浙教版九年级数学《相似三角形》最新压轴题型(含解析)

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名称 浙教版九年级数学《相似三角形》最新压轴题型(含解析)
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文件大小 2.5MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2021-12-05 18:08:08

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浙教版九年级数学相似三角形最新压轴题型
一.选择题(共13小题)
1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、AD上的点.EF与对角线AC交于P,若(a、b、m、n均为正数),则的值为(  )
A. B. C. D.
2.等腰△ABC中,AB=AC,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,连接CE、BF交于点P,若=,则的值为(  )
A. B. C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以其三边为边向外作正方形,延长EA交BG于点M,连接IM交AB于点N,若M是BG的中点,则的值为(  )
A. B. C. D.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上.且CP=BQ=1,在平面上找一点M.以A、P、Q、M为顶点画平行四边形,这个平行四边形的周长的最大值为(  )
A.12 B.4+ C.6+ D.8+
5.已知⊙O的半径为4,A为圆内一定点,AO=2.M为圆上一动点,以AM为边作等腰△AMN,AM=MN,∠AMN=108°,ON的最大值为(  )
A.4+2 B. C. D.1+2
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为(  )
A.14 B.15 C.8 D.6
7.如图,△ABC中,AB=8,AC=6,∠A=90°,点D在△ABC内,且DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,过点D作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若△APQ与△ABC相似,则线段PQ的长为(  )
A.5 B. C.5或 D.6
8.如图,A,B为圆O上的点,且D为弧AB的中点,∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,则的值为(  )
A.3 B.2 C.+1 D.+1
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D点在BC边上,,P为AB边上一点,当PC=PD时,的值为(  )
A. B. C. D.
10.如图,在△ABC中,点D在AC上,点F是BD的中点,连接AF并延长交BC点E,BE:BC=2:7,则AD:CD=(  )
A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.3:7
11.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为(  )
A. B. C. D.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为(  )
A.7 B.5 C. D.
13.如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为(  )
A.15 B.20 C.25 D.30
二.填空题(共9小题)
14.如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,连接BD分别交AE,AF于点M,N.若EG=4,GF=6,BM=3,则AG=   ,MN=   .
15.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,若∠BEC=45°且AE=4,ED=2,则AB的长为    .
16.如图,在矩形ABCD中,E、F、G分别是边AB、BC、AD上点,且∠FEG=90°,EG=6,GF与AC交于点M,若,则MF=   .
17.我国是最早了解勾股定理的国家之一.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边分别向外作正方形,即可证明勾股定理.连接CG交AB于点M,连接CE,CH,若CH=2CE,则的值为    .
18.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC上一点,连接BD,∠ABD=3∠A,若BD=5,AD=11,则BC的长为   .
19.如图,正方形ABCD的边长为12,其内部有一个小正方形EFGH,其中E、F、H分别在BC,CD,AE上.若BE=9,则小正方形EFGH的边长   .
20.如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQ⊥MN,NE平分∠MNP,交PM于点E,交PQ于点F.
(1)+=   .
(2)若PN2=PM MN,则=   .
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为   .
22.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是   .
三.解答题(共8小题)
23.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点C作CD平行于AB交⊙O于点D,过点D作DE垂直于点E,且CD=DE
(1)求证:AD2=2AE AB;
(2)若△ABC的面积是50,求△ACD的面积.
24.已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.求证:=;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形.试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得=成立?并证明你的结论.
25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=x,点F在边AB上,点G、H在边BC上,四边形EFGH是一个边长为y的正方形,且AE=AC.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,y取得最大值?并求出y的最大值.
26.如图1,在△ABC中,点D为BC中点,点E在AC上,AD、BE交于点F,∠ADC=∠BEC.
(1)写出与∠EBC相等的角:   ;
(2)若AD=BF,求的值;
(3)如图2,若AD=BF,∠BCA=90°,BC=m,求BE2(用含m的式子表示).
27.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?
28.已知:CD是圆O的直径,弦AB与CD交于点H,CE⊥AB于点E,OF⊥AB于点F,CB=5,CA=,BE=4.
(1)求证:CD CE=CA CB
(2)求OF的长.
29.如图,已知CE是圆O的直径,点B在圆O上由点E顺时针向点C运动(点B不与点E、C重合),弦BD交CE于点F,且BD=BC,过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A.
(1)若圆O的半径为2,且点D为弧EC的中点时,求圆心O到弦CD的距离;
(2)在(1)的条件下,当DF DB=CD2时,求∠CBD的大小;
(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面积.
30.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),点E是AD边上一定点,且AE=1.
(1)当m=3时,AB上存在点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长度.
(2)如图②,当m=3.5时.用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?
2021年11月19日初中数学2的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、AD上的点.EF与对角线AC交于P,若(a、b、m、n均为正数),则的值为(  )
A. B. C. D.
【分析】方法一:过点E作EG∥AD,交AC于点O,利用平行线分线段成比例及三角形相似就可以表示出AO、CO的比值,进而表示出,AP+PO比PC﹣PO的比值,再表示出EO、BC的比值,从而表示出EO,利用△APF∽△OPE可以表示出PO,代入第一个比例式就可以求出结果.
