ ＝2，
设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′M＝2y，
∴CF＝CG＝2y，NG＝MN＝x，
∴2y+x+y+2x＝15，
∴x+y＝5，
∴△DMN的周长为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查中心对称，矩形的性质．折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．(本题3分)（2019·浙江秀洲·中考模拟）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
【答案】.
【分析】
直径所对应的的圆周角为90°，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用C点为半圆的中点判断出ΔABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的值，最后利用三角形相似，对应边成比例求出DE的长度.
【详解】
∵ 点C为半圆的中点 ，∴AC=BC,∵ AB是直径 ,∴∠C=∠D=90°,在Rt△ADB中， AD=1，BD=7 ，∴AB=5,在等腰Rt△ACB中，∴AC=BC=5,∵∠CBE=∠CAD,∠C=∠D,∴△ADE∽△BCE，∴=， 即=,∴CE=5DE,∴BE=7-DE,在Rt△CEB中,利用勾股定理得：52+（5DE）2=(7-DE)2,解得 :DE=-(舍去）或DE=， ∴CE=
故答案为.
【点睛】
直径所对的圆周角等于90°；两个角对应相等的三角形相似，相似三角形线段成比例；勾股定理.
16．(本题3分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________．
【答案】##
【分析】
先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，解得，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
17．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点，若边长，则的面积为________．
【答案】20
【分析】
取CD的中点F，连接BF、BE、EF，然后根据相似三角形的判定与性质，可以得到DE和CE的值，从而可以求得△CDE的面积．
【详解】
解：取CD的中点F，连接BF、BE、EF，
由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，
∴BF是EC的垂直平分线，
∴∠FBC＋∠BCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCE＋∠BCE＝90°，
∴∠FBC＝∠DCE，
又∵∠BCF＝∠CED＝90°，
∴△BCF∽△CED，
∴，
∵BC＝10，CD＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，
∴BF＝，
∴，
解得CE＝4，ED＝2，
∴△CDE的面积为：＝20，
故填：20．
【点睛】
本题考查圆的有关计算、勾股定理、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三，解答题（本大题共6小题，共49分.）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
18．(本题7分)（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】
（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19．(本题7分)（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段． 如图， 在的方格纸中， 有一格 点线段， 按要求画图．
（1）请在图1中画一条格点线段 将 平分．
（2）请在图2中画一条格点线段 ， 将 分为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）在网格中找到格点，连接，使得四边形为矩形，由矩形的性质可得，线段将平分；
（2）在网格中找到格点，连接，使得且，根据相似三角形的性质，可得将分为，即可求解．
【详解】
解：（1）在网格中找到格点，连接，使得四边形为矩形，由矩形的性质可得，线段将平分，如图，线段即为所求
（2）在网格中找到格点，连接，使得且，根据相似三角形的性质，可得将分为，如图，线段即为所求
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．(本题8分)（2021·浙江余杭·二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）设，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明△AED∽△ABC．
（2）根据相似三角形的性质∠AED＝∠B，结合已知条件AF平分∠BAC，判定△ADG∽△ACF，在结合已知条件，可以进行计算．
【详解】
（1）∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定．相似三角形的对应边成比例，解答本题，要找到两组对应角相等，灵活运用是关键．
21．(本题8分)（2021·浙江平阳·九年级期中）如图，在平面直角坐标系内有一正方形，点C坐标为，点D为的中点，直线经过点C，D并交x轴于点E，沿着折叠，顶点B恰好落在边上方F处，连接，点P为直线上的一动点，点Q是线段BE的中点．连接，．
（1）求点F的坐标；
（2）求出点P运动过程中，的最小值；
（3）是否存在点P，使其在运动过程中满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）F的坐标为；（2）；（3）存在，点P坐标（4，2）或
【分析】
（1）过点F作y轴的垂线，交y轴于点M，交AB于点N，可得出△CFM∽△FDN，设DN=t，则FM=2t，所以FN=4-2t，CM=8-4t，OM=4t-4，最后利用勾股定理可建立等式，求解即可；
（2）求出点A关于直线CD的对称点，即可求得PO+PA的最小值；
（3）分情况讨论，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）在正方形OABC中，点C（0，4），
∴OC=OA=BC=AB=4，
∴A（4，0），B（4，4），
∵点D是AB的中点，
∴D（4，2），BD=AD=2，
∵直线经过点C，D并交江轴于点E，
∴E（8，0），
∵点Q是BE的中点，
∴Q（6，2）.
