浙教版数学八年级上册 4.3 坐标平面内的图形的轴对称和平移（教案）

核心素养视角下《坐标平面内图形的轴对称》教学设计
摘 要：通过比较基于三维目标达成的导学案设计和基于数学学科核心素养达成的导学案设计，发现后者的着眼点在于发展学生的数学思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深、更合理.通过对《坐标平面内图形的轴对称》教材分析、学情分析、学生要达到的素养分析后设计教学，通过教学过程设计的评析得出基于学生数学核心素养达成教学设计的特征是经验与知识，过程与体验，本质与变式，价值与评价.基于学生数学核心素养达成教学设计实施条件是需要教师教学预设与课堂生成和谐统一，要有平等、宽松、合作、安全的互动氛围，需要信息技术与课堂教学深度融合.
关键词：数学核心素养； 思维发展； 教学设计
一、教育理念
基于培养学生数学学科核心素养的数学课程教学，是一项带有探索性的实践与研究.其关键之处在于，应当明确提倡“数学上普遍的高标准”，并应努力做到“少而精”，这也可以被看成“数学核心素养”的基本涵义，即，应当帮助学生学会“数学的看待世界，发现问题，表述问题，分析问题，解决问题”；进而，如果说“数学地看待世界”可以被看成“数学素养”的显性表现，那么，这又是“数学素养”的真正核心所在，即，应当帮助学生通过数学学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深、更合理.[1]
学情分析
学生已经掌握了点的位置确定，平面直角坐标系的知识，在学习的过程中已经体会了数形结合的思想，在第二章特殊三角形学习中已经掌握了图形轴对称的相关知识.已经具备了学习新课《4.3.1坐标平面内图形的轴对称和平移》的知识基础和情感基础.
教材分析
浙教版八（上）《4.3.1坐标平面内图形的轴对称和平移》是本章学习了点的位置确定，平面直角坐标系后设置的一节内容.这一节内容在前两节数形结合思想下进一步研究以前学过的图形轴对称变换，符合知识的发生发展过程和学生情感的发生发展过程，为接下去学习坐标平面内图形的平移作好铺垫，也为初中、高中后续学习图形的变换打好基础.
教学目标
感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化。
了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系。
会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标。
利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
教学重、难点
教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系.
教学难点:利用关于坐标轴对称的两点之间的坐标关系，在坐标平面内作轴对称图形的过程比较复杂。进一步研究关于一、三象限角平分线对称的两个点之间的坐标关系比较难。
教学方法
教师主导，学生主体，借助信息技术启发学生数学思考.
教学过程
（一）问题引入
（1）欣赏建筑中的对称美、自然中的对称美、剪纸中的对称美.
（2）比一比：在图1和图2中任选一图作出折线OBCDEF关于直线FO轴对称的图形，看谁先完成.
图1 图2
师生活动：师：选择图1的举手！只有2位同学，也就是其他同学都选择图2，你们为什么有这么多人选择图2呢？
生1：图2有平面直角坐标系，画起来快！
师：为什么会快呢？
生2：有了坐标平面，可以表示出点的坐标.
师：很好，点是图形，坐标是数，坐标平面将数和形结合起来了，这就是我们之前已经学习了图形的轴对称，今天还要接着学习在坐标平面内图形的轴对称的原因.
设计评析：从图片的欣赏引入，激活学生已有的轴对称知识.通过设置比一比环节，学生经历了比较选择的过程，有了坐标平面内作轴对称图形快的体验.在思考为什么选择图2的过程中，明晰了在坐标平面内可以求出点的坐标，体现了数形结合的思想，从而在学生原有认知基础上引出今天这堂课的学习主题.
（二）规律探究
探究坐标平面内任意一点A关于坐标轴对称变换后的坐标变化规律.
师生活动：师：在坐标平面内作图形轴对称的过程中，你是将图形的轴对称转化为什么的轴对称来画的？
生3：点的轴对称.
师：很好，我们今天就从坐标平面内点的轴对称开始研究，请大家完成下面问题.
（1）如图3，写出点A，B，C的坐标；
（2）画出它们关于x轴的对称点，并求出坐标；
生4：A（2，3），B（-2，-2），C（-3，0）
对称点 （2，-3）， （-2，2）， （-3，0）
师：你能求出点（a,b）关于x轴的对称点吗？
生5：（a,-b）
师：关于x轴对称的两个点坐标之间有何规律？
生6：横坐标不变，纵坐标变为相反数.