方法二:方法二:延长FE交CB的延长线于点H,证明△AEF∽△BEH,△APF∽△CPH,进而求解.
【解答】解:方法一:
过点E作EG∥AD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥EG∥BC,AD=BC,
∴,△AEO∽△ABC,△APF∽△OPE,
∴,,,

∴令AE=ax,BE=bx,AF=my,DF=ny,
∴,
∴EO=,
∴,
∴PO=,
∴,
∴AP(a+b)bm+AP(m+n)ab+AP(m+n)a2=PC(a+b)am,
∴AP(bm+an+am)(a+b)=PC(a+b)am,
∴=,
∴C答案正确;
方法二:
延长FE交CB的延长线于点H,
∵CH∥AD,
∴△AEF∽△BEH,△APF∽△CPH,
∵△AEF∽△BEH,
∴,
∵△APF∽△CPH,
∴===1++=,
∴=,
故选:C.
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质,平行四边形的性质,平行线分线段成比例定理的运用.
2.等腰△ABC中,AB=AC,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,连接CE、BF交于点P,若=,则的值为(  )
A. B. C. D.
【分析】作ED∥AC交BF于D,如图,根据平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,设ED=4x,BE=y,则FC=3x,AF=y,易得AE=FC=3x,再利用DE∥AF得到对应边成比例,利用比例的性质和解方程得到y=6x,进而可得结果.
【解答】解:作ED∥AC交BF于D,如图,
∵ED∥FC,
∴==,
设ED=4x,BE=y,则FC=3x,AF=y,
∵AB=AC,
∴AE=FC=3x,
∵DE∥AF,
∴=,即=,
整理得y2﹣4xy﹣12x2=0,
∴(y+2x)(y﹣6x)=0,
∴y=6x,
∴==.
故选:A.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.也考查了等腰三角形的性质.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以其三边为边向外作正方形,延长EA交BG于点M,连接IM交AB于点N,若M是BG的中点,则的值为(  )
A. B. C. D.
【分析】先利用正方形的性质得出对应边平行,四个角是直角,然后根据平行线的性质得出△ACB∽△MBA,对应边成比例,再设BM=a,根据比例关系求值即可.
【解答】解:∵四边形AEDC是正方形,
∴∠EAC=∠DCA=90°,EA∥DC,
∴∠MAB=∠CBA,
又∵四边形AFGB是正方形,
∴AB=BG,∠ABG=90°,
∴∠ACB=∠ABM=90°,
∴△ACB∽△MBA,
∴,
又∵M是BG中点,设BM=a,
∴AB=BG=2a,AM=a,
∴AC===,BC=,
∴IA=,
又AE∥DC,IM与BC相交于O,
∴,,
∴CO=AM=,
∴BO=BC﹣OC=﹣=,
∴.
故选:A.
【点评】本题利用正方形性质,平行线的性质和三角形相似等,关键是根据三角形相似找出对应边成比例.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上.且CP=BQ=1,在平面上找一点M.以A、P、Q、M为顶点画平行四边形,这个平行四边形的周长的最大值为(  )
A.12 B.4+ C.6+ D.8+
【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质,即可得到PQ的长,再分三种情况,即可得到以A、P、Q、M为顶点的平行四边形的周长,进而得出周长的最大值.
【解答】解:由勾股定定理得:AB=5,则AQ=4;
过点Q作QN⊥AC,垂足为N,则QN∥BC,
则AN:NC=AQ:QB=4,
则AN=,
∴PN=﹣2=,
由NQ:BC=AQ:AB,得NQ=,
再由勾股定理得:PQ=;
如图1:周长=2(PA+PQ)=4+;
如图2:周长=2(PA+PM)=12;
如图3:周长=2(AQ+PQ)=8+为最长.
故选:D.
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,关键是作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理计算得到PQ的长.
5.已知⊙O的半径为4,A为圆内一定点,AO=2.M为圆上一动点,以AM为边作等腰△AMN,AM=MN,∠AMN=108°,ON的最大值为(  )
A.4+2 B. C. D.1+2
【分析】将线段OA绕点O顺时针旋转108°得到线段OT,连接AT,NT,OM.延长AO到K,使得AK=AT,则AO=OT=2,利用相似三角形的性质求出NT,再根据三角形的三边关系解决问题即可.