如图，过点F作y轴的垂线，交y轴于点M，交AB于点N，
∴∠CMF=∠DNF=90°，
∴∠DFN+∠FDN=90°，
由折叠可知，BC=CF=4，BD=DF=2，∠CFD=∠CBD=90°，
∴∠CFM+∠DFN=90°，
∴∠CFM=∠FDN，
∴△CFM∽△FDN，
∴CM∶FN=MF∶ND=CF∶DF=2∶1，
设DN=t，则FM=2t，
∴FN=4-2t，CM=8-4t，OM=4t-4，
在Rt△CFM中，由勾股定理可得，
CM2+MF2=CF2，即（8-4t）2+（2t）2=42，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
（2）∵点B关于直线CD的对称点，
∴由平移可知，点F向下平移 ，向右平移 可得到点A，
∴由B（4,4）作同样的平移可得到A点关于直线CD的对称点 ，
∴PO+PA的最小值为 的长，即 ；
（3）存在，理由如下：
分析图形可知，△EQP与△EBC有公共角∠BEC，
当PQ∥BC时，则有△EQP∽△EBC，
∵点Q为BE的中点，
∴PQ=BE=2，
∵点P为CE的中点，
∴P（4，2）；
分析图形可知，∠EBC=135°，若存在点P满足△EQP∽△EBC，则有PQ∶BC=QE∶CE，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，
∵Q（6,2），
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∴ ，
综上所述，满足△EQP∽△EBC时，点P的坐标为（4，2）或．
【点睛】
本题考查三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知轴对称最值问题的处理方法并灵活利用分类讨论是解题的关键．
22．(本题9分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在中，，是的外接圆，过点作的直径，交于点，点是上的一个动点，连结并延长交于点，交于点，连结，，已知，．
（1）______，______；(直接写出结果)
（2）求证：平分；
（3）当时，求的长；
（4）是否存在点使是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4，；（2）见解析；（3）；（4）存在，或或
【分析】
（1）连接OC，由，可求出OC和HC的长度，然后利用勾股定理即可求出OH的长度，再加上AO的长度即AH的长，然后在△AHC中利用勾股定理即可求出AC的长度．
（2）根据圆周角的性质得到，然后根据等腰三角形的性质可得，即可证明平分；
（3）连接EO，并延长交圆于点G，连接CG，可证△CEG是等腰直角三角形，然后可求出的长；
（4）根据等腰三角形的概念分，，三种情况讨论，分别求解即可．
【详解】
（1）解：如图所示，连接OC，
∵，AD是的直径，
∴AD⊥BC，
又∵，，
∴，
∴在△ODC中，，
∴；
在△ADC中，．
故答案为：4，；．
（2）证明：是的外接圆的直径，，
是的中垂线，
，
．
，
，
．
，
，
平分．
（3）解：如图，连接EO，并延长交圆于点G，连接CG，
，，
是等腰直角三角形，
，
∵∠CGE=∠CBE=45°，∠ECG=90°，
∴是等腰直角三角形，
．
（4）解：当时，如图：
，
，
是直角三角形，
点与点重合，
；
当时，如图：
平分，，
．
，
．
又，
，
，
，
，
；
当时，过点作于点，如图：
，，，
，
平分，
．
，，
，
，
，
，
．
综上所述，存在，的长是或或．
【点睛】
此题考查了圆周角，圆心角等圆的综合性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是根据题意分析出边角之间的关系．
23．(本题10分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点（非原点），过点作BC∥x轴交抛物线于点，．
（1）求的值．
（2）若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值．
（3）若是射线上一点，作点关于直线的对称点，连结，．是否存在与相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【分析】
（1）根据抛物线对称轴公式可求出此抛物线的对称轴为,由此确定B点横坐标,再将横坐标代入直线求出纵坐标，根据B点坐标求出a的值；
（2）根据轴，EF⊥BC可确定E、F横坐标相同，且点E在直线上，点F在抛物线上，由此可求出EF长度解析式，再求出解析式最大值即可；
（3）先令，再根据可得，再根据相似比求出G点坐标．
【详解】
解：（1）抛物线，令 ，
抛物线对称轴为 ，
∵B点在抛物线上，且BC=6，
∴B点横坐标为 ，
∵B点在直线上，
∴代入B点横坐标求得 ，即 ，
将代入，得：，解得 ；
（2）由（1）知，所以抛物线为 ，
∵是线段上一点，轴，
∴E、F的横坐标 ，
设EF的最大值为M，E、F横坐标相同，
则 ，为开口向下的抛物线，有最大值，，
∴EF的最大值为；
（3）存在，
如图：EF交x轴于点M
∵轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵P在射线BC上且可形成△GPB，，
设P点横坐标为x，
∴P点横坐标 ,
∴ ，G点、E点、F点横坐标都为x，
∵E在直线上，
∴ ，
∵G为点F 关于直线BC的对称点，且F在抛物线上，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： ，
∵，
∴取 ，
∴ ，
∴G点纵坐标为 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要结合抛物线图形考查了一次函数、相似三角形的一些性质及运算能力，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出相应点的坐标，数形结合思想是解题的关键．
