浙教版八年级第5章《一次函数》解答题训练卷（含解析）

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通用版八年级一次函数精选题库（必考题加强基）
一．选择题（共20小题）
1．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
2．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
3．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（0，5） C． D．
4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成的图象可以表示为函数y＝|x﹣1|，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
5．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　）
A．﹣3＜k＜0 B．﹣3＜k＜3 C．0＜k＜3 D．0＜k＜6
6．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
8．如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿A→B→C→D方向运动至点D停止，设点E的运动路程为x，△ADE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．18 B．12 C．9 D．3
9．如图所示，一次函数y1＝x+6与一次函数y2＝﹣x﹣2的图象交于点P（﹣2，3），则不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2
10．下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（　　）
A．（5，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，1）
12．我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2
C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
13．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，6），将△AOB沿x轴向右平移后得到△A'O'B'，点B的对应点B′在直线y＝上，则点A与其对应点A'之间的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
14．一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
15．点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣6
16．已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．直线y＝x﹣1与两坐标轴分别交于A、B两点，点M在坐标轴上，若△ABM为等腰三角形，则满足条件的点M最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
18．如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　）
A．+ B．3 C．2+ D．+
19．下列曲线中，不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
20．已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（a，b，c，d均为常数，且a c≠0）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　）
A．c＜a＜d＜b B．a＜c＜d＜b C．d＜b＜c＜a D．d＜b＜a＜c
二．填空题（共33小题）
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　 　．
22．在直角坐标系中，直线y＝分别与x轴，y轴交于M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且∠BAO＝30°，AO＝2．将△ABO绕O顺时针转动一周，当AB与直线MN垂直时，点A坐标为　 　．
23．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数y＝﹣x+4的图象上一动点，将Q绕点C（2，0）顺时针旋转90°到点P，连接PO，则PO+PC的最小值　 　．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为　 　．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，1）在直线y＝x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y＝﹣x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y＝x的图象于点A2，交y＝﹣x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2…依此类推．按照图中反映的规律，则点An的坐标是 　 　；第2020个正方形的边长是 　 　．
26．已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是　 　；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝　 　时，|OA'﹣OB'|取最大值．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2020的横坐标是 　 　．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是　 　．
29．如图，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为 　 　．
30．要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M＝2x﹣5y，则M的取值范围为　 　．
31．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为　 　．
32．直线y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于点A1，把正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1和A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A2、A3在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3在x轴上，按照这样的规律，则正方形A2020B2020C2020C2019中的点B2020的坐标为　 　．
33．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　．
34．已知实数x，y满足x+2y＝4，并且x≤3，y＜2，现有m＝x﹣2y，则m的取值范围是　 　．
35．用一根长16cm的细铁丝围成一个等腰三角形，设三角形的底边长为ycm，腰长为xcm，则底边长y与腰长x的函数关系式为　 　，自变量x的取值范围为　 　．
36．将直线y＝2x+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的直线解析式为 　 　．
37．对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　 　．
38．y＝（m﹣2）x|m|﹣2+3的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则这个一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为　 　．
39．一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象，在﹣2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是　 　．
40．若k＝＝＝（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第 　 　象限．
41．函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）＝的值为 　 　．
42．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 　 　．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 　 　．
44．如图，已知直线l1：y＝x和直线l2：y＝﹣x，过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为 　 　．
45．如图，已知一次函数y＝﹣x+的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB＝45°时，点C的坐标是 　 　．
46．如图，定点A（﹣2，1），点B在直线y＝x上，且横坐标为2，动点P在x轴上运动，当线段PA+PB最短时，点P的坐标为 　 　．
47．在平面坐标系中，已知点A（2，3），B（5，8），直线y＝kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为 　 　．
48．平面直角坐标系中，A（2，1），B（0，﹣2），直线y＝x﹣+1（m为常数）与线段AB有公共点，则m的取值范围 　 　．
49．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+5，l2：y＝﹣5x+5，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 　 　．
50．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推…，则点A2021的纵坐标是 　 　．
