(共32张PPT)
学习目标
1、在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质.
2、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题.
授 课 人: 陆重庆
相似三角形的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
A
B
C
A/
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢
课前复习:
（3）相似三角形有何特征？
一个三角形有三条重要线段：
________________
如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
情境引入
高、中线、角平分线
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（1）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（2）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（3）
探索新知
两角对应相等,两三角形相似
∽
∽
已知
所以∠B=∠B′（ ）
相似三角形的对应角相等
∽
（ ）
相似三角形的性质
探索新知
∽
所以
(相似三角形的对应边成比例)
∽
∽
相似三角形的性质
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
类似结论
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
∽
自主思考---
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
A′
C′
B′
C
B
A
E′
E
∽
类似结论
自主思考---
结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
2 ∶ 3
2．两个相似三角形的相似比为0.25, 则对应高的比为_________,对应角的角平分线的比为_________.
0.25
0.25
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则相似比为______,对应高的比为______ .
问题： 两个相似三角形的周长比
会等于相似比吗？
相似三角形的性质
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
用心观察
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的周长比=______
1∶ 2
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
（都相似）
2∶ 3
1∶ 2
2∶ 3
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积
之间有什么关系呢？
相似三角形的性质
用心观察
1
2
3
1∶ 2
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（1）
（2）
（3）
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的面积比=______
1∶ 4
2∶ 3
4∶ 9
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于______.
2.相似三角形对应边的比为0.4,
那么相似比为_______,
对应角的角平分线的比为______,
周长的比为_________,
面积的比为_________.
3∶5
0.4
当堂训练
0.4
0.4
0.16
当堂训练
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是________________。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是______________。
25
10
100cm、40cm
50cm2、40cm2
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2 ，这两个三角形相似吗
如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
2 : 1
解：相似．
因为相似比是
所以面积比是
4 : 1
当堂训练
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比.
A
B
C
D
E
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
1∶4
例1、如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
例题赏析
例2、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1) AEF与 CDF的相似比为______.
(2)若 AEF的面积为5 cm2，
则 CDF的面积为______.
B
F
E
D
C
A
例题赏析
1 : 2
20 cm2
例3：已知△ABC∽ △A B C ，BD和B D 分别是△ABC和△A B C 中线，且AB＝10，A B ＝2，BD＝6。求B D 的长。
解：∵ △ABC∽△A B C
∴
＝
＝
B D ＝1.2
答：B D 的长为1.2。
AB
A B
BD
B D
10
2
6
B D
A
B
C
D
A
B
C
D
例4：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。
解：∵ △ABC∽△DEF
∴ BC∶EF＝BG∶EH
6∶4＝4.8∶EH
EH＝3.2(cm)
答：EH的长为3.2cm。
A
G
B
C
D
E
F
H
例5：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
C'
B'
A'
C
B
A
解：因为△ABC~△A'B'C' △ABC~△A'B'C
所以
?
?
?
=
=
?
AB
BC
A'B'
B'C'
60
72
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
课堂小结
相似比的平方
相似三角形的性质
相似多边形也有同样的结论
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？
拓展训练
拓展训练
2、平行四边形ABCD与平行四边形 相似，
已知AB＝5，对应边 ＝6，平行四边形
ABCD的面积为10，求平行四边形
的面积.(共12张PPT)
授 课 人: 陆重庆
相似三角形的性质
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠A=∠A' ∠ B=∠B' ∠ C=∠C'
A
B
C
C′
A′
B′
边长 周长 面积
正方形的周长与面积
4
1
4
8
12
9
1
2
3
正方形ABCD与正方形 A'B'C'D'相似，相似比为k。
A′
B′
C′
D′
B
A
C
D
k =
=
4AB
=
4A’B’
=
=k
=
=
=
A
B
C
C′
A′
B′
已知△ABC∽△A'B'C'
试一试：
结论：相似 的周长的比等于相似比。
三角形
多边形
A
B
C
C′
A′
B′
已知△ABC∽△A'B'C'
试一试：
D
D’
∵ △ABC∽△A'B'C‘
∴∠B=∠B’
∵AD⊥BC,A’D’ ⊥B’C’
∴∠ADB=∠A’D’B’=90°
∴△ABD∽△A’B’D’
∴
=k
=
=
=
结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
k
×k
相似多边形的面积的比
B
C
D
E
A
B’
A’
C’
D’
E’
五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’，相似比=k。
呢？
等于相似比的平方
1、两个相似三角形的相似比为2 : 3，它们的对应边之比为________，周长之比为_______，面积之比为_________。
2、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的周长之比为_____。
小试牛刀:
例1:在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm,面积为6 cm2,求这个地块的实际周长和面积。
实际周长
面积
2、已知△ABC的三边长分别为3、4、5，与它相似的△A’B’C’的最大边长为15。求△A’B’C’的面积。
1、相似三角形对应边的比值为0.4，那么相似比为 , 周长的比为 ，面积的比为 。
3、在一张比例尺为5：1的图纸上，量得一个零部件的周长是3.6cm，面积是6 c㎡。求这个零部件的实际周长和面积。
我有哪些收获呢？
与大家共分享！
学 而 不 思 则 罔
回头一看，我想说…(共19张PPT)
你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗
如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E.
