浙教版数学八年级上册 2.4 等腰三角形的判定定理入进去 展开来 再回首教案

入进去 展开来 再回首
--- 一次教材探究活动的拓展研究历程
浙教版数学八年级上册《2.4等腰三角形的判定定理》一课中有这样一道探究活动题：有甲、乙两个三角形，甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°。你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数。
针对该题，进行了如下的探究活动设计：
一、教学目标
1、知识与技能：掌握具有怎样特征的三角形可以被分成两个等腰三角形及分割规律。
2、过程与方法：通过探究活动，加深对等腰三角形判定定理的理解，掌握分类讨论、数形结合的数学思想。
3、情感态度与价值观：培养学生独立思考能力及团结协作意识，让学生体会探索学习的乐趣，提高解决问题的能力和信心。
二、重点难点
重点：探究一个三角形能分成两个等腰三角形所具备的条件及分割规律。
难点：在探究活动中如何引导学生进行图形想象、分类讨论等活动。
三、过程设计
（一）问题引入，以问激趣
以学生在八年级数学培优测试卷上遇到的一道难题引入：
将一个三角形分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角是36°，则原三角形的另两个内角有多少种可能的情况？写出各种可能的情况。
设计意图：1、“学起于思，思起于疑”，学生的思维活动过程是以问题开始的。以学生在学习中遇到的一道难题引入，问题来源于学生，学生有探究的动力。作为任务驱动激发学生的探究意识，让学生带着问题来学习本节课的内容。
2、对于这类问题，学生往往没有信心把所有可能的情况写完整，第一感觉就是望而生畏。教师要充分利用这一难得的教育契机，帮助学生树立起对数学的情感，引起积极的探索态度，培养迎难而上的勇气，锻炼坚强的意志力。
（二）合作学习，探索新知
探究活动1：
对于上述这类问题，能不能找到一种方法，既能快速地理清思路又能将所有可能的情况写完整？我们先来思考下列3个较简单的问题：
问1：已知三角形的三个内角分别为25°，50°，105°，你能把它分成两个等腰三角形吗？试一试，并标出各角的度数。
问2：如果把三角形的三个内角改为20°，60°，100°，你还能分吗？
问3：如果三角形的三个内角为40°，50°，90°，你还能分吗？
生：能。如图1-3。
图1 图2 图3
设计意图：1、一开始给学生呈现一些比较简单的，即三个内角都已知的三角形让学生尝试分割，起点较低，学生容易接受并理解。
2、经教学实践后，学生能顺利进行分割，增强了信心，使不同层次学生都能有效地参与到知识探究的过程中来。同时也为后面探究活动2的解决做好准备。
探究活动2：
仔细观察图1-3，然后请你设计一个三角形，使这个三角形可以被分成两个等腰三角形。
生：给出了形形色色的答案。展示部分学生设计，如图4-9所示。
图4 图5 图6
图7 图8 图9
设计意图：1、让学生通过仔细观察、类比图1-3，设计满足条件的三角形，激发他们进一步的思考，为探究活动3中的问题的提出作好铺垫。此探究活动具有一定的开放性，有助于学生发挥自己的想象力和创造才能。
2、“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件”。初中学生好奇心强，思维活跃，讨厌枯燥乏味式学习，喜欢自己动手操作。学生经历的是探索的过程，领悟的是类比的方法，积累的是解题的经验，体验的是成功的喜悦。
探究活动3：
请认真观察同学们所设计的满足条件的三角形，你觉得自己能提出哪些“有价值”的问题？
生1：任何三角形都能被分成两个等腰三角形吗？
生2：怎样的三角形可以被分成两个等腰三角形，有没有什么特征？
生3：如果能被分成两个等腰三角形，那么如何分割有没有什么规律？
根据提出的问题，让学生进行“小组合作学习”，相互讨论、评价，然后指导学生有效地概括，构建有关的数学结论。
生：可以被分成两个等腰三角形的三角形具有以下特征和分割规律：
（1）原三角形有一个角是另一个角的2倍；（分第3个角：如图4、图5）
（2）原三角形有一个角是另一个角的3倍；（分3倍角：如图6、图7）
（3）原三角形是一个直角三角形。（分90°角：如图8、图9）
设计意图：1、爱因斯坦说过:“提出一个问题远比解决一个问题更重要”。引导、帮助和鼓励而不是代替学生发现和提出探究问题，有助于学生形成发现、探究问题的意识，培养提出问题的能力。
2、给学生提供充分的时间先进行独立思考，再分小组进行讨论，把探究活动推向高潮。采用“小组合作学习”的形式，学生在小组内相互讨论、评价、倾听、激励，加强学生之间的合作与交流，充分发挥群体之间的互补作用，必将大大拓展学生思维的空间。最后在教师的引导下共同总结特征和规律。