51．已知直线l1：y＝﹣2x+3和直线l2：y＝x﹣6，若直线l3：y＝kx﹣2与l1、l2不能围成三角形，则k＝　 　．
52．如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是 　 　．
53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　 　．
三．解答题（共7小题）
54．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　 　．
55．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 　 　，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
56．如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB交x轴、y轴分别于点A、点B，若OA＝OB，且△ABO的面积为8．
（1）求点B的坐标；
（2）如图②，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图③，在（2）条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，求点M的坐标．（用含t的式子表示）
57．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝15，OC＝12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求出CE的长为 　 　，OD的长为 　 　；
（2）求直线DE的表达式；
（3）直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b的取值范围．
58．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．
（1）求点B'的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式；
（3）若点P是y轴上的一个动点，当△CPE为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
59．已知，如图，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（0，8）和点B（4，0），点M（2，m）是AB上一点，直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于点D，交OB于点C．
（1）求m的值；
（2）如图1，当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，连接MC，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请求出AN+MN的最小值．
60．如图所示，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB与x轴重合，B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），直线l的解析式为y＝kx+6（k≠0）．
（1）k取任意不为零的数时，直线l都经过一个点，该点坐标为 　 　；
（2）当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等时，求k的值；
（3）当直线l与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；
（4）当直线l与线段BC相交时，交点为E，设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式及k的取值范围．
2021年11月24日初中数学2的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．
【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，
∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，
令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，
令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，
当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，
∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，
令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，
令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，
∴故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
2．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
3．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（0，5） C． D．
【分析】首先证明AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．由△ECF≌△DAB（SAS），推出BD＝EF，推出BD+BE＝BE+EF，因为BE+EF≥BF，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成的图象可以表示为函数y＝|x﹣1|，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题；
【解答】解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+5．
情形1：a+5＝0，
a＝﹣5，
∴y＝|x+5|，此时x＝﹣5时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+5，得到a＝﹣3．
∴y＝|x+3|，符合题意．
情形3：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+5，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　）
A．﹣3＜k＜0 B．﹣3＜k＜3 C．0＜k＜3 D．0＜k＜6
【分析】利用直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），求出k与b的关系，即b＝2k．联立方程组求出点M的坐标，再利用点M在第一象限，列出不等式组，从而求出k的取值范围．
【解答】解：由题意得：当x＝﹣2时，y＝﹣2k+b＝0．
∴b＝2k．
∴直线l2的解析式为y＝kx+2k（k≠0）．
由得：
∴M（，）．
又∵M在第一象限，
∴＞0且＞0．
∴（﹣2k+6）（k+3）＞0且12k（k+3）＞0．
令g＝（﹣2k+6）（k+3），则该二次函数图象开口向下且与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0）
∴若g＝（﹣2k+6）（k+3）＞0，则﹣3＜k＜3．
令h＝12k（k+3），则该二次函数的图象开口向上且与x轴交点为（0，0）、（﹣3，0）．
∴若h＝12k（k+3）＞0，则k＜﹣3或k＞0
∴0＜k＜3．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象交点坐标的求法以及不等式组的解法．
6．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
【分析】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），
代入直线y＝2x+b，可得
4+b＝3，
解得b＝﹣1，
一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），
（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），
代入直线y＝kx+3，可得
2k+3＝﹣1，
解得k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿A→B→C→D方向运动至点D停止，设点E的运动路程为x，△ADE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．18 B．12 C．9 D．3
【分析】分点E在AB段运动、点E在AD段运动时两种情况，求出AB和BC长即可得到矩形ABCD的面积．
【解答】解：当点E在AB段运动时，
y＝BC×BE＝BC x，为一次函数，
由图2知，AB＝3，
当点E在BC上运动时，
y＝×AB×AD，为常数，
由图2知，BC＝9﹣3＝6，
故矩形的面积为3×6＝18，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到一次函数、图形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
9．如图所示，一次函数y1＝x+6与一次函数y2＝﹣x﹣2的图象交于点P（﹣2，3），则不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2
【分析】写出直线y1＝x+6在直线y2＝﹣x﹣2上方时所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：如图所示，一次函数y1＝x+6与一次函数y2＝﹣x﹣2的图象交于点P（﹣2，3），则不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是x＞﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
10．下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断．
【解答】解：由图象，得
D的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