又∵∠AMB =∠DNE =900.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).
相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
即,相似三角形对应高的比等于相似比.
你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗
如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
理由是:
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比..
你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗
如图∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E,
相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.
∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).
且∠B =∠E.
即,相似三角形对应中线的比等于相似比.
你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗
如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.
相似三角形周长的比等于相似比.理由是:
(相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比).
即,相似三角形周长的比等于相似比.
A′
B′
C′
A
B
C
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)
相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比，对应周长的比等于相似比.
相似比等于1的两个三角形全等.
注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.
判定两个三角形相似的方法:
两角对应相等的两个三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
斜边直角边对应成比例的两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
E
D
C
B
A
益智的“模型”
两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A”型和“X” 型
知识源于悟
若△ADE∽ △ABC,则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,
若△ABC∽ △ADE,则
∠BAC=∠DAE, ∠B=∠D,
∠C=∠E,
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
结论1:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则有如下结论:
A
B
C
D
E
如图:在△ABC中,
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
结论2:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.
如图:在△ABC中,如果DE∥BC，
A
D
E
B
C
E
D
C
B
A
如图, 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.
根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段.
即,有三对相似三角形.
△ACD∽ △ABC
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △CBD.
常用的成比例的线段有:
A
B
C
D
··
··
·
·
如,常用的相等的角有：
∠A =∠DCB;∠B =∠ACD;
让数学模型“双垂直”三角形,成为你的好友!
老师的建议:上面红色字表示出的关系式,是几个重要的结论,若能理解记忆并运用,将会促进能力的提高.
例题、如图所示,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是正方形.
(1). △ASR与△ABC相似吗 为什么
(2).求正方形PQRSR的边长.
解:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
(2).由(1)可知, △ASR∽△ABC.
四边形PQRS是正方形
RS∥BC
∠ASR= ∠B
∠ARS= ∠C
△ASR∽△ABC.
设正方形PQRS的边长为x cm, 则AE=(40-x)cm,
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
(相似三角形对应高的比等于相似比)
亲历知识的发生和发展
问题:
如果△ABC∽△A′B′C′它们面积的比与相似比有什么关系
如图, △ABC∽△A′B′C′,相似比是k(如3∶4).
(1)△ABC与△A′B′C′的面积如何表示
(2)△ABC与△A′B′C′的面积的比是多少
解:分别作高CD,C′D′,则
如果两个相似三角形的相似比是k ,通过上面的活动,你得出了什么结论
C′
A′
B′
C
A
B
D
D′
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图,如果△ABC∽△A′B′C′,且
这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.
C
B
A
A ′
B ′
C′
如图,四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2,且相似比为k.
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
(1).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少
(2).连接相应的对角线A1C1, A2C2所得的△A1B1C1与△ A2B2C2相似吗
△A1C1D1与△ A2C2D2呢
如果相似,它们的相似比各是多少
(3).设△A1B1C1, △A1C1D1, △ A2B2C2, △ A2C2D2.的面积分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1, S△A2B2C2, S△A2C2D2,那么,
(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少
如果把四边形换成五边形,那么结论又如何
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2
……
换成n边形呢
通过上面的活动,你得出了什么结论
相似多边形周长的比等于 ,
对应对角线的比等于 ,
对应三角形相似,且相似比等于 ,
对应三角形面积的比等于 ;
相似多边形面积的比等于 .
相似比
相似比
相似多边形的相似比
相似比的平方
相似比的平方
下图是某市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000
(1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实际长度;
(2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的 与同伴交流.
点拨
(1)用一根线绳沿图中的外环路重叠放置,此时线绳的长度就是外环路的图上距离;
(2)把图上的外环路近似地看作一个矩形.
平坦立交桥
大阳泉
义井桥
归纳提炼
相似多边形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似多边形对应对角线的比等于相似比.
相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比.
相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
结束寄语
培养回顾联想已学知识,探索学习后续知识的能力,可使每个有自信心的人到达希望的顶峰.