【解答】解:如图,将线段OA绕点O顺时针旋转108°得到线段OT,连接AT,NT,OM.延长AO到K,使得AK=AT,则AO=OT=2,
∴∠OAT=∠OTA=36°,
∴∠KOT=∠OAT+∠ATO=72°,
∠K=∠ATK==72°,
∴∠K=∠KOT,
∴KT=OT=2,
∵∠KOT=∠KTA=72°,∠K=∠K,
∴△KOT∽△KTA,
∴,即,
∴,
∴,
∵△AOT,△AMN都是顶角为108°的等腰三角形,
∴∠OAT=∠MAN=36°,∠AOT=∠AMN=108°,
∴△AOT∽△AMN,
∴,
∵∠OAT+∠TAM=∠OAM,∠MAN+∠TAM=∠TAN,
∴∠OAM=∠TAN,
∴△OAM∽△TAN,
∴,即,
∴TN=2+2,
∵ON≤OT+NT,
∴ON≤2+4,
∴ON的最大值为2+4,
故选:A.
【点评】本题考查圆周角定理,相似三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为(  )
A.14 B.15 C.8 D.6
【分析】如图,连接EC,CH.设AB交CR于J.证明△ECP∽△HCQ,推出===,由PQ=15,可得PC=5,CQ=10,由EC:CH=1:2,推出AC:BC=1:2,设AC=a,BC=2a,证明四边形ABQC是平行四边形,推出AB=CQ=10,根据AC2+BC2=AB2,构建方程求出a即可解决问题.
【解答】解:如图,连接EC,CH.设AB交CR于J.
∵四边形ACDE,四边形BCIH都是正方形,
∴∠ACE=∠BCH=45°,
∵∠ACB=90°,∠BCI=90°,
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°,∠ACB+∠BCI=180°
∴B,C,D共线,A,C,I共线,E、C、H共线,
∵DE∥AI∥BH,
∴∠CEP=∠CHQ,
∵∠ECP=∠QCH,
∴△ECP∽△HCQ,
∴===,
∵PQ=15,
∴PC=5,CQ=10,
∵EC:CH=1:2,
∴AC:BC=1:2,设AC=a,BC=2a,
∵PQ⊥CR,CR⊥AB,
∴CQ∥AB,
∵AC∥BQ,CQ∥AB,
∴四边形ABQC是平行四边形,
∴AB=CQ=10,
∵AC2+BC2=AB2,
∴5a2=100,
∴a=2(负根已经舍弃),
∴AC=2,BC=4,
∵ AC BC= AB CJ,
∴CJ==4,
∵JR=AF=AB=10,
∴CR=CJ+JR=14,
故选:A.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
7.如图,△ABC中,AB=8,AC=6,∠A=90°,点D在△ABC内,且DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,过点D作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若△APQ与△ABC相似,则线段PQ的长为(  )
A.5 B. C.5或 D.6
【分析】当PQ∥BC时,△APQ∽△ABC,如图1,根据角平分线的定义得到∠PBD=∠CBD,根据等腰三角形的性质得到PB=PD,同理,DQ=CQ,设AP=4x,AQ=3x,根据勾股定理得到PQ=5x,根据题意列方程即可得到结论;当∠APQ=∠ACB时,△APQ∽△ACB,由勾股定理得到BC=10,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,根据角平分线的性质得到DE=DF=DG,根据三角形的面积公式得到DE==2,四边形AEDF是正方形,推出△PED∽△DFQ∽△CAB,求得===,得到PE=,FQ=,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:当PQ∥BC时,△APQ∽△ABC,如图1,
∵DB平分∠ABC,
∴∠PBD=∠CBD,
∵PD∥BC,
∴∠PDB=∠DBC,
∴∠PBD=∠PDB,
∴PB=PD,
同理,DQ=CQ,
∵∠APQ=∠ABC,
∴tan∠APQ=tan∠ABC===,
∴设AP=4x,AQ=3x,
∴PQ=5x,
∵PB=PD=8﹣4x,DQ=CQ=6﹣3x,
∴8﹣4x+6﹣3x=5x,
∴x=,
∴PQ=5x=;
当∠APQ=∠ACB时,△APQ∽△ACB,
∵AB=8,AC=6,∠A=90°,
∴BC=10,
过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,
∵DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,
∴DE=DF=DG,
∵S△ABC=DE(AB+AC+BC)=AB AC,
∴DE==2,四边形AEDF是正方形,
∴DF∥AP,
∴∠EPD=∠FDQ,
同理∠EDP=∠FQD,
∴△PED∽△DFQ∽△CAB,
∴===,
∴PE=,FQ=,
∴PD===,DQ===,
∴PQ=PD+DQ=+=,
综上所述,若△APQ与△ABC相似,则线段PQ的长为,
故选:B.
【点评】本题考查了相似三角形的性质,勾股定理,三角函数的定义,角平分线的性质,正方形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
8.如图,A,B为圆O上的点,且D为弧AB的中点,∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,则的值为(  )
A.3 B.2 C.+1 D.+1
【分析】如图,连接AD,BD,CD,在EB上取点Q,使EQ=CE,根据D为弧AB的中点,∠ACB=120°,得到∠DCB=30°,根据线段垂直平分线的性质得到CD=DQ,求得∠CDQ=120°,推出∠ACD=∠DQB,得到△ACD≌△BQD,根据全等三角形的性质得到AC=BQ,再证明AC=EC=EQ=BQ即可解决问题.