11．如图在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（　　）
A．（5，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，1）
【分析】先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点A1的坐标．
【解答】解：由函数图象得B点的坐标为（0，4），
将y＝0代入y＝x+4，可得x＝﹣3，
故A点的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BO1＝OB＝4，
故A1的横坐标为4，
又∵A1O1＝OA＝3，
故A1的纵坐标为1，
∴点A1的坐标是（4，1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．
12．我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2
C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【分析】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
【解答】解：∵若ab＞0．则有或，
∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2．
综上：﹣0.5＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，6），将△AOB沿x轴向右平移后得到△A'O'B'，点B的对应点B′在直线y＝上，则点A与其对应点A'之间的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由题意得：AA′＝BB′，则欲求AA′，需求BB′，即平移的单位长度．根据平移后的B′在直线y＝上，故可求出BB′．
【解答】解：由题意得：AA＝BB′．
设B（0，6）向右平移a个单位长度得到B′（a，6）（a＞0）．
∴．
∴a＝8（8＞0，符合题意）．
∴BB′＝8．
∴AA′＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查图形平移的性质以及一次函数图象的点与一次函数解析式之间的关系，熟练掌握图形平移的性质以及一次函数图象的点与一次函数解析式之间的关系是解决本题的关键．
14．一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大可得答案．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵a﹣1＜a＜a+1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．
15．点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣6
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a﹣2b+1的值．
【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，
∴b＝4a+3，
∴8a﹣2b+1＝8a﹣2（4a+3）+1＝﹣5，
即代数式8a﹣2b+1的值等于﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．
16．已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】当x＝﹣4时，可求出y＝3，由此即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3，
即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3），
因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限．
故选：B．
【点评】本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键．
17．直线y＝x﹣1与两坐标轴分别交于A、B两点，点M在坐标轴上，若△ABM为等腰三角形，则满足条件的点M最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】确定A、B两点的位置，分别以AB为腰、底讨论M点位置．
【解答】解：直线y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），直线y＝x﹣1与x轴的交点为（1，0）．
①以AB为底，M在原点；
②以AB为腰，且A为顶点，M点有3种可能位置；
③以AB为腰，且B为顶点，M点有3种可能位置．
所以满足条件的点C最多有7个：（0，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1﹣），（1+，0），（1﹣，0），（0，﹣1）
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
18．如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　）
A．+ B．3 C．2+ D．+
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，
则A（﹣，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB＝＝2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x＝x，
解得：x＝+1，
∴AC＝x＝（+1）＝，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
19．下列曲线中，不表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然A、C、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
B选项对于x取值时，y可能有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的定义，解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
20．已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（a，b，c，d均为常数，且a c≠0）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　）
A．c＜a＜d＜b B．a＜c＜d＜b C．d＜b＜c＜a D．d＜b＜a＜c
【分析】一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k＞0时，图象过第一，第三象限；k＜0时，图象过第二，第四象限；|k|越大，直线与y轴越接近；由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【解答】解：∵两个一次函数的图象都过了第一，第三象限，
∴a，c＞0，且c＞a，
根据两个一次函数的图象与y的交点的位置可得：b，d＜0，且b＞d，
∴d＜b＜a＜c，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记一次函数中k，b的性质是解题的关键．
二．填空题（共33小题）
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　，）　．
【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），取AA′的中点K（﹣2，﹣1），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可
【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），
取AA′的中点K（﹣2，﹣1），
直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．
∵直线BK的解析式为y＝5x+9，
由，解得，
∴点P坐标为（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
22．在直角坐标系中，直线y＝分别与x轴，y轴交于M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且∠BAO＝30°，AO＝2．将△ABO绕O顺时针转动一周，当AB与直线MN垂直时，点A坐标为　（1，）或（﹣1，﹣）　．
【分析】计算出OM＝，ON＝4，即可确定∠NMO＝60°，然后利用AB与直线MN垂直画出图形，直线AB交y轴于点C，作AD⊥x轴于H，则∠OCB＝60°，再解直角三角形求AD、OD，从而确定A点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝＝4，则N（0，4），
当y＝0时，＝0，解得x＝，则M（，0），
在Rt△OMN中，∵tan∠NMO＝＝＝，
∴∠NMO＝60°，
在Rt△ABO中，∵∠BAO＝30°，AO＝2，
∴∠OBA＝60°，
∴OB＝，
∵AB与直线MN垂直，
∴直线AB与x轴的夹角为60°，
如图1，直线AB交y轴于点C，交MN于G，作AD⊥x轴于D，GH⊥x轴于H，
∴∠MGH＝30°，
∴∠BGH＝60°
∴∠OCB＝60°，
∵∠OBA＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
在Rt△OAD中，OD＝OA＝1，AD＝OA＝，
∴A点坐标为（1，）；
如图2，直线AB交y轴于点C，作AD⊥x轴于D，
同理：∠OCB＝60°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
在Rt△OA，D中，OD＝OA＝1，OD＝OA＝，
∴A点坐标为（﹣1，﹣）；
综上所述，A点坐标为（1，）或（﹣1，﹣）．
故答案为（1，）或（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决本题的关键是正确画出旋转后的图形．
23．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数y＝﹣x+4的图象上一动点，将Q绕点C（2，0）顺时针旋转90°到点P，连接PO，则PO+PC的最小值　2　．