师：对于学生6的猜想我们利用几何画板来解释一下.如图4，AA1是一组对称点连线段，被对称轴x轴垂直平分，由于AA1⊥x轴，所以横坐标相同，由于平分，它们在x轴的两侧，到x轴距离相等，所以纵坐标互为相反数.
拖动点A至不同的象限（坐标轴上），发现这个结论也依然成立.
师：你们研究了点A关于x轴对称的坐标变化规律，还能得到什么规律吗？
生7：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数.
师：总结的很好，如图5，我们可以用同样的方法验证.大家观察下点A1和A2坐标之间有什么规律？
生8：横坐标和纵坐标都变为相反数.
师：教师拖动点A发现这个规律不变.
接下去，请同学们把文字语言“在直角坐标系中，点（a,b）关于x轴的对称点坐标为（a,-b）,关于y轴的对称点的坐标为（-a,b ）”和符号语言和图形语言（如图6）结合起来理解.
设计评析：在学生完成问题（1）（2）的时候，教师适时提出问题“你能求出点（a,b）关于x轴的对称点吗？”把学生的思维从特殊引导到了一般.再提出一个问题“关于x轴对称的两个点坐标之间有何规律？”实际上是数学符号语言向数学文字语言的转化.然后借助几何画板，利用几何画板的度量功能和图形的直观性，对数学符号语言和文字语言用图形语言进行解释，在三种语言转化的过程中促进学生的数学思维的清晰性和严密性.在完成点A关于x轴对称点坐标变化规律探求后提出问题“还能得出什么规律？”学生利用类比思想，很快就能得出点A关于y轴对称点坐标变化关系，并且借助图形很容易发现A1和A2两个点坐标之间的关系，为后续学习中心对称变换作好了铺垫.这个环节中都是在学生最近发展区内设计问题，学生觉得很有信心，激起了学生这堂课数学学习的信心，在这个探究过程中学会了数学思维.最后一步，教师要求学生借助图形理解文字和符号，并能闭上眼睛头脑中能呈现出这三种语言，看似一分多种的沉思，却起到了很好的效果，学生在下一组口答练习中回答的非常快，这个过程其实是在头脑中形成“几何直观”的过程，进一步培养了学生思维的清晰性和灵活性.
（三）练习巩固
1.口答
（1）点P（-2， ）关于x轴的对称点的坐标是 ;关于y轴对称点的坐标是_______.
（2）若点P1（-2，-3.5）与P2 （-2，3.5）是关于_____ 轴对称.
（3）若点P（a，b）的纵坐标不变，横坐标乘以-1得到点P1，则P与P1是关于_____轴对称.
2.选一选
（1）已知点P(a，3)关于x轴的对称点为Q(-2，b)，则a+b的值是（ ）
A. 1 B. －1 C. -5 D. 5
（2）点P(x,y)在第二象限，且 5,则点P关于y轴对称点的坐标是（ ）
A.（3，-5） B.（-3，5） C.（-5，-3） D.（3，5）
师生活动：师：请同学们举起第1道选择题的选卡进行plickers手机软件扫描.请3号同学说下你为什么选D
生9：关于x轴对称，a等于2，b等于3，所以选D.
刚讲完，他发现错了，应该选C
师：为了不出错，哪位同学能给3号同学一个好的建议吗？
生10：把图画出来，用数形结合来做，不容易错
师：讲的很好，请大家举起第二道选择题选卡.Plickers软件统计显示全班38位学生中有27位同学选择D.22号同学你说下，为什么选择D
生11：因为点P在第二象限，所以可以得到点P坐标是（-3，5）.因为点P 关于y轴对称，所以选D.
师：9号，你也是这么做的吗？
生12：老师，我不是.因为点P在第二象限，关于y轴对称后在第一象限，第一象限的点坐标符号是（+，+），所以直接选D.（教室里顿时掌声响起！）
3.画一画
在图9中写出△ABO各顶点的坐标，以及它们关于y轴的对称点的坐标，并描点连线.