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2021-2022学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一，选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．(本题3分)（2021·浙江·金华市第五中学九年级月考）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)（2019·浙江杭州·九年级期末）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．(本题3分)（2020·浙江浙江·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)（2019·浙江瑞安·九年级期末）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为
A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm
5．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
7．(本题3分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，在矩形中，点，，分别在边，，上，四边形由两个正方形组成，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
A．B．C．D．
9．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D．－1
10．(本题3分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
二，填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．(本题3分)（2021·浙江瓯海·三模）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，点C在线段OA上，则点C的坐标为___．
12．(本题3分)（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．
13．(本题3分)（2018·浙江温州·九年级期末）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AB交BC于点D，交AC于点E，若AB的长度为6，则DE的长度为_____．
14．(本题3分)（2019·浙江三门·中考模拟）如图，矩形ABCD周长为30，经过矩形对称中心O的直线分别交AD，BC于点E，F．将矩形沿直线EF翻折，A′B′分别交AD，CD于点M，N，B'F交CD于点G．若MN：EM＝1：2，则△DMN的周长为_____．
15．(本题3分)（2019·浙江秀洲·中考模拟）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
16．(本题3分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________．
17．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点，若边长，则的面积为________．
三，解答题（本大题共6小题，共49分.）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
18．(本题7分)（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
19．(本题7分)（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段． 如图， 在的方格纸中， 有一格 点线段， 按要求画图．
（1）请在图1中画一条格点线段 将 平分．
（2）请在图2中画一条格点线段 ， 将 分为．
20．(本题8分)（2021·浙江余杭·二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）设，求的值．
21．(本题8分)（2021·浙江平阳·九年级期中）如图，在平面直角坐标系内有一正方形，点C坐标为，点D为的中点，直线经过点C，D并交x轴于点E，沿着折叠，顶点B恰好落在边上方F处，连接，点P为直线上的一动点，点Q是线段BE的中点．连接，．
（1）求点F的坐标；
（2）求出点P运动过程中，的最小值；
（3）是否存在点P，使其在运动过程中满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
22．(本题9分)（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在中，，是的外接圆，过点作的直径，交于点，点是上的一个动点，连结并延长交于点，交于点，连结，，已知，．
（1）______，______；(直接写出结果)
（2）求证：平分；
（3）当时，求的长；
（4）是否存在点使是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，说明理由．
23．(本题10分)（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点（非原点），过点作BC∥x轴交抛物线于点，．
（1）求的值．
（2）若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值．
（3）若是射线上一点，作点关于直线的对称点，连结，．是否存在与相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点的坐标．
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