【分析】如图，过点C作CT⊥x轴交AB于T，在CB上取一点R，使得CR＝CT，连接RP，作点C关于PR的对称点C′，CC′交PR于J，过点C′作C′E⊥OB于E，连接OC′，交PR于P′，连接CP′．证明△TCQ≌△RCP（SAS），推出∠CRP＝∠CTB＝定值，推出点P在直线PR上运动，推出OP+PC的最小值为线段OC′的长，想办法求出点C′的坐标，可得结论．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥x轴交AB于T，在CB上取一点R，使得CR＝CT，连接RP，作点C关于PR的对称点C′，CC′交PR于J，过点C′作C′E⊥OB于E，连接OC′，交PR于P′，连接CP′．
∵∠TCR＝∠QCP＝90°，
∴∠TCQ＝∠RCP，
在△TCQ和△RCP中，
，
∴△TCQ≌△RCP（SAS），
∴∠CRP＝∠CTB＝定值，
∴点P在直线PR上运动，
∵C，C′关于PR对称，
∴CP′＝P′C′，
∴OP′+CP′＝OP′+P′C′＝OC′，
∴OP+PC的最小值为线段OC′的长，
∵C（2，0），CT⊥OB，
∴T（2，3），
∴CT＝CR＝3，
由题意A（0，4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∵CT∥OA，
∴∠CTB＝∠OAB，
∴∠CRJ＝∠OAB，
∴tan∠CRJ＝tan∠OAB＝2，
∴CJ＝2RJ，
∴RJ＝，CJ＝JC′＝，
∴CC′＝，
∵△CJR∽△CEC′，
∴＝．
∴EC′＝，CE＝，
∴OE＝2+＝，
∴C′（，﹣），
∴OC′＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换，旋转勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上，若A1（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn．则Sn可表示为　22n﹣1　．
【分析】根据条件容易判定所有阴影△是30°的直角三角形；相似比恰好是1：2．
【解答】解：根据条件知道正比例函数中的k＝是一个特殊数据，可以判断直线与x 轴的夹角是30°；
再据等边三角形条件，得到所有阴影△都是30°的直角三角形；
前一个阴影△的斜边恰好是第二个阴影△的最小直角边，故相似比恰好是1：2．
得到 S2：S1＝1：4； S3：S2＝1：4； …S．
在Rt△A2B1B2 中，∵∠B1B2A2＝30°，
∴．
所以 ．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数中特殊的k值与直线与x轴的夹角关系，直角三角形中特殊角（30°）涉及三边的数量关系；相似三角形性质（面积）的应用，
25．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，1）在直线y＝x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y＝﹣x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y＝x的图象于点A2，交y＝﹣x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2…依此类推．按照图中反映的规律，则点An的坐标是 　（3n﹣1，3n﹣1）　；第2020个正方形的边长是 　2×32019　．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意，A1（1，1），B1（1，﹣1），
∴A1B1＝2，
∴第一个正方形的边长为2，
∴A1D1＝2，
∴A2（3，3），B2（3，﹣3），
∴A2B2＝6，
∴第二个正方形的边长为6，
∴A2D2＝6，
∴A3（9，9），B3（9，﹣9），
∴A3B3＝18，
∴第三个正方形的边长为18，
∴A4（27，27），B4（27，﹣27），
…，
可得An（3n﹣1，3n﹣1），Bn（3n﹣1，﹣3n﹣1），
∴第2020个正方形的边长为2×32019．
故答案为：（3n﹣1，3n﹣1），2×32019．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
26．已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是　（﹣，）　；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝　6　时，|OA'﹣OB'|取最大值．
【分析】（1）因为点A在点B左边，联立方程y＝x+2与y＝﹣x﹣1求解．
（2）O，A'，B'共线时满足题意，用含m代数式分别表示A'，B'坐标，然后代入正比例函数解析式求出m即可．
【解答】解：（1）联立方程，
解得，
∴A（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
（2）联立方程，
解得，
∴点B坐标为（，），
将A，B向右平移m个单位得A'（﹣+m，），B'（+m，），
∴OA'＝，OB'＝，
∵三角形中两边之差小于第三边，
∴O，A，B三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值，最大值为AB长度，
设O，A，B所在直线正比例函数为y＝kx，
将A'，B'坐标代入可得：
，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质及求线段和差最值的方法．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2020的横坐标是 　　．
【分析】求出直线与x轴y轴的交点，根据题意可得∠OB1D＝30°，∠A1B1B2＝90°，可求出A1的横坐标，A2的横坐标，A3的横坐标，An的横坐标，即可求解；
【解答】．解：y＝与x轴交于点B1（1，0），与y轴交于点D（0，﹣），
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°，
以OB1为边长作等边三角形A1OB1，
∴A1的横坐标，
∵∠A1B1O＝60°，∠B1B2A1＝30°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∵A1B1＝1，
∴A1B2＝2，
∴A2的横坐标，
∴A2B3＝4，
∴A3的横坐标，
同理可得An的横坐标，
∴A2020的横坐标 ，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象及性质，等边三角形，直角三角形的性质；利用特殊三角形求点的坐标是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是　217　．
【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，B1A2＝，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3＝2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（29，29）．
∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．
故答案为217．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
29．如图，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为 　x＜3　．
【分析】将所求不等式进行变形，可得：（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0 k2x+b2﹣（k1x+b1）＞0，即y2＞y1；然后根据图象观察，得出符合条件的x的取值范围．
【解答】解：由图知：x＜3时，y1＜y2，即y2﹣y1＞0；
∴当x＜3时，k2x+b2﹣（k1x+b1）＞0；
化简得：（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0；
因此所求不等式的解集为：x＜3．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
30．要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M＝2x﹣5y，则M的取值范围为　﹣3≤M≤4　．
【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解．
【解答】解：由题意得，下图阴影部分（△OAB所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，
联立，解得，即点B（1，1），
对于x+y﹣2＝0，令y＝0，则x＝2，故点A（2，0），
由M＝2x﹣5y得：y＝x﹣M，
则M为直线y＝x﹣M与y轴交点的纵坐标，
如图，当直线：y＝x﹣M过点A时，此时﹣M最小，即M最大，
将点A坐标代入上式得：0＝×2﹣M，解得：M＝4，
同理当直线：y＝x﹣M过点B时，此时﹣M最大，即M最小，
即1＝×1﹣M，解得：M＝﹣3，
故﹣3≤M≤4．
故答案为：﹣3≤M≤4．
【点评】本题考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大．
31．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为　（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）　．
【分析】依题意得A（2，0），B（0，2），若△AOP为等腰三角形，则有三种情况：当点O为顶点，OA为腰时；当点A为顶点，OA为腰时；当OA为底时求出P的坐标即可．
【解答】解：依题意得A（2，0），B（0，2），△AOP为等腰三角形，有三种情况：
当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；
当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（2﹣，），（2+，﹣）；
当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）．
故答案为：（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