【解答】解:如图,连接AD,BD,CD,OA,OD,OB,在⊙O上取一点K,连接AK,BK,在EB上取点Q,使EQ=CE,连接DQ.
∵D为弧AB的中点,∠ACB=120°,
∴∠K=60°,∠AOB=120°,∠AOD=∠BOD=60°
∴∠DCB=∠DOB=30°,
∵CE=QE,DE⊥BC,
∴CD=DQ,
∴∠CDQ=120°,
∵∠CDB=∠ACB=120°,
∴∠CDA=∠QDB,
∵∠DCE=∠DQE=30°,
∴∠DQB=150°,
∵∠ACD=120°+30°=150°,
∴∠ACD=∠DQB,
在△ACD与△BQD中,

∴△ACD≌△BQD(ASA),
∴AC=BQ,
∵CE=DE,AC=DE,
∴AC=CE=EQ=BQ,
∴BE:CE=2:1,
故选:B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D点在BC边上,,P为AB边上一点,当PC=PD时,的值为(  )
A. B. C. D.
【分析】过P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,根据相似三角形的判定和性质解答即可.
【解答】解:过P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,
∴四边形PECF为矩形,PE=CF,
∵PF⊥BC,
∴CF=DF,
∴△APE∽△ABC,
∴,
∴,
故选:A.
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据相似三角形的判定得出△APE∽△ABC解答.
10.如图,在△ABC中,点D在AC上,点F是BD的中点,连接AF并延长交BC点E,BE:BC=2:7,则AD:CD=(  )
A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.3:7
【分析】如图,过点D作DH∥AE交BC于H.利用平行线的方向的定理解决问题即可.
【解答】解:如图,过点D作DH∥AE交BC于H.
∵BF=DF,FE∥DH,
∴BE=EH,
∴BE:BC=2:7,
∴EH:CH=2:3,
∵AE∥DH,
∴==,
故选:A.
【点评】本题考查平行线等分线段定理,解题的关键是学会添加常用辅助线,利用平行线分线段成比例定理解决问题.
11.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为(  )
A. B. C. D.
【分析】如图,过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N.设BE=AN=CM=DF=a,则AE=BM=CF=DN=2a,想办法求出BH,CG,可得结论.
【解答】解:如图,过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N.设BE=AN=CM=DF=a,则AE=BM=CF=DN=2a,
∴EN=EM=MF=FN=a,
∵四边形ENFM是正方形,
∴∠EFH=∠TFG=45°,∠NFE=∠DFG=45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF=∠TFG=∠DFG=∠DGF=45°,
∴TG=FT=DF=DG=a,
∴CT=3a,CG==a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT=MH:TG=1:3,
∴MH=a,
∴BH=2a+a=a,
∴==,
故选:C.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为(  )
A.7 B.5 C. D.
【分析】如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证明MP=PA,可得AP+BP=PM+PB≥BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.
【解答】解:如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.
∵PC=3,CM=1,CA=9,
∴PC2=CM CA,
∴=,
∵∠PCM=∠ACP,
∴△PCM∽△ACP,
∴==,
∴PM=PA,
∴AP+BP=PM+PB,
∵PM+PB≥BM,
在Rt△BCM中,∵∠BCM=90°,CM=1,BC=7,
∴BM==5,
∴AP+BP≥5,
∴AP+BP的最小值为5.
故选:B.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,两点之间线段最短,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
13.如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为(  )
A.15 B.20 C.25 D.30
【分析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x,易证四边形EHDN是矩形,则DN=x,根据正方形的性质得出EF∥BC,推出△AEF∽△ABC,根据相似三角形的性质计算即可得解.
【解答】解:设正方形EFGH的边长EF=EH=x,
∵四边形EFGH是正方形,
∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∵AD是△ABC的高,
∴∠HDN=90°,
∴四边形EHDN是矩形,
∴DN=EH=x,
∵△AEF∽△ABC,
∴=(相似三角形对应边上的高的比等于相似比),
∵BC=120,AD=60,
∴AN=60﹣x,
∴=,
解得:x=40,
∴AN=60﹣x=60﹣40=20.
故选:B.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质.解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质的运用,注意:矩形的对边相等且平行,相似三角形的对应高的比等于相似比,题目是一道中等题,难度适中.
二.填空题(共9小题)
14.如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,连接BD分别交AE,AF于点M,N.若EG=4,GF=6,BM=3,则AG= 12 ,MN= 5 .
【分析】首先证明EG=EB=4,GF=FD=6,∠EAF=45°,设AG=x,则CE=x﹣4,CF=x﹣6.在Rt△ECF中,利用勾股定理求出x,再证明MN2=BM2+DN2,设MN=a,由此构建方程即可解决问题.
【解答】解:(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,

∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).
∴∠BAE=∠GAE,BE=EG=4,
同理,∠GAF=∠DAF,GF=DF=6,
∴∠EAF=∠BAD=45°.
