浙教版数学八年级上册 2.1 图形的轴对称教案

趣味翻折，折出精彩—
本课是浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》的一个拓展性课程.折纸，一个看似简单的操作，对八年级学生来说是一个不易征服的数学领域.按纸的形状可分为：折长方形、折正方形、折三角形、折圆等，按次数可分为：折一次、折两次或者折n次.爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，兴趣是调动学生积极思维、探求知识的内在动力.有力兴趣，学习不是负担，而是一种享受.因此，本堂课的学习可以增添数学学习的乐趣，帮助大家更好地明白折纸问题的数学本质.
学情分析
根据学生平时的作业情况了解到，孩子们对折纸问题既陌生又害怕，有些时候折出图形也不一定能完成接下去的思考，折纸问题较抽象，具有一定的难度，学生不易理解.
教学目标
基础知识：通过“折鸭子”的过程，让学生理解折纸的本质是一种轴对称变换，轴对称变换产生的全等图形中有许多的角相等、边相等.
基本技能：探究“折红勾”的过程，不同夹角90°、60°、70°所产生的变与不变.
基本思想：运用转化思想将折纸问题转化成轴对称变换，运用类比的思想探究角度变化的问题，运动数形结合的思想解决抽象的图形，运用方程思想解决折纸中求线段长度的问题.
基本活动经验：感受折纸的过程，能够将图形进行还原，能够将实物抽象成几何图形.
重点难点
重点：折纸的本质是轴对称变换.
难点：活动四（4）中，将实物抽象成几何图形，并探究线段长度，重叠部分面积的过程，是本堂课的难点.
教学用具
教师：长方形红纸条4张、正方形纸片1张、磁石贴16个、三角尺.
学生：长方形红纸条4张、正方形纸片1张.
教学流程
师：同学们，你们喜欢折纸吗？会折哪些东西呢？
活动一：作品观赏
纸除了能折这些小玩意外，还能折一些大家伙呢！比如说纸做的船，可以载人入水，同学们见过吗？
活动二：视频欣赏
如果你认为纸只能做这些东西的话，那就大错特错啦，接下来让我们一起来欣赏一个视频！
看了这个视频后，相信同学们肯定手痒痒了，接下来陈老师带大家一起来折一个小作品，同学们一边折一边猜，我们折的是什么.
活动三：动手实践
第一步：将正方形纸片沿着它的斜对角线对折，然后打开.同学们仔细观察一下，这个正方形被中间这条折痕分成了两个什么图形？中间这条折痕可以看作是一条什么呢？对折的过程是在做一个什么变换呢？
生：两个等腰直角三角形；对称轴；轴对称变换.
师：接下来请同学们按照这个步骤继续往下折，这是一个什么作品呢？
生：鸭子.（请同学将作品贴到黑板上展示）
师：同学们，你们知道鸭子的嘴巴是多少度吗？请大家来猜猜看.
生：15°、25°、12.5°、11.25°.
师：同学们产生了这么多不同的意见，那大家都是怎么得到答案的呢？
生：量角器.
师：可见这个时候量角器已经帮不上忙了，那同学们想想，这个鸭子的嘴在刚刚的折纸过程中，可以体现在哪里呢？
生：直角的对折，再对折，再对折.
师：是的，其实折纸的问题就是轴对称变换，同学们能够得到图形的全等，从而得到相等的角、相等的边.
活动四：重点探究
师：同学们都喜欢老师在题目上打上“√”，对不同的老师来说，打“√”的角度是不一样的呢！接下来让我们拿起手上的红纸条，折出一个“√”.
（1）若红勾所成的夹角是90°，则重叠部分是一个什么图形呢？请说明理由.
生：等腰直角三角形.因为对顶角相等，所以∠BAC=90°、AB、AC是纸条的宽度，长方形纸条宽度处处相等,所以△ABC是等腰直角三角形.
（2）若红勾所成的夹角是60°，则重叠部分是一个什么图形呢？请说明理由.
生1：等边三角形.因为对顶角相等，所以∠BAC=60°、AB、AC是纸条的宽度，长方形纸条宽度处处相等,所以△ABC是等边三角形.
生2：此时AB、AC也正好是长方形纸条的宽度吗？
生1：好像不是.
师：那同学们觉得，可以怎么来验证它是一个等边三角形呢？
生：把图形进行还原.
师：请同学们在导学案上画出还原之后的图形.你有什么发现？
生：∵AE//DB
∴∠DBA=60°
∵翻折
∴∠ABC=∠GBC=
∵∠BAC=60°（对顶角相等）
∴△ABC是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）.