32．直线y＝x+1与x轴交于点D，与y轴交于点A1，把正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1和A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A2、A3在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3在x轴上，按照这样的规律，则正方形A2020B2020C2020C2019中的点B2020的坐标为　（22020﹣1，22019）　．
【分析】求出直线y＝x+1与x轴、y轴的交点坐标，进而确定第1个正方形的边长，再根据等腰直角三角形的性质，得出第2个、第3个……正方形的边长，进而得出B1、B2、B3……的坐标，根据规律得到答案．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴，y轴交点坐标为：A1（0，1），即正方形OA1B1C1的边长为1，
∵△A1B1A2、△A2B2A3，……都是等腰直角三角形，边长依次为1，2，4，8，16……
∴B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8）……
即：B1（21﹣1，20），B2（22﹣1，21），B3（23﹣1，22），B4（24﹣1，23）……
故答案为：B2020（22020﹣1，22019）
【点评】考查一次函数的图象和性质，正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及找规律等知识，探索和发现点B的坐标的概率是得出答案的关键．
33．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　．
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【解答】解：由图象可知，x＝4时，点R到达P，x＝9时，点R到Q点，则PN＝4，QP＝5
∴矩形MNPQ的面积是20．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．
34．已知实数x，y满足x+2y＝4，并且x≤3，y＜2，现有m＝x﹣2y，则m的取值范围是　﹣4＜m≤2　．
【分析】先把x+2y＝4变形得到y＝（4﹣x），由y＜2得到（4﹣x）＜2，解得x＞0，所以x的取值范围为0＜x≤3，再用x变形m得到m＝2x﹣4，然后利用一次函数的性质确定m的范围．
【解答】解：∵x+2y＝4，
∴y＝（4﹣x），
∵y＜2，
∴（4﹣x）＜2，解得x＞0，
又∵x≤3，
∴0＜x≤3，
∵m＝x﹣2y＝x﹣2×（4﹣x）＝2x﹣4，
当x＝0时，m＝﹣4；
当x＝3时，m＝2×3﹣4＝2，
∴﹣4＜m≤2．
故答案为：﹣4＜m≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．
35．用一根长16cm的细铁丝围成一个等腰三角形，设三角形的底边长为ycm，腰长为xcm，则底边长y与腰长x的函数关系式为　y＝﹣2x+16　，自变量x的取值范围为　4＜x＜8　．
【分析】根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据底边长是正数，两边之和大于第三边，可得自变量的取值范围．
【解答】解：由周长公式，得
y＝﹣2x+16；
由底边长是正数，两边之和大于第三边，得
﹣2x+16＞0且﹣2x+16＜2x，
解得4＜x＜8，
故答案为：y＝﹣2x+16，4＜x＜8．
【点评】本题考查了函数关系式，利用底边长是正数，两边之和大于第三边是解题关键．
36．将直线y＝2x+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的直线解析式为 　y＝2x+5　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝2x+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得直线的解析式为y＝2（x+1）+1+2，即y＝2x+5．
故答案为y＝2x+5．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
37．对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　1　．
【分析】根据已知min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，利用已知图象利用自变量取值范围得出函数值得大小关系，进而求出函数值，进而比较得出答案．
【解答】解：当x＞2时，
2x﹣1＞x+1＞2﹣x，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜0，
当1＜x＜2时，
x+1＞2x﹣1＞2﹣x，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜1，
当1＝x时，
2x﹣1＝2﹣x＜x+1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，
当1＞x＞时，
x+1＞2﹣x＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0，
当x＝时，
2﹣x＝x+1＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＝0，
当x＜时，
2﹣x＞x+1＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0，
综上所述：当1＝x时，
min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，最大为1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一次函数的比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，由已知得出函数值，进而比较是解决问题的关键．
38．y＝（m﹣2）x|m|﹣2+3的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则这个一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为　0.9　．
【分析】根据一次函数的定义和性质求出m，得出函数的解析式，再求出函数与x轴、y轴的交点坐标，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|﹣2+3是一次函数，
∴m﹣2≠0且|m|﹣2＝1，
∴m＝±3，
∵y＝（m﹣2）x|m|﹣2+3的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，
∴m﹣2＜0，
∴m＝﹣3，
即一次函数的解析式为y＝﹣5x+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝0.6，
∴＝0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，能求出函数的解析式是解此题的关键．
39．一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象，在﹣2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是　＜a＜或＜a＜．　．
【分析】根据一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象在﹣2≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次函数的性质，则有2a﹣3≠0，再分2a﹣3＞0和2a﹣3＜0来讨论，解得即可．
【解答】解：因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数，
所以2a﹣3≠0，a≠，
当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣2得：y＝﹣4a+6+a+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣4a+6+a+2＞0，
解得：＜a＜．
当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：＜a＜．
故答案为：＜a＜或＜a＜．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
40．若k＝＝＝（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第 　三　象限．
【分析】根据k＝＝＝（k≠0），利用分类讨论的方法可以求得k的值，然后根据直线解析式中的k的值正确判断直线经过的象限即可．
【解答】解：∵k＝＝＝（k≠0），
∴a+b＝kc，b+c＝ka，a+c＝kb，
∴a+b+b+c+c+a＝ka+kb+kc，
∴k＝，
当a+b+c≠0时，k＝2，
∴直线解析式是y＝2x，
∴图象经过一、三象限．
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，
∴k＝＝＝﹣1，
∴直线解析式是y＝﹣x﹣3，
∴图象经过二、三、四象限．
综上所述，直线一定经过第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题的关键是求出k的值，利用分类讨论的方法解答．
41．函数可用f（x）表示，例如y＝f（x）＝3x+4，当x＝4时、f（4）＝3×4+4＝16，若函数f（x）＝．则f（﹣3）＝的值为 　11　．
【分析】根据题意，求出分段函数，在将自变量的值代入求对应的函数值．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝f（1+2）＝f（3）＝2×3+5＝11．
【点评】本题主要考查求分段函数的函数值，熟练掌握求自变量对应的函数的值的求法是解决本题的关键．
42．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 　x＞﹣1　．
【分析】利用图象，可得A点右侧部分﹣x＜x+b，可直接得到答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），