设AG=x,则CE=x﹣4,CF=x﹣6.
在Rt△CEF中,∵CE2+CF2=EF2,
∴(x﹣4)2+(x﹣6)2=102.
解得x1=12,x2=﹣2(舍去负根).
即AG=12.
在Rt△ABD中,
∴BD===12.
将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置,连接MH,
由旋转知:∠BAH=∠DAN,AH=AN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°,
∴∠HAM=∠NAM,又AM=AM,
∴△AHM≌△ANM,
∴MN=MH
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋转知:∠ABH=∠ADB=45°,HB=ND,
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°,
∴MH2=HB2+ND2,
∴MN2=MB2+ND2;
设MN=a,则a2=(12﹣3﹣a)2+(3)2.
即a2=(9﹣a) 2+(3)2,
∴a=5,即MN=5.
故答案为12,5.
【点评】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正确寻找全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
15.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,若∠BEC=45°且AE=4,ED=2,则AB的长为   .
【分析】解法一:分别以AB,CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG,判定△BEF∽△ECG,即可得到AB的长;
解法二:过C作CF⊥BE于F,过F作FG⊥BC于G,交AD于H,判定△EFH∽△FCG,即可得出===1,设EH=x,则FG=x,BG=AH=4﹣x,HF=GC=DH=x+2,再根据FG2=BG×CG,即可得到x的值,进而得到AB的长.
【解答】解法一:如图,分别以AB,CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG,
依题意得∠F=∠G=∠BEC=45°,
∴∠FBE+∠BEF=∠CEG+∠BEF=135°,
∴∠FBE=∠CEG,
∴△BEF∽△ECG,
∴=,
即=,
解得AB=或(舍去),
∴AB的长为,
故答案为:.
解法二:如图,过C作CF⊥BE于F,过F作FG⊥BC于G,交AD于H,则∠CFE=90°,∠ECF=∠CEF=45°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴EF=CF,
又∵∠EFH+∠CFG=∠FCG+∠CFG=90°,
∴∠EFH=∠FCG,
∴△EFH∽△FCG,
∴===1,
设EH=x,则FG=x,BG=AH=4﹣x,HF=GC=DH=x+2,
∵Rt△BCF中,FG⊥BC于G,
∴FG2=BG×CG,
∴x2=(4﹣x)×(x+2),
解得x=或x=(舍去),
∴AB=HG=HF+FG=x+2+x=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用,作辅助线构造等腰直角三角形以及相似三角形是解决问题的关键.
16.如图,在矩形ABCD中,E、F、G分别是边AB、BC、AD上点,且∠FEG=90°,EG=6,GF与AC交于点M,若,则MF=  .
【分析】由题意得:,设AB=3x,则BC=4x,设BE=3y,则CF=4y,根据条件可得△AEG∽△BFE,可得AG=y,又因为AD∥BC,可得△AGM∽△CFM,根据勾股定理可得EF=8,GF=10,由MF=GF即可求解.
【解答】解:由题意得:,
∴设AB=3x,则BC=4x,
设BE=3y,则CF=4y,
∵∠FEG=90°,且四边形ABCD为矩形,
∴∠AGE+∠AEG=90°,∠BEF+∠EFB=90°,∠AEG+∠BEF=90°,
∴∠AGE=∠BEF,∠AEG=∠BEF,
∴△AEG∽△BFE,
∴,即,
∴AG=y,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴△AGM∽△CFM,
∴,
∴GE2=AG2+AE2=36,EF2=BE2+BF2=64,
∴EF=8,
∵∠GEF=90°,
∴由勾股定理得:GF==10,
∴MF=GF=.
【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,大胆根据相似三角形线段比例关系设未知数结合勾股定理是解决问题的关键.
17.我国是最早了解勾股定理的国家之一.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边分别向外作正方形,即可证明勾股定理.连接CG交AB于点M,连接CE,CH,若CH=2CE,则的值为   .
【分析】过C作CN⊥AB于N,判定△ACE∽△BCH,即可得到==;设AC=a,再根据勾股定理以及面积法即可得到AB与CN的长,进而得出AN的长;再根据△CNM∽△GBM,即可得到MN和BM的长,进而得到的值.
【解答】解:如图所示,过C作CN⊥AB于N,
由题可得,∠CAE=∠CBH=90°,∠ACE=∠BCH=45°,
∴△ACE∽△BCH,
∴==,
设AC=a,则BC=2a,AB=a,CN==a,
Rt△ACN中,AN==a,
∴BN=a﹣a=a,
∵∠CNM=∠GBM=90°,∠CMN=∠GMB,
∴△CNM∽△GBM,
∴===,
∴MN=BN=a,BM=NB=a,
∴AM=AN+MN=a,
∴==,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形,利用勾股定理或相似三角形的对应边成比例进行计算.
18.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC上一点,连接BD,∠ABD=3∠A,若BD=5,AD=11,则BC的长为  .
