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浙教版九下第二章——直线与圆的位置关系培优测试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相似
2．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点M．若OM＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
3．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝25°，则∠B等于（ ）
A．25° B．65° C．75° D．90°
4．如一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
5．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
7．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 ．
12．如图，A、B是圆O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝ °时，AC与圆O相切．
13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝55°，则∠AOD的度数为 ．
14．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
16．如图：半径为2的⊙P的圆心P在直线y＝2x﹣1上运动，当P与x轴相切时圆心P的坐标为
17．矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点．设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，第19、20、21题每题6分，第22题8分，第23、24题每题10分，共46分）
19．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你在这块材料上作一个面积最大的圆．
20．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q是圆上一点，且OQ∥PB，∠P＝34°，求∠Q的度数．
21．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B（0，4），C（0，16），求该圆的直径．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
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浙教版九下第二章——直线与圆的位置关系培优测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相似
【分析】根据相离的概念：一条直线和圆没有公共点称为直线和圆相离，由此即可作出判断．
【解答】解：∵太阳与地平线没有公共点，
∴该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，记住直线和圆的三种位置关系：相离、相切、相交，是解题的关键，属于基础题中考常考题型．
2．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点M．若OM＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d＝r；③直线l和⊙O相离 d＞r．分OM垂直于直线l，OM不垂直直线l两种情况讨论．
【解答】解：当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝4＝r，⊙O与l相切；
当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4＝r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系来完成．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝25°，则∠B等于（ ）
A．25° B．65° C．75° D．90°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，利用互余得到∠OCB＝65°，然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
4．如一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】先求出AB＝7﹣4＝3，∠BAC＝180°﹣∠CAD＝120°，说明点O为量角器所在圆的圆心，连接OA、OB，则∠BAO＝∠BAC＝60°，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，得OA＝2AB＝6，根据勾股定理即可求出OB及2OB的长，即得到量角器的直径的长．
【解答】解：如图，由题意得AB＝7﹣4＝3，点O为量角器所在圆的圆心，连接OA、OB，
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD＝120°，
∵AB与⊙O相切于点B，AC与⊙O相切于点C，
∴AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠BAC＝60°，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝30°，
∴OA＝2AB＝6，
∴OB＝＝＝，
∴2OB＝，
∴量角器的直径长为，
故选：D．
【点评】此题考查圆的切线的判定、切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．
5．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【点评】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4﹣π D．
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r＝＝2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴＝，
∴r＝＝2，
∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE＝90°，
∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
7．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用∠C表示∠AIB的度数．
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，
连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，
∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，
∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，
∴EG⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠FGE＝∠A，
∵∠GFO′＝∠C＝90°，
∴△O′FG∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴O′G＝，
∴EG＝，
∵GE∥AC，
∴△BGE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝3，
∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，
∴⊙O平移的距离为4，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据切线长定理得到ED＝EA，则∠ADE＝∠2，于是利用等角的余角相等得∠1＝∠C，则AE＝DE＝CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF＝CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE＝OF＝7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC＝25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，
∵DE为切线，
∴ED＝EA，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠1＝∠C，
∴ED＝EC，
∴CE＝AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF＝CF，
而BO＝AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE＝OF＝7.5，
∴AC＝2AE＝15，
在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，
∵∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．
10．如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可找到的值．
【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，设⊙O的半径为R，则：
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝，
∵AB+AC＝，
∴S△ABC＝ （）＝，
又∵AD的长为h，
∴S△ABC＝，
∴＝，
即，h＝，
∴，
故A、C、D错误，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键．
二．填空题（共8小题）
11．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 相离 ．
【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．
12．如图，A、B是圆O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝ 60 °时，AC与圆O相切．
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【解答】解：∵△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝55°，则∠AOD的度数为 70° ．
