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第1章 解直角三角形（单元测试）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
本试卷满分120分，试题共26题．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin45°＝（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB，点M是AB的中点，则CM的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
6．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．1 B．1 C． D．
9．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（ ）
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．若tan（α﹣15°），则锐角α的度数是 ．
12．在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sinA，则BC＝ .
13．若∠α为锐角，且tanα是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于 ．
14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是 ．
15．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）.
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于 ．
17．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
18．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C，tan∠BA3C，依此规律写出tan∠BA7C，则n＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
20．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
21．如图所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．
22．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ；②cos2θ+sin2θ＝1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ，求值：
（1）tanθ；
（2）||．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
24．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
26．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：
（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是 ③④ ．
（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.
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第1章 解直角三角形（单元测试）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
本试卷满分120分，试题共26题．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin45°＝（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】sin45°，故选C.
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3，∴cosB．故选B．
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AB＝5，BC5，AC，
∴BA＝BC，∴∠ACB＝∠CAB，∴cos∠ACB＝cos∠CAB，故选D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB，点M是AB的中点，则CM的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∵cosB，BC＝4，∴AB＝6．
∵CM是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CMAB＝3．故选B．
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
【答案】A
【解析】∵迎水坡AB的坡比为1：，∴，即，解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB6（m），故选A．
6．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴sinA，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD，故B不合题意；
C、无法得出sinA，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE，故D不合题意；
故选C．
7．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，∴∠AOD＝90°，
∵AB∥x轴，∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，
∵OB+OA+AB＝60km，∴OB＝OAAB，
∴AB，故选B．
8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．1 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD，
∴tan22.5°1，故选B．
9．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（ ）
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
【答案】C
【解析】A、α＝60°，β＝45°，α＞β，则y＝sinα；
B、α＝30°，β＝45°，α＜β，则y＝cosβ；
C、α＝30°，β＝30°，α＝β，则y＝sinα；
D、α＝45°，β＝30°，α＞β，则y＝sinα；
故选C．
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，∴CDAB＝AD＝4，∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，∴CECD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，∴tan∠ACDtanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，∴∠ACD＝∠FCE，∴△CEG∽△FEC，
∴，∴y，∴y2，∴FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，∴x2﹣4，∴4＝x2，故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．若tan（α﹣15°），则锐角α的度数是 ．
【答案】75°
【解析】∵tan（α﹣15°），∴α﹣15°＝60°，∴α＝75°．故答案为：75°．
12．在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sinA，则BC＝ .
【答案】4
【解析】∵sinA，AB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．
13．若∠α为锐角，且tanα是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于 ．
【答案】
【解析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3．
∵tana＞0，∴tana＝3．
设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1．
根据勾股定理，得斜边是．所以sinα．
14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是 ．
【答案】等边三角形
【解析】∵，∴tanB0，2sinA0．
∴tanB，∠B＝60°；sinA，∠A＝60°．
∴∠C＝60°,∴△ABC的形状是等边三角形．
15．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）.
【答案】40
【解析】由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°，
解得：CD＝40（m），故答案为：40．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB＝2：3，那么a：b等于 ．
【答案】2：3
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边，
∴sinA，sinB，
∵sinA：sinB＝2：3，∴：2：3，
∴a：b＝2：3．故答案为2：3．
17．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
【答案】或
【解析】若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BCx，所以cosC；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BCx，所以cosC；
综上所述，cosC的值为或．故答案为或．
18．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C，tan∠BA3C，依此规律写出tan∠BA7C，则n＝ ．
【答案】43
【解析】作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4，A4C，
△BA4C的面积＝4﹣2，∴CH，解得，CH，
则A4H，∴tan∠BA4C，
1＝12﹣1+1，
3＝22﹣2+1，
7＝32﹣3+1，
∴tan∠BAnC，
∴tan∠BA7C，
则n＝43．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
【解析】（1）原式
；
（2）原式
3
．
20．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
【解析】如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10，
∴a8，
∴sinA；
cosA；
tanA．
21．如图所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．
【解析】∵△ACB∽△DEB，
∴∠BDE＝∠A，
∴sin∠BDE＝sinA，
cos∠BDE＝cosA，
tan∠BDE＝tanA．
22．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ；②cos2θ+sin2θ＝1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ，求值：
（1）tanθ；
（2）||．
【解析】（1）∵cosθ+sinθ，
∴（cosθ+sinθ）2＝（）2，
cos2θ+2cosθ sinθ+sin2θ，
cosθ sinθ，
∴tanθ4；
（2）∵（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2cosθ sinθ+sin2θ＝1﹣2，
∴cosθ﹣sinθ＝±，
∴|cosθ﹣sinθ|．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【解析】（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a（负值舍去），
∴DE＝3a，
∵AD6，
∴sin∠BAD．
24．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
【解析】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB，
∴CD＝5，
由勾股定理得：AD12，
∵E是AD的中点，
∴EDAD＝6，
∴tan∠DCE；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴，1，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x
∴．
25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
【解析】（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，
在Rt△ABD中，
∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，
∴BD＝15海里，AD＝ABcos30°＝15海里，
在Rt△BCD中，
∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，
∴CD＝15海里，BC＝15海里，
∴AC＝AD+CD＝1515海里，
即A、C间的距离为（1515）海里．
（2）∵AC＝1515（海里），
轮船乙从A到C的时间为1，
由B到C的时间为1﹣1，
∵BC＝15海里，
∴轮船甲从B到C的速度为5（海里/小时）．
26．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：
（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是 ③④ ．
（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解析】（1）∵图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动，
∴图①不能求出其余未知元素；
∵图②已知三个角，则三个边可以任意变动，
∴图②求出其余未知元素；
∵图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长，
∴图③、图④可以求出其余未知元素；
故答案为：③④；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，如图⑤所示：
在Rt△ADC中，∠A＝37°，
∴CD＝AC sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，
AD＝AC cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，
∴在Rt△CDB中，BC2，
即BC的长度为2．
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