∴不等式﹣x＜x+b的解集为：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是利用数形结合思想解决问题．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 　　．
【分析】由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
【解答】解：由已知可得A（0，4）B（4，0），
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（2，2），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∵P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝AN＝4，AB＝4，
∴NB＝4 4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB＝4 2，
∴CP'＝OB BH 2＝4 （4 2） 2＝2 2．
故答案为．
【点评】本题考查了直角三角形的性质；一次函数点的特点；动点运动轨迹的判断；垂线段最短；
44．如图，已知直线l1：y＝x和直线l2：y＝﹣x，过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为 　31010　．
【分析】依据题意找出各点的规律以及对应的点的横坐标的规律即可得出结论．
【解答】解：由题意得：
P1，P5，P9 在第一象限内的直线l1是图象上，
即P4n+1（n≥0的整数）在第一象限内的直线l1是图象上．
∵2021＝4×505+1，
∴P2021第一象限内的直线l1是图象上．
∵过l1上的点P1（1，）作y轴的平行线交l2于点P2，过点P2作x轴的平行线交l1于点P3，过点P3作y轴的平行线交l2于点P4， ，
∴P2（1，﹣），P3（﹣3，﹣），P4（﹣3，3），P5（9，3）
按此作法进行下去，P9（81，27）， ，
∵1＝30，9＝32，81＝34 ，
1＝4×0+1，5＝4×1+1，9＝4×2+1， ，
∴P4n+1（32n，3n）．
∵2021＝4×505+1，
∴P2021（32×505，3505）．
∴点P2021的横坐标为31010．
故答案为：31010．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，点的坐标的规律，正比例函数图象的性质．利用待定系数法求出相应点的坐标是解题的关键．
45．如图，已知一次函数y＝﹣x+的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线AB上一点．当∠OCB＝45°时，点C的坐标是 　（﹣1，3）或（3，1）　．
【分析】过点O作OE⊥AB垂足为E，连接OC、OC′，先求出A、B点的坐标、线段OB、OA、AB三条线段长，再用等面积法求出OE长，先用三角函数求出OC长，再设C点坐标，根据两点距离公式表示OC长，然后列成方程求出解即可．
【解答】解：过点O作OE⊥AB垂足为E，连接OC、OC′，
令y＝0，﹣x+＝0，
解得x＝5，B（5，0），
令x＝0，y＝，B（0，），
∴OB＝，OA＝5，
在Rt△BOA中根据勾股定理得AB＝，
∵，
∴，
∴OE＝，
当∠OCB＝45°时，
在Rt△EOC中sin45°＝，
∴OC＝，
设C（x，﹣）
OC＝，
∴10＝x2+，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
当x＝﹣1时，y＝3，此时C（﹣1，3），
当x＝3时，y＝1，此时C′（3，1）．
故答案为：（﹣1，3）或（3，1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，掌握等面积法、两点距离公式、三角函数求出线段的长是解题关键．
46．如图，定点A（﹣2，1），点B在直线y＝x上，且横坐标为2，动点P在x轴上运动，当线段PA+PB最短时，点P的坐标为 　（﹣，0）　．
【分析】根据点B在直线y＝x上，且横坐标为2，求出m的值，得到B点坐标，找出A关于x轴的对称点为：A′（﹣2，﹣1），用待定系数法得到直线A′B的解析式，再令y＝0，求得直线A′B与x轴的交点即可．
【解答】解：设点B的坐标为：（2，m），
∵点B在直线y＝x上，
∴m＝2，
∴点B的坐标为：（2，2），
由题意知，定点A（﹣2，1），则点A关于x轴的对称点为：A′（﹣2，﹣1），
设直线A′B的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝，
当y＝0时，0＝，
解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为：（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，一次函数图象上点的坐标特征，熟知两点之间线段最短以及待定系数法的用法是解题的关键．
47．在平面坐标系中，已知点A（2，3），B（5，8），直线y＝kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为 　2≤k≤3　．
【分析】由直线解析式可得直线过定点（1，0），然后分别将A（2，3），B（5，8），代入一次函数求k，进而求解．
【解答】解：∵y＝kx﹣k经过定点（1，0），
当图象经过点A时，把（2，3）代入解析式得3＝2k﹣k，
解得k＝3，
当图象经过点B时，把（5，8）代入解析式得8＝5k﹣k，
解得k＝2，
故答案为：2≤k≤3．
【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
48．平面直角坐标系中，A（2，1），B（0，﹣2），直线y＝x﹣+1（m为常数）与线段AB有公共点，则m的取值范围 　4≤m≤6　．
【分析】将点A、B的坐标分别代入直线方程，分别求得m的两最值．
【解答】解：把A（2，1）代入直线y＝x﹣+1，得1＝2﹣+1．
解得m＝4．
把B（0，﹣2）代入直线y＝x﹣+1，得﹣2＝0﹣+1．
解得m＝6．
故m的取值范围为：4≤m≤6．
故答案是：4≤m≤6．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系和一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求得m的最大值和最小值．
49．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+5，l2：y＝﹣5x+5，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 　（，3）或（，7）．　．
【分析】先表示M的坐标，再根据点到直线的距离解决此题．
【解答】解：由题意可设M（xM，﹣5xM+5）．
∵直线，
∴直线l1：5x﹣12y+60＝0．
∴d＝＝2．
∴x＝或．
当x＝，﹣5xM+5＝3．
此时，M（，3）．
当x＝，﹣5xM+5＝7．
此时M（，7）．
综上：M（，3）或（，7）．
故答案为：（，3）或（，7）．
【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征以及点到直线的距离，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征以及点到直线的距离是解决本题的关键．
50．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推…，则点A2021的纵坐标是 　．　．
【分析】根据y＝x+求出点B的坐标，得到AB＝1，根据等边三角形的性质，分别求得A1、A2、A3的纵坐标，进而得到An的纵坐标，可得点A2021的纵坐标．
【解答】解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，
∴B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴A1（﹣，），
把y＝代入y＝x+得，
x＝，
∴B1（，），
∴A1B1＝2，
∴A2（﹣，），
把y＝代入y＝x+得，
x＝，
∴B2（ ，），
∴A2B2＝4，
∴A3（，），
……，
∴An的纵坐标为，
∴点A2021的纵坐标是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质等，解题的关键是找出规律，求出An的纵坐标．
51．已知直线l1：y＝﹣2x+3和直线l2：y＝x﹣6，若直线l3：y＝kx﹣2与l1、l2不能围成三角形，则k＝　﹣2或1或　．
【分析】根据“直线l3与l1、l2不能围成三角形”可知l1∥l3或l2∥l3或三条直线交于一点，解之即可得k的值．
【解答】解：∵直线l3与l1、l2不能围成三角形，
∴有三种情况：
l1∥l3或l2∥l3或三条直线交于一点，
∴当l1∥l3时，k＝﹣2，
当l2∥l3时，k＝1，
当三条直线交于一点时，
，
解得，即交点坐标为（3，﹣3），
把（3，﹣3）代入l3得：﹣3＝3k﹣2，
解得k＝﹣．
故答案为：﹣2或1或．
【点评】本题考查直线相交或平行问题，解题的关键是明白“若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同”．
52．如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是 　　．
【分析】作点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），则MN＝MN'，过点N′作N′P⊥AB交OB于M，根据垂线段最短得到这时PN′＝PM+MN值最小，根据直线AB的解析式为y＝﹣x+4，推出△PAN′是等腰直角三角形，由AN′长度即可求解．
【解答】解：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，
则PM+MN的最小值＝PM+MN'＝PN'，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′＝4+1＝5，
∴PN′＝，
∴PM+MN的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及到一次函数图象的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短等知识．解题的关键是作出最短路线时的图形，属于中考常考题型．
53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　y＝3x﹣2　．
