浙教版数学八年级上册 阅读材料 从勾股定理到图形面积关系的拓展教案

从勾股定理到图形面积的拓展教案
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力．
教学重点:利用勾股定理，解决实际问题．
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想.
教学过程：
导入新课：
动画演示，引出勾股定理
勾股定理是研究直角三角形三边关系的定理，在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.
a2+b2=c2
二、新知探究：
1、看一看：如图，分别以直角三角形的三边作正方形，则这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系？
S1+s2=s3
2、（口答）求下列图中数与字母所代表的正方形面积：
3、考一考：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
4、欣赏美丽的毕达哥拉斯树,研究其中蕴含的道理
巩固练习：
1、如图，在直角△ABC,∠BCA=90 ，CD┴AB，四边形a,b,c,d是4个正方形，已知a,b,c的面积分别为4,5,3,那么d=____.
(
S
2
S
1
S
3
)2、想一想：如图，分别以直角三角形的三边作等边三角形,则这3个等边三角形的面积S1，S2，S3之间有什么关系？
(
S
2
S
1
S
3
)
3、如图，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有什么关系
四、拓展提升：
1、验证实验·发现规律
向外分别作正方形，正三角形，为直径作半圆，S1+S2=S3都成立。你能再画几个类似的图试一试，结论还成立吗？
（要求：在学案上画出图形，标出长度，计算出面积）
小组交流讨论：当图形形状有什么特征时，图形的面积满足S1+S2=S3 ？
投影展示学生作品.
逐步引导学生理解相似的图形按对应的位置摆放可以满足面积关系，要满足这样的面积关系，图形不一定相似.
介绍辉煌的历史：
在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展，例如在《几何原本》第六卷命题31就曾介绍中介绍:“在一个直角三角形中,在斜边上所画的任何图形的面积,等于在两个直角边上所画的与其相似的图形的面积之和”.
3、有趣的历史题目：公元前约400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己所画的图形(以Rt△ACB的三条边为直径做半圆)，他得出了关于两个月牙形S1,S2的面积之和的一个结论．你知道这个结论吗？请试着说明理由.
(
S
2
S
1
S
3
)
练习： 若直角边AC=5，BC=4，那么两个月牙形S1,S2的面积之和等于______．
(
D
F
G
E
M
N
)变式：如图,以直角△ABC的每一条边为边作三个正方形.这三个正方形构成的图形中,你能找出那些图形的面积之和有特殊的关系吗 小组讨论交流.
3、挑战一下：如图，在四边形 ABCD 中 ，AB ∥ CD ，DC=2AB,∠ ADC +∠ BCD =90°，以 AD、AB 、BC 为斜边向形外作正方形，其面积分别是 S 1、S 2、S 3 ，则S 1、S 2、S 3 之间的关系是 .
课堂小结：
作业布置：
1.利用直角三角形的三边设计一种图形，得面积关系S1+S2=S3（必做）.
2.网络收集有关勾股定理和图形面积的拓展题型.(选做)
(
1
)