浙教版数学八年级上册 2.4 等腰三角形的判定定理（教案）

八上《2.4等腰三角形的判定定理》教学设计
一、教材分析
《2.4等腰三角形的判定定理》是八年级上册《特殊三角形》中的一节内容，本节课是在学习了等腰三角形的定义和性质之后的一堂课。学生对于等腰三角形已经有了许多认识，但是到底怎样的三角形是等腰三角形还心存疑惑。这节课实质上就是帮助学生解决内心呼之欲出的结论，并将图形研究的基本构架传递给学生：定义，性质，判定，应用，也为接下来逆命题逆定理的研究奠定基础。
二、教学目标
知识与技能：经历等腰三角形判定定理的探索过程；掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断和计算；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
过程与方法：全课以折纸开始，又以折纸结束，通过质疑常规思路引发学生思考，进而深化概念。
情感态度与价值观：从折纸问题引发思考，问题源自生活，又高于生活，激发学生解决问题的欲望，提高学习数学的兴趣，变被动学习为主动学习。
教学重点
等腰三角形的判定定理
教学难点
等边三角形判定定理2的证明需分类讨论
五、教学流程
1.复习导入，提出问题
师：各位同学，我这里有一张纸，谁能用较为简洁的方法折剪出一个等腰三角形。
（学生较多会想到让邻边重合得到等腰三角形，让学生折，并收集起来，但不予评价，如下图）
师：老师进一步问，能折剪出一个非直角的等腰三角形吗？
（估计学生遇到一定困难，停顿片刻）
师：好，我来折，大家来说说理由
（边说边做：先将纸对折，然后画上一条线，接着沿着线剪开，最后再把它展开来）
师：老师折的是等腰三角形吗？
生：是
师：为什么？
生：沿线剪开的两条线段长度相等（或者说有两条边相等）
师：是的，有两边相等的三角形是等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也是等腰三角形的一种判定方法，我们把这种方法叫做定义法
（板书：判定方法:定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。）
师：那么刚才这位同学折的是不是等腰三角形呢？等腰三角形还有没有其他的判定方法呢？今天让我们一起来研究和学习等腰三角形的判定定理。
（板书：2.4等腰三角形的判定定理）
注：如果学生一种情况都没有得到，那么也不予补充。
设计意图：通过折纸引发学生思考，复习等腰三角形的定义，它是判定等腰三角形的第一种方法。
2.合作学习,推理验证
师：接下来，请同学们阅读屏幕上的学习内容，然后完成任务单的相关内容（PPT呈现：画一画：在纸上画一个△ABC，使得∠B=∠C.量一量：线段AB= cm，线段AC= cm，由此你有什么发现？）
生1：AB=1.3cm，AC=1.3cm，我发现AB=AC
师：你呢？
生2：我量出来AB=2.4cm，AC=2.3cm，但是我感觉它们应该是相等的
师：其他人得到的结果也是相等吗？
生：是的
师：那么你能“如果……，那么……”的形式来描述你发现的结论吗？
生：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形
师：这个结论真的成立吗？
（PPT呈现：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形）
生：成立
师：既然成立，你能给出严格的推理过程吗？
（停顿片刻，给予学生思考时间）
师：让我们先来画出图形，写出已知和求证分别是什么？
(板书一个三角形)
生：已知如图，在△ABC中，∠B=∠C；求证：△ABC是等腰三角形
师：事实上，要说明一个三角形是等腰三角形，只要说明……
生：有两条边相等
师：是的，到目前为止，我们判定等腰三角形的唯一方法就是定义法，那么要证明两条边相等，同学们有哪些经验？（停顿，学生能即可说出就予以肯定，否则直接继续）
师：接下来让我们以四人小组为单位证一证这个结论，然后与你的小组成员议一议，还有没有其他的方法？（PPT呈现：合作交流：证一证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。议一议：还有其他证法吗？）
师：请各小组派代表来叙述你们的探索成果
组1：我们通过作∠A的平分线,构造全等三角形进行证明
（板书学生证明过程）
师：你们组作的是角平分线，还有没有其他的证明方法呢？
组2：我们组是作高线AD，也是构造两个全等三角形
师：你们组作的是高线，是否有添加中线来构造全等？
生：我们想过，但是“边边角”不能判定全等，只好放弃
师：“边边角”确实不能判定全等，那么同学们，图中添加的这条线如果是中线，你还能得到哪些结论？
生：BD=CD
师：还有呢？
生：面积相等
师：哪两个三角形面积相等
生：△ABD与△ACD
师：面积如何计算的
生：底乘以高除以2
师：因为要证两条边相等，所以我们过D作两边的高线，你能写出它们的面积表达式吗？
生：
师：要证明AB=AC，就是要证明DE=DF，怎么得到？