【分析】根据已知条件得到A（﹣1，0），B（0，﹣2），求得OA＝1，OB＝2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
在△ABO和△FAE中
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y＝3x﹣2，
故答案为：y＝3x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
54．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　4　．
【分析】（1）利用勾股定理求出OE＝，再利用全等三角形的性质即可得出答案；
（2）分BM⊥AB，AB⊥AM，AM⊥BM三种情形，分别构造K型全等即可求解；
（3）将线段OB绕点B逆时针旋转90°得BE，连接EQ，证明△ABO≌△QBE（SAS），得∠BEQ＝∠BOA＝90°，则点Q在直线X＝4上运动，从而解决问题．
【解答】解：（1）由题意知△BEO≌△AOD，
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝，
∴；
（2）当k＝﹣时，y＝﹣，
∴当x＝3时，y＝0，
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
过点M作MN⊥y轴，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
∴△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
∴△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（）；
综上所述：M（7，3）或（4，7）或（）；
（3）如图，将线段OB绕点B逆时针旋转90°得BE，连接EQ，
∴∠ABO＝∠EBQ，
又∵AB＝BQ，OB＝BE，
∴△ABO≌△QBE（SAS），
∴∠BEQ＝∠BOA＝90°，
∴点Q在直线X＝4上运动，
∴OQ的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类思想进行模型的运用是解题的关键．
55．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 　2n+6　，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，即可用含n的代数式表示D点纵坐标，y＝2x+6与x轴夹角＞45°，即∠DAB＞45°，故∠DAP＞45°，所以三角形APD是等腰直角的情况下，只能是∠DAP＝90°．作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD＝AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的对应边相等得到AE＝PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：由直线y＝2x+b过点（3，0）求出直线的解析式，分三种情况考虑：当∠ADP＝90°，AD＝PD时，根据等腰直角三角形的性质易得D点坐标；当∠APD＝90°，AP＝PD时，由全等三角形的性质表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；当∠ADP＝90°，AD＝PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，
∴DE∥PF∥OC，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，
∴AB∥PF，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，
∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAD＝∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP＝∠FPA，
∴∠EAD＝∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，
设点D的横坐标为n，
∵点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，
∴D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，
∴14＝2n+6，得n＝4，
∴点D的坐标是（4，14）；
故答案为：2n+6，点D的坐标是（4，14）；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
∵直线y＝2x+b过点（3，0），
∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，
∴直线解析式为y＝2x﹣6，
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥AB于E点，作DF⊥y轴于F点，
∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，
∵B的坐标为（8，6），
∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，
∴D点坐标（4，2）；
当∠APD＝90°，AP＝PD时，如图，作PE⊥y轴于E点，作DF⊥EP于F点，
∵PC＝m，
同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，
则D点坐标为（8+6﹣m，m+8），
∵点D在直线y＝2x﹣6上，
∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，
∴D点坐标（，）；
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥ED于F点，
同理可求得D点坐标（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标为（4，2）或（，）或（，）．
【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
56．如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB交x轴、y轴分别于点A、点B，若OA＝OB，且△ABO的面积为8．
（1）求点B的坐标；
（2）如图②，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图③，在（2）条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，求点M的坐标．（用含t的式子表示）
【分析】（1）由三角形面积公式可求OA＝OB＝4，可求点B坐标；
（2）先求出直线AB解析式，可求点P坐标，由三角形面积公式可求解；
（3）过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，可得△ABO为直角三角形，再证明△QTB≌△PTO，进而推导出∠KPB＝∠BPN；设∠KPB＝x°，则有∠BPN＝x°，∠PMB＝2x°，∠POM＝∠PAO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，∠PMO＝∠PMB+∠NMO＝45°+x°＝∠POM，可求得PO＝PM，即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝OB，△ABO的面积为8，
∴×OA×OB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴点B（0，4）；
（2）∵OA＝OB＝4，
∴点A（﹣4，0），
设直线AB解析式为y＝kx+4，
∴0＝﹣4k+4，
∴k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∵点P的横坐标为t，
∴y＝t+4，
∴点P（t，t+4），
∴△AOP的面积为S＝×4×（t+4）＝2t+8；
（3）如图3，过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，过点P作PD⊥OM于D，
∵AO＝BO＝4，∠BOA＝90°，
∴△ABO为直角三角形，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BOT＝90°﹣∠ABO＝45°＝∠ABO，
∴BT＝TO，
∵∠BTO＝90°，
∴∠TPO+∠TOP＝90°，
∵OP⊥BM，
∴∠BNO＝90°，
∴∠BQT＝∠TPO，
∴△QTB≌△PTO（AAS），
∴QT＝TP，PO＝BQ，
∴∠PQT＝∠QPT，
∵OP＝PK+KB，
∴QB＝KP+KB，QK＝KP，
∴∠KQP＝∠KPQ，
∴∠PQT﹣∠KQP＝∠QPT﹣∠KPQ，∠TQB＝∠TPK，
∴∠KPB＝∠BPN，
设∠KPB＝x°，
∴∠BPN＝x°，
∵∠PMB＝2∠KPB，
∴∠PMB＝2x°，
∠POM＝∠PAO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，
∴∠PMO＝∠PMB+∠NMO＝45°+x°＝∠POM，
∴PO＝PM，
∵PD⊥OM，点P（t，t+4），
∴OD＝DM＝t，
∴OM＝2t，
∴点M（2t，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
57．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝15，OC＝12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求出CE的长为 　6　，OD的长为 　　；
（2）求直线DE的表达式；
（3）直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b的取值范围．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长．
（2）根据CE、OD的长求得D、E的坐标，然后根据待定系数法即可求得表达式．
（3）根据平行的性质分析讨论即可求得．
【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
在Rt△ABE中，AE＝AO＝15，AB＝OC＝12，BE＝＝＝9，