设计评析：第一组 “口答”题，比较简单和直接，旨在练习巩固三种语言之间的快速
转化.第二组“选择题”，加入了字母，旨在进一步落实三种语言之间的转化，笔者借助了plickers手机教学软件（如图7，图8），通过扫一扫学生举起来的卡片（每位学生的卡片形状都不一样，每条边代表A、B、C、D一个选项，并且卡片有自己的编号）知道每位学生的答案.这样就避免了学生相互看答案，而且通过手机扫描就呈现数据统计（各个选项的人数和相应学生的卡片编号），所以教师可以快速准确的发现3号学生第一题错选D，22号和37号在第二题都是选正确答案D.通过利用plickers软件，在选择题教学中明显体现出人机交互学习效率高，及时的信息反馈促进了学生的思维发展和认识发展.[5]学生通过第三组题“画一画”，虽然题目比较简单，但是较好地形成了数学思维的完整性.
(四)实际应用
某个零件的横截面如图10所示，单位：mm.
要求：
1.选取适当的比例尺.
2.在零件上适当的位置建立直角坐标系，求出轮廓线各个转折点的坐标。
师生活动：师：图中单位是mm,底500代表50cm，你觉得直接画方便吗
生13：用1：10的比例尺，单位长度取1cm.
师：老师在同学中巡视，收集了建立不同平面直角坐标系的作品进行实物投影，问你喜欢哪一种方法.很多同学都是喜欢图11，为什么呢？
生14：图11中的y轴和图形的对称轴重合，这样只需要算一半的点，然后利用今天所学的点的坐标变换知识就可以全部求出来了.（掌声一片）大家都表示同意.
设计评析：通过集体讨论确定了比例尺，把问题的核心聚焦在坐标系的建立.教师借助实物投影，快速选取了三位不同建系方法的学生学案，由大家观察，讨论，比较得出在坐标平面内画轴对称图形使对称轴和坐标轴重合比较快的结论，促进了数学思维发展的深刻性.
（五）知识整理
请同学们对今天这节课所学的主要内容进行梳理。
师生活动:师：请同学们根据图13回顾这节课学习的主要内容.
生15：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数.
生16：点A（a,b）时，点A1是（a,-b）,
点A2是（-a,b）.
生17：整节课主要体现了“数形结合”的思想.
设计评析：课堂小结中通过出示坐标平面内点的对称变换图，回顾文字语言和符号语言，重温本节课的核心数学思想方法“数形结合思想”，形成完整的思维结构.
（六）问题再探
今天这节课我们主要研究了在坐标平面内点关于坐标轴的对称，那么点还可以关于
什么对称呢？
师生活动：生18：点关于第一、三象限角平分线对称.
师：很好，其实我们不仅可以研究关于一条特殊的直线对称，也可以研究关于任意的一
条直线对称，只是比较复杂，我们以后的学习中会接着去研究.那么，点关于第一、三象限角平分线对称坐标会有什么特征呢，我们可以借助几何画板进行探究，如图14.
生19：先作出点P关于第一、三象限角平分线的对称点P1，猜测这两个点横纵坐标互换.
师：我们可以度量这两个点的坐标，发现是成立的，并且可以拖动点P的位置，发现始终是成立的，那么如何证明呢？
正在思考中，铃声响了.
师：同学们，点P与关于第一、三象限角平分线对称点之间的坐标关系的证明老师有个微课，留给大家下课接着学习研究.
设计评析：在教学任务完成的情况下，教师不忘对本堂课的知识作进一步的探究，提出点还可以关于什么直线对称？学生很快发现可以研究我们熟悉的一、三象限角平分线，并带领学生借助几何画板的作图、度量功能经历观察、猜想、验证、证明的过程，在铃声响起没有完成证明时，教师将预先准备好的微课留给学生课后进一步学习研究，充分体现了微课的选择性学习的功效.问题的再探究过程促进了学生的思考，有利于学生学会“长时间的思考”，培养思维的深刻性和全面性.
八、总结与反思
（一）基于学生数学核心素养达成导学案特征分析
1 经验与知识
要处理好外在知识与学生经验之间的转化关系，需要通过调动以往的经验来参与当下课堂的学习，又要将当下的学习内容与已有的经验建立起联系，从而使知识转化为与学生个体有关联的、能够操作和思考的内容.本文中教师通过设置“任选一图作出折线OBCDEF关于直线FO轴对称的图形，看谁先完成”这样一个情境，激活学生已有的作图形轴对称的知识并引出本堂课要在“坐标平面内”这样一个新情境中继续研究.
2 活动与体验
学生要成为学习的主体而不是知识的被动接受器，就得有“活动”的机会，有亲身经历知识的发生发展过程的机会.当然，“活动”“亲身经历”主要是典型地、简约地经历结构性的关键过程与关键内容.通过活动将符号化的知识“打开”，将静态的知识“激活”，全身心地体验知识本身蕴含的丰富复杂的内涵与意义.本文规律探究环节，问题再探环节中，在教师的精心准备设计下学生就经历了知识的发生发展过程，积累了坐标平面内点的轴对称变化后坐标变化规律的经验.