【分析】作∠ABE=∠A交AC于E,作BF⊥AC于F,构造出两个等腰△ABE和△DBE,由勾股定理可得DG=4,再借助面积法求得BF的长即可.
【解答】解:如图,作∠ABE=∠A,交AC于E,作BF⊥AC于F,DG⊥BE于G,
设∠A=x,则∠ABE=x,
∵∠ABD=3∠A,
∴∠BEF=2x,∠EBD=2x,
∴DE=BD=5,
∴AE=BE=11﹣5=6,
∵DG⊥BE,
∴BG=3,
在Rt△BDG中,由勾股定理得:
DG=,
由S△BED=得:
5×BF=6×4,
∴,
∴DF=,EF=,
∴AF=,
∵△AFB∽△BFC,
∴BF2=AF×CF,
∴,
∴CF=,
在Rt△CFB中,由勾股定理的:
BC=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质以及勾股定理等知识,作出两个等腰三角形是解题的关键.
19.如图,正方形ABCD的边长为12,其内部有一个小正方形EFGH,其中E、F、H分别在BC,CD,AE上.若BE=9,则小正方形EFGH的边长  .
【分析】由四边形ABCD为正方形,得到四个角为直角,四条边相等,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求出AE的长,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABE与三角形EFC相似,由相似得比例,求出EF的长,即为小正方形EFGH的边长.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,AB=BC=12,CE=3,
在Rt△ABE中,AB=12,BE=9,
∴AE==15,
∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEF,且∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECF,
∴=.即=,
解得:EF=,
则小正方形EFGH的边长.
故答案为:
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及正方形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
20.如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQ⊥MN,NE平分∠MNP,交PM于点E,交PQ于点F.
(1)+= 1 .
(2)若PN2=PM MN,则=  .
【分析】(1)证明△PEN∽△QFN,得①,证明△NPQ∽△PMQ,得②,再①×②得,再变形比例式便可求得结果;
(2)证明△NPQ∽△NMP,得PN2=NQ MN,结合已知条件得PM=NQ,再根据三角函数得,进而得MQ与NQ的方程,再解一元二次方程得答案.
【解答】解:(1)∵MN为⊙O的直径,
∴∠MPN=90°,
∵PQ⊥MN,
∴∠PQN=∠MPN=90°,
∵NE平分∠PNM,
∴∠MNE=∠PNE,
∴△PEN∽△QFN,
∴,即①,
∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°,
∴∠NPQ=∠PMQ,
∵∠PQN=∠PQM=90°,
∴△NPQ∽△PMQ,
∴②,
∴①×②得,
∵QF=PQ﹣PF,
∴=1﹣,
∴+=1,
故答案为:1;
(2)∵∠PNQ=∠MNP,∠NQP=∠NPM,
∴△NPQ∽△NMP,
∴,
∴PN2=QN MN,
∵PN2=PM MN,
∴PM=QN,
∴,
∵cos∠M=,
∴,
∴,
∴NQ2=MQ2+MQ NQ,即,
设,则x2+x﹣1=0,
解得,x=,或x=﹣<0(舍去),
∴=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了圆的性质,相似三角形的性质与判定,角平分线的定义,关键是灵活地变换比例式.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为  .
【分析】过点D作DF∥AE,根据平行线分线段成比例定理可得则==,根据已知=,可得DO=2OC,C在以AB为直径的圆上,设圆心为G,当CG⊥AB时,△ABC的面积最大为:4×2=4,即可求出此时△ABO的最大面积.
【解答】解:如图,过点D作DF∥AE,
则==,
∵=,
∴DF=2EC,
∴DO=2OC,
∴DO=DC,
∴S△ADO=S△ADC,S△BDO=S△BDC,
∴S△ABO=S△ABC,
∵∠ACB=90°,
∴C在以AB为直径的圆上,设圆心为G,
当CG⊥AB时,△ABC的面积最大为:4×2=4,
此时△ABO的面积最大为:×4=.
故答案为:.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理.
22.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是 5 .
【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1:2,在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4,在图中尝试可画出符合题意的最大三角形,从而其斜边长可得.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,AC=1,BC=2,
∴AB=,AC:BC=1:2,
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1:2,
若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6×6网格图形中,最长线段为6,但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形,从而画不出端点都在格点且长为8的线段,故最短直角边长应小于4,在图中尝试,可画出DE=,EF=2,DF=5的三角形,
∵===,
∴△ABC∽△DFE,
∴∠DEF=∠C=90°,
∴此时△DEF的面积为:×2÷2=10,△DEF为面积最大的三角形,其斜边长为:5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了相似三角形的判定,明确相似三角形的判定定理并运用数形结合思想是解题.
三.解答题(共8小题)
23.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点C作CD平行于AB交⊙O于点D,过点D作DE垂直于点E,且CD=DE
(1)求证:AD2=2AE AB;
(2)若△ABC的面积是50,求△ACD的面积.