∴CE＝15﹣9＝6，
在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴（12﹣OD）2+62＝OD2，
∴OD＝．
故答案为：6，；
（2）∵CE＝6，
∴E（6，12）．
∵OD＝，
∴D（0，），
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝x+；
（3）∵直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，DE⊥AE，
∴直线y＝kx+b与DE平行，
∴直线为y＝x+b，
∴当直线经过A点时，0＝×15+b，则b＝﹣，
当直线经过C点时，则b＝12，
∴当直线y＝kx+b与矩形OABC有公共点时，﹣≤b≤12．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了翻折变换、勾股定理以及待定系数法求解析式等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
58．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．
（1）求点B'的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式；
（3）若点P是y轴上的一个动点，当△CPE为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
【分析】（1）设OC＝4x，则OB'＝3x，根据勾股定理求出B'C＝5x，根据B'C＝BC＝10，求出x，即可求出OB'的值，即可求出B'的坐标；
（2）先求出C点和E点的坐标，再用待定系数法求出直线CE的解析式即可；
（3）若△CPE为等腰三角形，分以三种情况：CP＝CE时，CP＝EP时，CP＝EP时，根据坐标分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵OC：OB'＝4：3，
设OC＝4x，则OB'＝3x，
∴B'C＝＝5x，
∵B'C＝BC＝10，
即5x＝10，
解得x＝2，
∴OB'＝3x＝6，
∴B'（6，0）；
（2）由（1）知，OC＝4x＝8，
∴C（0，8），
设AE＝a，则BE＝B'E＝8﹣a，AB'＝AO﹣OB'＝10﹣6＝4，
由勾股定理，得AE2+AB'2＝BE'2，
即a2+42＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴E点坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
代入C点和E点坐标，得，
解得，
∴CE所在的直线解析式为y＝﹣x+8；
（3）由（2）知，C（0，8），E（10，3），
设P（0，t），
则CE＝＝5，CP＝|8﹣t|，EP＝，
若△CPE为等腰三角形，分以下三种情况：
①当CP＝CE时，
即|8﹣t|＝5，
∴t＝8+5或8﹣5，
故P点坐标为（0，8+5）或（0，8﹣5）；
②当CE＝EP时，
即5＝，
解得t＝﹣2或8，
因P点不能与C点重合，
∴t＝﹣2，
故P点的坐标为（0，﹣2），
③当CP＝EP时，
即|8﹣t|＝，
解得t＝﹣，
故P点的坐标为（0，﹣）；
综上，当△CPE为等腰三角形时，P点的坐标为（0，8+5）或（0，8﹣5）或（0，﹣2）或（0，﹣）．
【点评】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理等知识点，掌握折叠前后图形的对应关系，即数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
59．已知，如图，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（0，8）和点B（4，0），点M（2，m）是AB上一点，直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于点D，交OB于点C．
（1）求m的值；
（2）如图1，当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，连接MC，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请求出AN+MN的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求直线AB的解析式，点将M（2，m）代入该解析式求m的值；
（2）连接BD，先用面积等式求出线段AD与DE之间的关系式，再按CE＝CD和ED＝CD，分别求出t的值；
（3）过点M作MH⊥OB于点H，作NG⊥MH交HM的延长线于点G，证明△MNG≌△CMH，得GN＝HM＝4，则GN为定值，即点N在直线x＝﹣2上运动，作点A关于直线x＝﹣2的对称点A′，连接MA′交直线l于点N′，当点N与点N′重合时，AN+MN的值最小，此时AN+MN＝MA′，求出MA′的值即可．
【解答】解：（1）由直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（0，8）、B（4，0）得，
，解得，
∴y＝﹣2x+8，
∵点M（2，m）在y＝﹣2x+8上，
∴m＝﹣2×2+8＝4．
（2）存在．
如图1，连接BD，
∵AD OB＝AD DE+OD DE＝S△ABD，
∴4AD＝（AD+OD）DE＝8DE，
∴AD＝2DE；
当CE＝CD时，作CF⊥DE于点F，则DF＝EF，
设直线CD的解析式为y＝﹣x+n，
∵C（t，0），
∴﹣t+n＝0，
解得n＝t，
∴y＝﹣x+t，
∴D（0，t），
∴F（t，t），
∴DE＝2DF＝2t，
∴8﹣t＝2×2t，
解得，t＝；
当ED＝CD时，如图2，
∵∠COD＝90°，OC＝OD＝t，
∴CD＝＝t，
∴8﹣t＝2×t，
解得，t＝，
综上所述，t＝或t＝．
（3）如图3，过点M作MH⊥OB于点H，作NG⊥MH交HM的延长线于点G，
∵∠G＝∠MHC＝90°，∠CMN＝90°，
∴∠GNM＝90°﹣∠GMN＝∠HMC，
∵MN＝CM，
∴△MNG≌△CMH（AAS），
由（1）得，M（2，4），
∴GN＝HM＝4，
∵2﹣4＝﹣2，
∴点N的横坐标为﹣2，
∴点N在直线l：x＝﹣2上运动；
作点A关于直线l的对称点A′，连接MA′交直线l于点N′，则A′（﹣4，8），
当点N与点N′重合时，AN+MN＝AN′+MN′＝MA′＝＝2，
此时AN+MN的值最小，最小值为2．
【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、用面积等式列方程求值、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、求线段和的最小值问题等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第（2）题时应注意分类讨论，此题难度较大，综合性较强，属于考试压轴题．
60．如图所示，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB与x轴重合，B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），直线l的解析式为y＝kx+6（k≠0）．
（1）k取任意不为零的数时，直线l都经过一个点，该点坐标为 　（0，6）　；
（2）当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等时，求k的值；
（3）当直线l与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；
（4）当直线l与线段BC相交时，交点为E，设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式及k的取值范围．
【分析】（1）在y＝kx+6中，令x＝0得y＝6，即得答案为（0，6）；
（2）当直线l经过矩形ABCD的对称中心E时，直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等，由B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），得E（，2），用待定系数法即得k＝﹣；
（3）当直线l：y＝kx+6经过A（2，0）时，解得k＝﹣3，当直线l：y＝kx+6经过C（5，4）时，解得k＝﹣，即得当﹣3≤k≤﹣时，直线l与矩形ABCD有交点；
（4）求出CD＝3，在y＝kx+6中，令x＝5得y＝5k+6，即E（5，5k+6），可得CE＝BC﹣BE＝﹣5k﹣2，故△CDE的面积为S＝CD CE＝﹣k﹣3，当直线l：y＝kx+6经过B解得k＝﹣，当直线l：y＝kx+6经过C（5，4）时，k＝﹣，故﹣≤k≤﹣．
【解答】解：（1）在y＝kx+6中，令x＝0得y＝6，
∴直线l都经过（0，6），
故答案为：（0，6）；
（2）当直线l经过矩形ABCD的对称中心E时，直线l把矩形ABCD分成两部分的面积相等，如图：
∵B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），
∴E（，2），
将E（，2）代入y＝kx+6得：
2＝k+6，解得k＝﹣；
（3）如图：
∵四边形ABCD是矩形，B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），
∴A（2，0），C（5，4），
当直线l：y＝kx+6经过A（2，0）时，0＝2k+6，
解得k＝﹣3，
当直线l：y＝kx+6经过C（5，4）时，4＝5k+6，
解得k＝﹣，
由图可知：当﹣3≤k≤﹣时，直线l与矩形ABCD有交点；
（4）如图：
∵B点的坐标为（5，0），D点的坐标为（2，4），
∴CD＝3，BC＝4，
在y＝kx+6中，令x＝5得y＝5k+6，
即E（5，5k+6），
∴BE＝5k+6，
∴CE＝BC﹣BE＝﹣5k﹣2，
∴△CDE的面积为S＝CD CE＝×3 （﹣5k﹣2）＝﹣k﹣3，
当直线l：y＝kx+6经过B（5，0）时，
0＝5k+6，解得k＝﹣，
由（3）知：当直线l：y＝kx+6经过C（5，4）时，k＝﹣，
∴当直线l与线段BC相交时，﹣≤k≤﹣，
∴S＝﹣k﹣3，（﹣≤k≤﹣）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、矩形中心对称性、三角形面积等知识，解题的关键是求出直线l经过相关顶点时k的值，利用数形结合得到k的范围．
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