探究活动4：
你能将结论推广到一般形式，并证明吗？
验证发现：
（1）已知△ABC中，∠B=x，∠C=3x，△ABC一定能够被分成两个等腰三角形吗
生：能，如图10所示，分3倍角。
应用体验①：已知三角形的三个内角分别为80°，25°，75°，你能把它分成两个等腰三角形吗？
图10 图11
（2）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC一定能够被分成两个等腰三角形吗
生：能，如图11所示，分90°角。
已知△ABC中，∠B=x,∠C=2x，
△ABC一定能够被分成两个等腰三角形吗
生：能，如图12所示，分第3个角。
图12
应用体验②：已知三角形的三个内角分别为10°，20°，150°，你能把它分成两个等腰三角形吗？
以特例设计练习，让学生进一步探究：已知三角形的三个内角分别为48°，96°，36°，你能把它分成两个等腰三角形吗？
生：不能。
发现：当三角形有一个角是另一个角的2倍时，不一定能够被分成两个等腰三角形。那么，问题在哪里呢？需要添加什么条件吗？
继续探究：当原三角形一个角是另一个角2倍时, 若能分成两个等腰三角形，求第三个角的取值范围
生：如图12所示，设第3个角∠A=y,则3x+y=180，所以，因为x﹤y，所以，解得y﹥45°（或由2x+2x﹤180，所以x﹤45，即，解得y﹥45°）
完善分割规律：（有2倍角的三角形中第三个角必须大于45°）
设计意图： 1、对结论的掌握，需要通过练习来内化。将文前提到的教材上的探究活动改编为两道应用体验题①和②，通过配套练习，让学生熟练掌握分割规律。
2、渗透分类讨论、数形结合的数学思想，并通过观察—分析—讨论—猜想—验证—应用—完善等探究活动，经历从特殊到一般的探索过程，使学生对满足条件的三角形的特征和分割规律的认识相对严谨，养成严密的思考方式和善于反思的习惯。
（三）应用提高，深化理解
解决文前引入的那道难题：
将一个三角形分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角是36°，则原三角形的另两个内角有多少种可能的情况？写出各种可能的情况。
生：分类讨论：（1）有2倍角时，分三种情况：①36°、18°、126°②36°、72°、72°③36°、48°、96°，但是要满足第三个角要大于45°，所以①②正确，而③不正确。
（2）有3倍角时，分两种情况：①36°、12°、132°②36°、108°、36°，当36°作为第3个角时所得结果与②重复。
（3）有90°角时：36°、90°、54°。
综上所述，原三角形的另两个内角有5种可能情况：①18°、126°②72°、72°③12°、132°④108°、36°⑤90°、54°。
设计意图：1、对所学知识系统归纳之后，注重应用，让学生自觉迁移知识、方法去解决相应的问题，培养学生解决问题的能力。
2、通过应用新知，帮助学生深化对三角形可以被分成两个等腰三角形的条件和分割规律的理解，不断完善认知结构，积累解题经验，为学生的可持续发展奠定基础。
（四）拓展创新，引申发展
问：是否还有“同一个三角形中既有2倍角，又有3倍角”、“同一个三角形中既有直角，又有2倍角”、“同一个三角形中既有直角，又有3倍角”这样特殊的三角形怎样分成两个等腰三角形？又会有些怎样的结论呢？
设计意图：1、“授人以鱼，不如授人以渔；授人以渔，不如授人以欲。” “欲”就是植根于心坎的兴趣和为之而尽力的激情。进一步思考、探索可持续发展的数学问题，以激发学生的探索热情，形成思维的风暴，使数学学习进一步向纵深发展。
2、学生通过对问题的探究，构建了有关的数学结论后，并不是探究的结束，也不是探究式教学的结束，此时应趁热打铁，让学生理论联系实际，灵活运用数学结论，鼓励学生去思考这个结果还能拓展延伸吗？还能在其他问题上运用这个结论吗？还有其他的结论吗？让留有余力的学生从课堂走向课外，鼓励学生利用图书馆、上网搜索等方式，就研究的问题进行再研究，从而达到举一反三，触类旁通的教学效果。
四、课后反思
教材上的探究活动往往隐含着丰富的数学知识和一定的数学思想，如果没有对它进行创造性地使用，进行更深层次的挖掘、拓展，只是单纯的“以题解题”，这样的探究活动，是不可能真正体现出它应有的价值和作用的。所以，我们要重视对探究活动的深入研究，充分挖掘其背后隐含着的知识与方法，并精心设计探究活动，化晦涩为通俗，化枯燥为趣味，帮助他们既简单又快速地学习和掌握重、难点知识。
精心耕耘于每一次探究活动的再创造，设计出真正有价值的探究活动，应当是每一位数学教师永恒的追求。