【分析】(1)连接BD,根据平行线的性质得到∠ACD=∠BAC,于是得到=,=,求得BD=AC,推出BD=AC=AB,根据勾股定理得到BD2=BE2+DE2,等量代换得到BD2=AB2=(AB﹣AE)2+DE2=AB2﹣2AB AE+AE2+DE2,2AE AB=AE2+DE2,根据勾股定理得到AD2=AE2+DE2,即可得到结论.
(2)过C作CF⊥AB,根据等腰梯形的性质得到则BF=AE,CD=EF,于是得到BE=CD+BF=CD+AE,由勾股定理得到(CD+AE)2+DE2=AC2,化简整理得到CD=AB,然后又三角形的面积即可得到结果.
【解答】解:(1)连接BD,
∵AB∥DC,
∴∠ACD=∠BAC,
∴=,
∴=,
∴BD=AC,
∴BD=AC=AB,
∵△BED为直角三角形,
∴BD2=BE2+DE2,
BD2=AB2=(AB﹣AE)2+DE2=AB2﹣2AB AE+AE2+DE2,
2AE AB=AE2+DE2,
∵△AED为直角三角形,
∴AD2=AE2+DE2,∴AD2=2AE AB;
(2)过C作CF⊥AB,
则BF=AE,CD=EF,
∴BE=CD+BF=CD+AE,
∴(CD+AE)2+DE2=AC2,
即[CD+(AB﹣CD)]2+CD2=AB2,
即 3AB2﹣2AB CD﹣5CD2=0,
∴(3AB﹣5CD) (AB+CD)=0,
∵CD 不等于负数,∴CD=AB,
∵DE⊥AB,
∴DE⊥CD,
∴S△ABC=AB DE=50,
∴S△ACD=DC DE=AB DE=S△ABC=30.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的面积,圆周角定理,等腰梯形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
24.已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.求证:=;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形.试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得=成立?并证明你的结论.
【分析】(1)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°,求出∠CFD=∠AED,证出△AED∽△DFC即可得结论;
(2)当∠B+∠EGC=180°时,DE CD=CF AD成立,证△DFG∽△DEA,得出,证△CGD∽△CDF,得出,即可得出答案.
【解答】(1)证明:如图(1),∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠DGF=90°,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC,
∴;
(2)当∠B+∠EGC=180°时,=成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠A=∠EGC=∠FGD,
∵∠FDG=∠EDA,
∴△DFG∽△DEA,
∴,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,
∴∠CGD=∠CDF,
∵∠GCD=∠DCF,
∴△CGD∽△CDF,
∴=,
∴,
∴=
即当∠B+∠EGC=180°时,=成立.
【点评】本题考查了矩形性质和判定,勾股定理,平行四边形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力,题目比较好.
25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=x,点F在边AB上,点G、H在边BC上,四边形EFGH是一个边长为y的正方形,且AE=AC.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,y取得最大值?并求出y的最大值.
【分析】(1)延长FE,交AC于D,显然DF∥BC,则Rt△ADF∽Rt△ACB,利用AE=AC=x,求得DE,于是可得方程,然后解方程即可,
(2)由第(1)题得方程,解当时,即可求出y的最大值.
【解答】解:(1)如图,延长FE,交AC于D,
∵DF∥BC,
∴Rt△ADF∽Rt△ACB,
∴,
∴,
两边平方,并整理得(x2+2x+2)y2﹣(x3+2x2+4x)y+2x2=0,
解得:(另一解y=x舍去).
答:y关于x的函数解析式为.
(2)由第(1)题得,
当,即时,,
答:当时,y最大值为.
【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,正方形的性质等多个知识点,有一定的拔高难度.
26.如图1,在△ABC中,点D为BC中点,点E在AC上,AD、BE交于点F,∠ADC=∠BEC.
(1)写出与∠EBC相等的角: ∠DAC ;
(2)若AD=BF,求的值;
(3)如图2,若AD=BF,∠BCA=90°,BC=m,求BE2(用含m的式子表示).
【分析】(1)通过三角形内角和为180°.等量代换即可得.
(2)过D点作DM∥BE交AC于M,证△BFD≌△ADM,可得BD=AM,根据相似三角形的判定得△ADC∽△DMC,根据相似三角形的性质得出结果.
(3)DM∥BE,点D为BC中点,得EM=MC,在直角三角形BEC中,由勾股定理可得结果.
【解答】解:(1)∵∠ADC=∠BEC.
∴∠EBC=180°﹣∠C﹣∠BEC.
∠DAC=180°﹣∠C﹣∠ADC,
即∠EBC=∠DAC,
故答案为∠DAC;
(2)过D点作DM∥BE交AC于M,如图1,
∴∠BFD=∠ADM,
在△ADM和△BFD中,

∴△BFD≌△ADM(ASA),
∴BD=AM,
∵DM∥BE,
∴∠DMC=∠BEC,
又∵∠ADC=∠BEC,
∴∠DMC=∠ADC,
又∵∠DCA=∠MCD,
∴△ADC∽△DMC,
∴==,即DC2=CM AC,
设BD=CD=a,CM=b,
则a2=b(b+a),a2﹣ab﹣b2=0,解得a=b,
∴=,
∴;
(3)∵DM∥BE,点D为BC中点,
∴EM=MC
∵∠BCA=90°,
∴BE2=BC2+CE2=(2a)2+(2b)2,
由(2)知,
得,

∵m=2a

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.
