2021-2022学年浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系 单元达标测试 （Word版含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学下册《第2章直线与圆的位置关系》
单元达标测试（附答案）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（　　）
A．4 B． C．8 D．
4．关于下列四种说法中，你认为正确的有（　　）
①垂直于弦的直线一定经过圆心；②经过直径外端的直线是圆的切线；
③对角互补的四边形四个顶点共圆；
④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（　　）
A．9 B．7 C．3 D．
6．如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（　　）
A． B． C． D．1
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α余弦值为　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．
9．如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA＝PB＝8cm，△PMN的周长是　 　．
10．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　 　度．
11．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝　 　度，∠ACB＝　 　度．
12．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是　 　．
13．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝　 　．
14．如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，N是AD上一点．若以点D为圆心，DN为半径作圆．⊙D与线段AM仅有一个公共点，则DN的长的取值范围是 　．
三．解答题（共8小题，满分70分）
15．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）
16．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．
（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．
18．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
19．已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的弦，且AB∥CD．
（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝25°，求∠BAC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，若OD∥CF，求∠ABC的大小．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45度，
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为4cm，AE＝6cm，求∠ADE的正切值．
21．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO．∠C＝30°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：BO＝CE；
（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
22．如图、AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BC、交BC延长线于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．解：连接OA、OP，
∵PA切圆O于A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝＝＝5，
故选：D．
2．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的根，
∴r＝3或r＝4，
∵d＝3，
∴当r＝3时，d＝r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切，
当r＝4时，d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：D．
3．解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC＝BC，
在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，OC＝OD＝2，tan∠OAB＝＝，
∴＝，
∴AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
故选：C．
4．解：①垂直平分弦的直线经过圆心，故①不符合题意；
②经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故②不符合题意；
③对角互补的四边形四个顶点共圆；故③符合题意；
④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故④符合题意；
故选：B．
5．解：∵C是PD的中点，PD＝6，
∴PC＝CD＝PD＝3，
由切割线定理得，PC PD＝PB PA，即3×6＝2×PB，
解得，PB＝9，
∴AB＝PA﹣PB＝7，
故选：B．
6．解：连OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
7．解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，连接A′D，
则∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值为，
故答案为：．
8．解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，
设⊙O的半径为r，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
当OE＝OB时，⊙O与AD相切，
∵OE∥AB，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
当OF＝OB时，⊙O与DC相切，
∵OF∥BC，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
综上所述，BP的长为或．
故答案为或．
9．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，
∴MA＝MD，ND＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MD+ND＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝8+8＝16（cm）．
故答案为16cm．
10．解：∵AB＝2，OA＝，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．
11．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
12．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，
∴AC＝＝＝10，
设△ADC的内切圆半径为r，
则有＝，
即＝24，解得：r＝2．
连接BQ，
∵P为BC中点，M为CQ中点，
∴PM为△BQC的中位线，
∴PM＝BQ，
当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，
作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，
则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，
∴BO＝＝＝2，
∴BQ＝BO+OQ＝2+2，
∴PM＝BQ＝+1．
故答案为：+1．
13．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，
∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．
又∵PA PB＝PC PD，
∴4×6＝PD2，
则PD＝4．
故答案是：4．
14．解：（1）当⊙D与线段AM相切时，如图1，
设切点为Q，则DQ⊥AM，
∵M是AB的中点，AB＝6，
∴BM＝MC＝3，在Rt△ABM中，
AM＝＝＝5，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AMB＝∠DAQ，
又∵∠B＝∠DQA＝90°，
∴△ABM∽△DQA，
∴＝，
即＝，
∴DQ＝＝DN，
即DN＝时，⊙D与线段AM相切，⊙D与线段AM仅有一个公共点；
（2）当⊙D过线段AM的端点M时，如图2，
此时⊙D与线段AM有两个公共点的最小临界值，
DN＝DM＝AM＝5，
当⊙D过线段AM的端点A时，如图3，此时⊙D与线段AM有一个公共点的最大临界值，
此时，DN＝DA＝6，
因此5＜DN≤6时，⊙D与直线AM相交，而与线段AM仅有一个公共点，
综上所述，当DN＝或5＜DN≤6时，⊙D与线段AM仅有一个公共点，
故答案为：DN＝或5＜DN≤6．
三．解答题（共8小题，满分70分）
15．解：AC是⊙O的切线．
证明如下：
∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
而AB是⊙O的直径，
∴OA⊥AC，
所以AC是⊙O的切线．
16．解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．
∴cm．
17．（1）证明：连接OC；
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在△ADC与△ACB中，，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
即AC2＝AD AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC＝＝2．
18．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
19．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝25°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC＝25°，
∴∠OCD＝50°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝50°；
（Ⅱ）如图②，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∵OD∥CF，
∴∠DOC＝∠OCF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝45°，
∴∠BOC＝135°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝×（180°﹣135°）＝22.5°．
20．解：（1）CD与⊙O相切．
理由是：连接OD．
则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO＝∠AOD＝90°．
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）连接BE，则∠ADE＝∠ABE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝2×4＝8（cm）．
∴BE＝＝＝2，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝．
∴∠ADE的正切值为．
21．（1）解：∵CA为⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；
（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB＝OE，
∴OB＝CE；
（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，
∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．
22．解：（1）如图，连OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD、CD，过点D作DF⊥AB于F，
在⊙O中，∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝CD，
又∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△ADF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），
∴AF＝CE＝2，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝DF＝5，
在Rt△ODF中，设OD＝x，则OF＝x﹣2，
由勾股定理得，
OF2+DF2＝OD2，
即（x﹣2）2+52＝x2，
解得x＝，
即⊙O的半径为．