【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°＝35°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 S1+S3＝S2+S4 ．
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3＝r（a+b）+ r（c+d）＝r（a+b+c+d）＝S2+S4．
【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，
设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，
S1＝r（a+b），S2＝r （b+c） S3＝ r（c+d），S4＝r（a+d），
∴S1+S3＝r（a+b）+ r（c+d）＝r（a+b+c+d），
S2+S4＝r（a+d）+r （b+c）＝r（a+b+c+d），
∴S1+S3＝S2+S4．
故答案为S1+S3＝S2+S4．
【点评】本题考查了切线长定理和内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
16．如图：半径为2的⊙P的圆心P在直线y＝2x﹣1上运动，当P与x轴相切时圆心P的坐标为 （﹣，﹣2）或（，2）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可设P点坐标为（t，2t﹣1），再利用切线的性质得|2t﹣1|＝2，然后解方程求出t的值即可得到点P的坐标．
【解答】解：设P点坐标为（t，2t﹣1），
∵⊙P与x轴相切，
∴|2t﹣1|＝2，解得t＝或t＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣2）或（，2）．
故答案为：（﹣，﹣2）或（，2）．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
17．矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 9﹣3π ．
【分析】连接OF、OE、OD，如图，在Rt△OBF中利用三角函数的定义求出∠OFB＝60°，再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，所以∠BFE＝120°，则∠ADE＝60°，同样可得∠ADO＝∠EDO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD＝OA＝3，所以S△ADO＝；接着计算出∠AOE＝120°，于是得到S扇形AO＝3π，然后利用阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积进行计算即可．
【解答】解：连接OF、OE、OD，如图，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB＝＝＝，
∴∠OFB＝60°，
∵BF⊥AB，
∴BF为切线，
∵DF为切线，
∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，
∴∠BFE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE＝60°，
∵AD⊥AB，
∴AD为切线，
而DE为切线，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，
在Rt△AOD中，AD＝OA＝3，
∴S△ADO＝×3×3＝；
∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴S扇形AOE＝＝3π，
∴阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积＝2×﹣3π＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点．设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是 3≤x≤4 ．
【分析】先根据勾股定理计算出AC＝5，由于∠BQP＝90°，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆⊙M上，而点Q在AC上，则有AC与⊙M相切于点Q，连接MQ，如图，根据切线的性质得MQ⊥AC，MQ＝BM＝x，然后证明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到x：3＝（4﹣x）：5，最后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠BQP＝90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连接MQ，如图，则MQ⊥AC，MQ＝BM＝x，
∵∠QCM＝∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB＝CM：AC，即x：3＝（4﹣x）：5，
∴x＝3．
当P与C重合时，BP＝4，
∴BP＝x的取值范围是：3≤x≤4，
故答案为：3≤x≤4．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共6小题）
19．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你在这块材料上作一个面积最大的圆．
【分析】可作出任意两个内角的平分线，作出内切圆．
【解答】解：分别作∠BAC，∠ABC的角平分线，交点即为圆心，再作圆．
如图所示：
【点评】考查应用与设计作图；用到的知识点为：内切圆作图方法．
20．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，Q是圆上一点，且OQ∥PB，∠P＝34°，求∠Q的度数．
【分析】根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，求得∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝146′，根据平行线的性质得到∠QOB＝180°﹣∠PBO＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴AO⊥AP，BO⊥BP，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝34°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝146′，
∵OQ∥PB，
∴∠QOB＝180°﹣∠PBO＝90°，
∴∠AOQ＝∠AOB﹣∠QOB＝146°﹣90°＝56°，
∴OA＝OQ，
∴∠OAQ＝∠OQA，
∴∠Q＝＝62°．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B（0，4），C（0，16），求该圆的直径．
【分析】过A作x轴的垂线交BC的垂直平分线于O′，则O′即为该圆的圆心，由垂径定理可知，D为BC中点，BC＝16﹣4＝12，OD＝6+4＝10，由切线性质可知，O′A⊥x轴，四边形OAO′D为矩形，半径O′A＝OD＝10，故可求得圆的直径．
【解答】解：过A作x轴的垂线交BC的垂直平分线于O′，
则O′即为该圆的圆心，
∵O′D⊥BC，
∴D为BC中点，
∴BC＝16﹣4＝12，OD＝6+4＝10，
∵⊙O′与x轴相切，
∴O′A⊥x轴，
∴四边形OAO′D为矩形，
半径O′A＝OD＝10，
故直径＝20．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，垂径定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED＝90°，∠OED＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED＝90°，进而可得∠BEO＝90°，可得结论；
（2）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF＝EP＝CE＝PF，由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理可求CF的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝CE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵AE＝AE，CE＝EP，
∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明∠ODB＝∠C，则OD∥AC，得∠ODF＝∠DFC＝90°，根据切线的判定理可证明DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，先求出∠A的度数，再由OE＝OA，求得∠AOE＝90°，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于点F，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接OE，则OE＝OA，
∵∠B＝∠C＝67.5°，
∴∠OEA＝∠A＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵OA＝OE＝6，
∴S阴影＝＝9π﹣18，
∴阴影部分的面积为9π﹣18．
【点评】此题考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、求扇形和三角形的面积等知识与方法，解题的关键是作经过切点的半径．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．
（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝
【解答】解：（1）连接OM．
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3
∴OM∥BC
∵AE是BC边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM是⊙O的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝＝
∴AC＝EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴
又∵∠ABC＝∠C
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM中
cos∠AOM＝cosC＝，
∴
∴AO＝
AB＝+OB＝
而AB＝AC＝
∴＝
∴OM＝
∴⊙O的半径是
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．
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