3 本质与变式
本质与变式指的是如何处理学习内容的问题.它要求学生能抓住教学内容的本质属性去理解知识的内在联系，而不是简单掌握孤立的知识点或记忆更多的结论性知识.为帮助学生把握知识的内在联系与本质，教师在教学中除提供学习内容的标准形式之外，还必须设计和提供丰富而又具有典型意义的非标准正例甚至反例，实现迁移与应用.本文中教师非常重视三种语言之间的相互转化，始终抓住借助图形理解符号和文字语言，突显“数形结合”的数学本质，通过三组巩固练习中的多个变式，促进“数形结合”这个数学本质的理解.
4 价值与评价
价值与评价指向教学的终极目的及意义，教学活动需要自觉帮助学生形成正确价值观，形成学生发展的核心数学素养：思维的发展.因此，在教学过程中，要自觉引导学生能够有根据地评判在教学活动中所遇到的事与活动.本文中教师通过设计问题引入，规律探究，巩固练习，知识整理，问题探究等环节，在“活动与体验”中，在“参与”知识形成的过程中，发展和优化学生的数学思维.[6]
（二）基于学生数学核心素养达成导学案实施条件分析
1 教师教学预设与课堂生成和谐统一
基于学生数学核心素养达成的教学设计对教师提出了更高的要求，教师需要围绕“学生数学思维的发展”深入研究学生和教材.由于篇幅和结构体系的制约，数学教材内容一般都省略了数学知识的探索过程，呈现给学生的只有“死”的结论．因此，在明确自身专业素养和学生认知特点及知识基础的基础上，数学教师要适当改变以往演绎规律、记忆规律、运用规律的思维方式，花大力气对数学教材中的知识按照“创设情境、提出问题、发现和猜想、动手操作验证、‘几何画板’验证、归纳概括结论、反思小结升华探究”这样的知识结构体系进行整合和“激活”．这样，不但能对教材中呈现的这些规律性知识按其被发现和认识的过程进行教材的还原，而且根据课堂教学的需要，对这些规律性知识进行教材的重组，还原知识的生长过程，带领学生通过“似真”发现，模拟数学家的思维活动，实现培养其探究能力.但是，数学课堂教学是一个动态生成的过程，再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节．实际的课堂教学中，难免会发生诸多的意外，我们要有心理准备，一旦出现意外，要灵活应对，而不能一味拘泥于教学预设，有时反而可以巧妙利用意外的“生成”，获得预料之外的精彩.[7]
2 要有平等、宽松、合作、安全的互动氛围
教学活动本身是紧张严肃的，因此更需要营造安全的心理氛围.教师需要通过设计“放”“收”自如的问题，给学生充分表达自己想法、见解的机会，不以任何理由打击、压制学生学习的积极性，给每位学生课堂的伦理关注，保证学生全身心投入学习活动中，开展积极有效，思维发展的理性数学课堂.
3 信息技术与课堂教学深度融合
《教育信息化十年发展规划（2011-2020）》放弃传统的“信息技术与课堂整合”提法，而提出信息技术与教育“深度融合”的观念.基于学生数学素养达成的教学设计需要在思想、方法、技术上与信息技术融合.现在信息技术正在促进学与教方式转变，不同技术会以不同方式促进学习.教师要学习辅助课堂教学的先进的信息技术，利用技术促进学生数学思考，发展数学思维，通过人机交互提升学习效率.本文中教师运用了几何画板、plickers软件，实物投影，数学微课很好的实现了人机交互的效果.
参考文献
[1] 郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].天津：数学教育学报，2016（3）1-5
[2] 卫恤民.例谈基于学生学科核心素养达成的教学设计 [J].上海：历史教学，2016（15）3
[3] 裴昌根，宋乃庆.基于核心素养的优质高效课堂教学探析 [J].北京：课程教材教法，2016（11）45-49
[4] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
[5] 曹建忠.基于认知科学的信息技术与课堂教学“深度融合”探究 [J].北京：教育评论，2015（11）129-131
[6] 郭华.深度学习及其意义 [J].北京：课程教材教法，2016（11）25-32
[7] 毛大平.初中数学探究教学的有效实施[J].陕西：中学数学教学参考，2010（11）
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