生：全等
师：真棒，看来面积法也是一种不错的解题方法。至此，三角形的三条线都能验证这个结论的正确性，这就是判定等腰三角形第二种方法。（板书：2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形，同时PPT呈现：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形）我们也将这句话简写成“在同一个三角形中，等角对等边”PPT呈现：简单的说：在同一个三角形中，等角对等边）。同学们，现在开始，当我们遇到一个三角形有两个角相等，那么我们便能很快得到它就是等腰三角形，这些繁杂的过程全部去除，定理的学习让我们的证明过程更加简洁。结合图形，我们可以这样书写这个判定
∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形。（板书∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形）。结论或者是AB=AC（板书：（AB=AC））。
设计意图：通过独立思考，合作交流，探索发现帮助学生经历等腰三角形判定定理发现过程，并用不同方法予以解决，特别是最后一种方法，体现了证明途径的多样性。
3.学以致用，巩固提升
师：学以致用，请同学们看大屏幕
（PPT呈现：1.已知一个三角形的两个角的度数分别是43°，94°，这个三角形是不是等腰三角形？）
生：两个角已知我们便可以求出第三个角，求出来的结果是43°，所以有两个角相等，得到它是等腰三角形
师：两个角的度数相等，我们便能得到等腰三角形，现在我再来看看刚才的那个三角形，它真的是等腰三角形吗？（将开课时留下的问题与学生交代）
生：是，因为折叠，所以90°的角被平分，得到45°，而这个三角形有一个直角，根据内角和公式，便能得到另一个角也是45°，所以这个图形有两个角相等，能够判断它是等腰三角形。
师：你分析的非常好，通过折叠产生了我们产生了角平分线。那么你能解决任务单上的第2个问题吗？
（PPT呈现：2.如图，OD平分∠AOB，ED∥OB，求证：△OED为等腰三角形.）
（此题让学生板演）
师：我们由角平分线，平行线得到两个角相等，从而判定三角形是等腰三角形，其实这是一个非常实用的基本图形，让我们再来看一道题。
（PPT呈现：3.如图,AB=AC,BF 平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EF∥BC，则图中有几个等腰三角形 ）
设计意图：及时巩固学习的新知，注重强调“由两个角得到等腰三角形的结论”，同时渗透基本图形，为今后的学习奠定基础。
4.拓展应用，深化理解
师：我们能用两种方法来判断一个三角形是等腰三角形，那么如何判定一个三角形是等边三角形？
生：有三条边相等的三角形是等边三角形
师：这是等边三角形的定义，那么还有其他的判定方法吗？
生：有三个角相等的三角形是等边三角形
师：能证明吗？
生：由∠B=∠C,我们得到AB=AC，由∠B=∠A，我们得到CA=CB，所以三边相等
师：我们能够利用今天所学的知识由角的关系得到边的关系，最终证明了三边都相等。三个角相等，那么就有3个60°的角，老师将条件削弱，只有两个角是60°，能得到等边三角形吗？
生：2个角60°，剩下的角显然也是60°，肯定是等边三角形
师：那么如果只有一个角是60°呢？还是等边三角形吗？
生：不是
师：我再给你一个条件，它还是一个等腰三角形，这回是了吗？
生：是了
师：如何分析
生：需要分类讨论
师：怎么分？
生1：如果60°是顶角，那么剩下两个角相等，根据内角和180°，可以得到剩下两个角的和为120°，那么每个角都是60°，根据刚才一个定理，我们就可以得到它是等边三角形
生2：如果60°是底角，那么另一个底角也为60°，剩下的一个角也是60°，根据刚才的定理得到它是等边三角形。
师：看来除了等边三角形的定义以外，我们还有另外这两种方法来判断等边三角形。让我们也来用一用
（PPT呈现：飞机螺旋桨三个叶子的长度相等，每两个叶子（中心线）所成的角为120°.如果用线段把每两个叶子的外端连结起来，那么所得的三角形是正三角形吗？板书：三角形图案）
设计意图：等边三角形的判定实质上是等腰三角形判定的应用，不但能帮助学生巩固新知，同时让学生获得了判定等边三角形的方法。
5.课内小结，理清思路
师：经历了这么多的探索和研究，让我们一起来回顾一下。这堂课我们学习了什么？
生：等腰三角形的判定，基本图形
师：现在我们有几种方法来判定一个三角形是等腰三角形？
生：两种
师：是的，学了这些判定方法就是为了我们今后在证明推理的时候能够写的更加简洁，而不需要每次都用全等来证明，同学们，记住今天的话哦！最后，我给大家来看一个视频。
设计意图：本节课内容的总结，同时播放的视频，将思考留给学生，让学生带着问题离开课堂。
6.课内延伸，放眼模型
（PPT呈现：如图，∠ABC，∠ACD的角平分线BP,CP相交于点P，过点P作BD//PQ交AC于点E，交AB于点Q，请判断BQ,QE,CE的数量关系）
板书设计