27.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?
【分析】首先设运动了ts,根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案.
【解答】解:设运动了ts,
根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,
则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t(cm),
当△APQ∽△ABC时,,
即,
解得:t=;
当△APQ∽△ACB时,,
即,
解得:t=4;
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是:s或4s.
【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题难度适中,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.
28.已知:CD是圆O的直径,弦AB与CD交于点H,CE⊥AB于点E,OF⊥AB于点F,CB=5,CA=,BE=4.
(1)求证:CD CE=CA CB
(2)求OF的长.
【分析】(1)连接AD,只要证明△ACD∽△ECB,即可解决问题;
(2)连接OA,在Rt△AOF中,求出AF、OA即可利用勾股定理解决问题;
【解答】(1)证明:连接AD.
∵CD是直径,
∠DAC=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠DAC=∠CEB=90°,
∵∠D=∠B,
∴△ACD∽△ECB,
∴,
∴CD CE=CA CB.
(2)连接OA.
在Rt△BCE中,CH==3,
在Rt△ACH中,AE==8,
∵BE=4,AE=8,
∴AB=12,
∵OF⊥AB,
∴AF=FB=6,
∵CD CE=CA CB,
∴CD=,
∴OA=CD=,
在Rt△AOF中,OF=.
【点评】本题考查圆、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
29.如图,已知CE是圆O的直径,点B在圆O上由点E顺时针向点C运动(点B不与点E、C重合),弦BD交CE于点F,且BD=BC,过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A.
(1)若圆O的半径为2,且点D为弧EC的中点时,求圆心O到弦CD的距离;
(2)在(1)的条件下,当DF DB=CD2时,求∠CBD的大小;
(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面积.
【分析】(1)过O作OH⊥CD于H,根据点D为弧EC的中点,可得∠OCH=45°,进而得出OH=CH,再根据圆O的半径为2,即可得到OH=;
(2)先判定△CDF∽△BDC,可得∠DCF=∠DBC,再根据∠DCF=45°,即可得出∠DBC=45°;
(3)连接BE,BO,DO,并延长BO至H点,依据∠ABE=∠OBC=∠OCB,∠A=∠A,判定△ABE∽△ACB,即可得到AC=,设AE=x,再根据△AOB∽△COH,可得,即,解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,即可得到△BCD的面积=×12×12=72.
【解答】解:(1)如图,过O作OH⊥CD于H,
∵点D为弧EC的中点,
∴弧ED=弧CD,
∴∠OCH=45°,
∴OH=CH,
∵圆O的半径为2,即OC=2,
∴OH=;
(2)∵当DF DB=CD2时,,
又∵∠CDF=∠BDC,
∴△CDF∽△BDC,
∴∠DCF=∠DBC,
由(1)可得∠DCF=45°,
∴∠DBC=45°;
注:也可以由点D为弧EC的中点,可得弧ED=弧CD,即可得出∠DCF=∠DBC=45°;
(3)如图,连接BE,BO,DO,并延长BO至H点,
∵BD=BC,OD=OC,
∴BH垂直平分CD,
又∵AB∥CD,
∴∠ABO=90°=∠EBC,
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB,
又∵∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACB,
∴,即AB2=AE×AC,
∴AC=,
设AE=x,则AB=2x,
∴AC=4x,EC=3x,
∴OE=OB=OC=,
∵CD=12,
∴CH=6,
∵AB∥CH,
∴△AOB∽△COH,
∴,即,
解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,
∴BH=BO+OH=12,
∴△BCD的面积=×12×12=72.
【点评】本题属于圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
30.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),点E是AD边上一定点,且AE=1.
(1)当m=3时,AB上存在点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长度.
(2)如图②,当m=3.5时.用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?
【分析】(1)分两种情形,分别构建方程即可解决问题;
(2)利用对称性或辅助圆解决问题即可;
(3)根据交点个数分类讨论即可解决问题;
【解答】解:(1)当∠AEF=∠BFC时,
要使△AEF∽△BFC,需=,即=,
解得AF=1或3;
当∠AEF=∠BCF时,
要使△AEF∽△BCF,需=,即=,
解得AF=1;
综上所述AF=1或3.
(2)延长DA,作点E关于AB的对称点E′,连接CE′,交AB于点F1;
连接CE,以CE为直径作圆交AB于点F2、F3.
(3)当1<m<4且m≠3时,有3个;
当m=3时,有2个;
当m=4时,有2个;
当m>4时,有1个.
【点评】本题考查作图﹣相似变换,矩形的性质,圆的有关知识等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
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