(共21张PPT)
5.3.2待定系数法求一次函数
浙教版 八年级上
新知导入
3、一次函数的解析式是什么?
y=kx,(k为常数,且k≠0)
y=kx+b,(k、b为常数,且k≠0)
当b=0时,一次函数y=kx+b就变形为正比例函数y=kx
2、正比例函数的解析式是什么?
温故知新
1、一次函数和正比例函数的定义
新知导入
(2) 若x=1,y =5,则函数关系式 __________.
1、已知正比例函数y=kx(k≠0)
y=5x
2、若y与x成正比例,且当x=0.5时,y=3,则y与x的关系式为_______ .
y=6x
(1) 若比例系数为 ,则函数关系式为_________;
3、已知一次函数y=kx+1,在x=2时,y=-3,则k= .
4、若一次函数y=kx+b,当x=-1时,y=2;当x=3时,y=-2; 则k=_______,b=______
-1
1
-2
确定正比例函数的表达式需要一个条件
确定一次函数的表达式需要两个条件
如何确定正比例函数和一次函数解析式?
知识讲解
y=kx
y=kx+b
待确定
待确定
待确定
解一元一次方程
解二元一次方程组
知道一对x,y值,可确定k.
知道两对x,y值,可确定k, b.
例题讲解
例1、已知y是x一次函数,当x=3时, y=1;当x=-2时, y=-14 .
(3)当y=4时自变量x的值?
(2)当x=5时函数y的值;
(1)求这个一次函数的关系式和自变量x的取值范围;
解:(1)设y=kx+b,由已知得
3k+b=1
-2k+b=-14
解得:k=3,b=-8
∴这个一次函数的解析式为:y=3x-8 (x为任何实数)
(2)当x=5时,y=15-8=7
(3)当y=4时,3x-8=4 解得x=4
知识讲解
1、设:
2、列:
3、解:
4、写:把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次
函数的 解析式.
这种求函数解析式的方法叫做待定系数法
设所求的一次函数解析式为y=kx + b,其中k,b是待确定的常数.
解这个关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值.
把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组.
当堂练习
已知y是x的一次函数,当x=1时,y=-5;当x=-2时,y=-20.
(1)求这个一次函数的表达式 .
(2)当x=3时,函数y的值;
(3)当y=40时,自变量x的值 .
解:
把x=1时,y=-5;
当x=-2时,y=-20分别代入y=kx+b,得
(1)设这个一次函数解析式为 y=kx+b
-5=k+b
-20 =-2k+b
①
②
解得
k=5
b=-10
∴
y=5x-10
例题讲解
例2 、从1995年底开始,某地区的沙漠面积几乎每年以相同的速度增 长 . 据有关报道,到2001年底,该地区的沙漠面积已从1998年底的100. 6 万公顷扩展到101. 2万公顷.
(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化?
(2)如果该地区的沙漠化得不到治理,按相同的增长速度,那么到 2020年底,该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷?
分析:
由于沙漠面积每年几乎以相同的速度增长,设1995年
底该地区沙漠的面积为b万公顷,每经过一年,沙漠
面积增加k万公顷,经过x年,该地区的沙漠面积增加
到y万公顷,则y=kx+b,也就是说,可选用一次函数
来描述该地区沙漠面积的变化.
只要求出k,b系数,就求出了这个一次函数.
例题讲解
解:
(1)设1995年底该地区沙漠的面积为b万公顷,沙漠面积
每年增加k万公顷,经过x年沙漠面积增加到y万公顷.
由题意,得y=kx+b,且当x=3时,y=100. 6;
当x=6时,y=101. 2.
把这两对自变量和函数的对应值分别代入y=kx+b,
得解这个方程组 得
这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数y=0.2x+100
来进行描述.
当堂练习
(2)把x=25代入y=0.2x+100,得
=0. 2×25+100=105(万公顷).
可见,如果该地区的沙漠化得不到治理,按相同的增
长速度,那么到 2020年底,该地区的沙漠面积将增加
到105万公顷.
课堂小结
2、步骤:①设;②代;③解;④回代 .
待定系数法;
数学建模;
转化思想;
整体思想.
说明:如果y是x的一次函数,那么先设y=kx+b,再用待定系数法;对于没有指明是哪一类函数,应首先分析数量关系,明确是何种函数后,再设解析式.
1、用待定系数法求函数解析式;
课内练习
1、若y+3与x-2成正比例,则y是x的( )
A. 正比例函数 B. 比例函数
C. 一次函数 D. 不存在函数关系
C
2、根据下列条件,确定y关于x的函数表达式:
(1)y与x成正比,且当x=9时,y=16;
(2)已知一次函数y=kx+b,当x=3时,y=2;
当x=-2时,y=1.
分析:
(1)先设y关于x的函数表达式为y=kx,再把已知条件
代入y=kx即可;(2)把已知条件分别代入y=kx+b得
方程组,求出k,b的值即可.
课内练习
3、已知y是关于x的一次函数,且当x=3时,y=-2;
当x=2时,y=-3.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求当x=-3时函数y的值.
(3)求当y=2时自变量x的值.
(4)当y>1时,求自变量x的取值范围.
解: (1)设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意,得
∴y=x-5.
(2)当x=-3时,y=-3-5=-8.
(3)当y=2时,2=x-5,解得x=7.
(4)当y>1时,x-5>1,解得x>6.
课内练习
4、已知y-2与x+1成正比例函数关系,且当x=-2时,y=6.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)求当x=-3时y的值.
(3)求当y=4时x的值.
解: (1)设y-2=k(x+1).
将x=-2,y=6代入,得k=-4,
∴y-2=-4(x+1),整理,得y=-4x-2.
(2)当x=-3时,y=(-4)×(-3)-2=10.
(3)当y=4时,4=-4x-2,解得x= .
课内练习
5、已知y+m与x-n成正比例(其中m,n是常数)
(1)y是x的一次函数吗?
(2)如果当y=-15时,x=11;当x=7时,y=1;求y关于x的函数
解析式 .
解:(1)设y+m=k(x-n),(k是常数,且 k≠0)
∴y=kx-kn-m
∵k、m、n都是常数
∴ -kn-m 是常数
∴ y是关于x的一次函数
∴ y+m=kx-kn
(2)设y=kx+b, 则
11k+b= -15
7k+b=1
∴y=- 4x+29
k =-4
b =29
解得
答: y关于x的函数解析式为y=- 4x+29
课内练习
6、在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物 体质量x(千克)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解:设y=kx+b,根椐题意,得
14.5=b ①
16=3k+b ②
把b=14.5代入②,得 k=0.5
所以在弹性限度内:y=0.5x+14.5
当x=4时,y=0.5 × 4 + 14.5 = 16.5
答:物体的质量为4千克时,弹簧长度为16.5厘米.
课内练习
7、已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是
一次函数关系.现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰
(如下图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应
水银柱的长度.
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的度数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm,求此时
体温计的读数.
解:(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意,得解得
∴y=1.25x+29.75.
(2)当x=6.2时,
y=1.25×6.2+29.75=37.5,
即此时体温计的读数为37.5 ℃.
作业布置
作业本
课本作业题3.4.5
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