3.5.2 弧长及扇形面积
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文档简介
(共27张PPT)
我国地域广阔，民族多样，在蒙古草原上的游牧民族中的牧民长期无固定住所，过着逐水草而居的生活，生产设备相当简陋，经营非常粗放，基本处于靠天养草和靠天养畜的落后状态。
130°
8m
O
如图，小牧民（阿里巴巴）将一只羊用6米的绳子拴在点O处的木桩上，你知道这只羊的最大活动区域的面积是多少？
牧 民 牧 羊
河流
河流
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
半径
半径
圆心角
弧
A
B
B
A
圆心角
弧
半径
半径
⑤
辨 认 扇 形
下列图形中，哪些是扇形，为什么？
①
②
③
④
扇形面积的大小和哪些因素有关呢？
（当圆半径一定时）扇形的圆心角大小决定扇形面积占圆的面积的几分之几。
1. 圆心角是900的扇形面积是整个圆的几分之几？
2. 圆心角是1800的扇形面积是整个圆的几分之几？
3. 圆心角是600的扇形面积是整个圆的几分之几？
4. 圆心角是2700的扇形面积是整个圆的几分之几？
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
如果圆的半径为R，则圆的面积为
l°的圆心角对应的扇形面积为
n0的圆心角对应的扇形面积为
l 弧
＝ πR
180
n
S扇形
360
n
＝ πR2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能推导吗
扇形面积大小（ ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关
(C)只与扇形所对弧长有关（D）与扇形所对圆心角和半径有关
D
如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
360S
πr
360S
πr2
180S
πr
180S
πr2
B
3. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ ）
(A)300 (B)360 (C)450 (D)600
1
8
C
精心选一选
2、已知扇形面积为 ，圆心角为30°，则这个扇形的半径R=____．
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这
个扇形的面积，S扇= .
6
3、已知半径为5cm的扇形，其弧长为 cm，
则这个扇形的面积，S扇= ．
15π
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
2a
2a
解：设折扇的骨柄为2a，依题意，得
∴两把扇子扇面的面积一样大。
2a
2a
130°
8m
O
如图，小牧民（阿里巴巴）将一只羊用6米的绳子拴在点O处的木桩上，你知道这只羊的最大活动区域的面积是多少？
牧 民 牧 羊
河流
河流
如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面中有水部分弓形的面积.
O
A
B
6cm
C
D
C
S弓形=S扇形-S三角形
（1）含劣弧的弓形
（2）含优弧的弓形
S弓形=S扇形+S三角形
（3）含半圆的弓形
S弓形=S半圆
我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
(精确到0.01m/s).
O
A
B
D
解：依题意，得
答：水的流速应达到2.63m/s.
解 决 问 题
O
A
B
D
如图，∠ADB=90°，以点D为圆心，AD长为半径作弧AB，以点A为圆心，AB长为半径作弧BC，其中AC∥BD，AD=6.
（1）求图中阴影部分的周长；
（2）求图中阴影部分的面积。
A
D
B
C
A
D
B
C
解：依题意，得
AD=BD=6
∠ADB=90°，∠BAC=45°
（1）
（2）
1、影响扇形面积的因素：
1）扇形的圆心角；
2）扇形的半径。
2、扇形面积与弧长的关系：
3、类比学习和转化思想
S扇形
360
n
＝ πR2
（2011福建泉州）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ；
2π
提示：明确扇形的半径和圆心角
（2012山东临忻）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
（A）
1
C
（B）
（C）
（D）
1
2
等弧所在的弓形面积相等
（2006 辽宁）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的
面积为
（2010 新疆）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．
（2012 吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上点D处，折痕交OA于点C，
求整个阴影部分的周长和面积．
（2011台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以DM，CM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中所示的阴影部分面积为 （结果保留）
50π
（2005 武汉）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
我国地域广阔，民族多样，在蒙古草原上的游牧民族中的牧民长期无固定住所，过着逐水草而居的生活，生产设备相当简陋，经营非常粗放，基本处于靠天养草和靠天养畜的落后状态。
130°
8m
O
如图，小牧民（阿里巴巴）将一只羊用6米的绳子拴在点O处的木桩上，你知道这只羊的最大活动区域的面积是多少？
牧 民 牧 羊
河流
河流
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
半径
半径
圆心角
弧
A
B
B
A
圆心角
弧
半径
半径
⑤
辨 认 扇 形
下列图形中，哪些是扇形，为什么？
①
②
③
④
扇形面积的大小和哪些因素有关呢？
（当圆半径一定时）扇形的圆心角大小决定扇形面积占圆的面积的几分之几。
1. 圆心角是900的扇形面积是整个圆的几分之几？
2. 圆心角是1800的扇形面积是整个圆的几分之几？
3. 圆心角是600的扇形面积是整个圆的几分之几？
4. 圆心角是2700的扇形面积是整个圆的几分之几？
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
如果圆的半径为R，则圆的面积为
l°的圆心角对应的扇形面积为
n0的圆心角对应的扇形面积为
l 弧
＝ πR
180
n
S扇形
360
n
＝ πR2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能推导吗
扇形面积大小（ ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关
(C)只与扇形所对弧长有关（D）与扇形所对圆心角和半径有关
D
如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
360S
πr
360S
πr2
180S
πr
180S
πr2
B
3. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ ）
(A)300 (B)360 (C)450 (D)600
1
8
C
精心选一选
2、已知扇形面积为 ，圆心角为30°，则这个扇形的半径R=____．
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这
个扇形的面积，S扇= .
6
3、已知半径为5cm的扇形，其弧长为 cm，
则这个扇形的面积，S扇= ．
15π
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
2a
2a
解：设折扇的骨柄为2a，依题意，得
∴两把扇子扇面的面积一样大。
2a
2a
130°
8m
O
如图，小牧民（阿里巴巴）将一只羊用6米的绳子拴在点O处的木桩上，你知道这只羊的最大活动区域的面积是多少？
牧 民 牧 羊
河流
河流
如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面中有水部分弓形的面积.
O
A
B
6cm
C
D
C
S弓形=S扇形-S三角形
（1）含劣弧的弓形
（2）含优弧的弓形
S弓形=S扇形+S三角形
（3）含半圆的弓形
S弓形=S半圆
我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
(精确到0.01m/s).
O
A
B
D
解：依题意，得
答：水的流速应达到2.63m/s.
解 决 问 题
O
A
B
D
如图，∠ADB=90°，以点D为圆心，AD长为半径作弧AB，以点A为圆心，AB长为半径作弧BC，其中AC∥BD，AD=6.
（1）求图中阴影部分的周长；
（2）求图中阴影部分的面积。
A
D
B
C
A
D
B
C
解：依题意，得
AD=BD=6
∠ADB=90°，∠BAC=45°
（1）
（2）
1、影响扇形面积的因素：
1）扇形的圆心角；
2）扇形的半径。
2、扇形面积与弧长的关系：
3、类比学习和转化思想
S扇形
360
n
＝ πR2
（2011福建泉州）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ；
2π
提示：明确扇形的半径和圆心角
（2012山东临忻）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
（A）
1
C
（B）
（C）
（D）
1
2
等弧所在的弓形面积相等
（2006 辽宁）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的
面积为
（2010 新疆）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．
（2012 吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上点D处，折痕交OA于点C，
求整个阴影部分的周长和面积．
（2011台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以DM，CM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中所示的阴影部分面积为 （结果保留）
50π
（2005 武汉）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
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