师：除了用“有两个角是60°的三角形是等边三角形”外，还有哪些判定等边三角形的方法呢？
生：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
师：虽然此时的AB和AC不是纸条的宽度，但是他们肯定是相等的，已知∠ABC=60°，你能通过证明AB=AC，来证明△ABC是等边三角形吗？请同学们以小组形式展开讨论.
生：∵BC平分∠ABG
∴∠GBC=∠ABC
∵AF//BG
∴∠ACB=∠GBC
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∵∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形（一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
师：本题中，我们可以看到：BC是一条角平分线，BD//AC，因此得到等腰三角形.
角平分线+平行线 等腰三角形.
（3）接下来，让我们类比着90°、60°的情况，来探究一下70°的时候，重叠部分会是一个什么图形
生：等腰三角形.
（4）沿着将长方形纸条进行折叠，使点与点重合，你能画出折叠后的图形吗？
(
画图区：
)
（5）若长方形纸条长为9cm,宽为3cm，你能求出AE的长度吗？
师：要求AE的长度，我们需要怎么做？
生：将图形进行还原.
师：在这个翻折过程中，有哪些线段是不变的呢？
生：BE=DE.
师：这里有没有特殊的三角形呢？
生：△ABE是直角三角形，△BEF是等腰三角形.
解：设AE=x，则BE=DE=9-x.
运用勾股定理求得x=4cm.
（6）你能求出重叠部分△BEF的面积吗？请以小组形式展开探究.
组1：过点E作EG⊥BF，EG=AB=3cm,
组2：∵未重叠部分两个三角形面积相同，重叠部分两个三角形面积相同,
∴,
课堂小结
通过今天这一堂课的学习，同学们对折纸问题有了哪些新的认识呢？
希望今天课上学习到的数学方法及数学思想能帮助你轻松克服折纸问题，让折纸问题不再害怕！
八、板书设计
九、课后习题
1.如图，把长方形纸片沿,同时折叠，,两点恰好落在边的点处，若，，，则长方形的面积为___________.
2.如图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，
（1）若=20°，则图3中度数是多少？
（2）若=，把图3中用表示。
3.生活中，有人喜欢把传送的便条折成“④”形状，折叠过程按图①、②、③、④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，=______厘米； 在图④中，=______厘米．
（2）如果长方形纸条的宽仍为2厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离．
十、亮点评析
1.精彩引入，趣味课堂
多样的图片，趣味的视频非常吸引学生的眼球，给课堂带来了许多趣味.传统的折纸题目十分枯燥乏味，通过折“鸭子”，来看到折纸的本质，再加以探究“红勾”问题，改变常规课堂的模式，让学生爱上数学.
2.动手实践，互动交流
学生在活动三折“鸭子”的过程中，进行了小组交流，同学互帮互助，共同探究鸭子嘴巴度数的过程，在活动四折“红勾”时，通过90°的学习，学生会类比着思考60°、70°，从特殊到一般的探究问题的方法，有助于学生更好理解.
3.深入探究，突破难点
红勾夹角90°，重叠部分为等腰直角三角形，学生会通过纸条宽度处处相等来得到，进而60°时，学生易模仿90°的情况来思考问题，教师提出疑问，此时的三角形两条边仍是纸条的宽度吗？学生进入思考，从而引出图形还原.让学生思考折纸的本质是轴对称变换，观察折纸过程中有哪些相等的边与角，能够帮助思考.当同学们得出等边三角形这一结论时，再提出问题：判定等边三角形还有哪些其他方法呢？我们可以通过什么方式来得到AB、AC两条边相等呢？在求线段长度的过程中，学生进行小组合作能够得出结果，他们习惯用直角三角形勾股定理去得到三边关系，进而用方程来解决这一类问题，在学生能力范围之内，求重叠部分面积可用多种方式来解决，让学生进行小组探究，得出多种解法.
4.把握本质，精准教学
在准备这堂课之前，我进行了深入的思考，折纸问题的本质究竟是什么？这堂课的学习能给学生带来哪些收获与感受？带着这些疑问，和其他教师展开探究，明白折纸问题的本质为轴对称变换，轴对称变换能得到全等图形，相等的边和角.在折“红勾”的过程中，平行线+角平分线得到等腰三角形这一常规结论也非常重要，纵观本课的教学过程，学生带着愉悦的心情参与到课堂活动中，教师在整堂课中起着引导，帮助的作用，既让学生了解到折纸问题的数学本质，又能将所知所学得到充分的应用，达到了预期效果.