(共15张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.4相似三角形的性质及其应用（1）
相似三角形的判定
1.两个角对应相等的两三角形相似
2.两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似
3.三边对应成比例的两三角形相似
平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形相似
探索发现：
A
B
C
D
E
F
△DEF∽△ABC
M
N
△DEF∽△ABC
△DEF∽△ABC
△AMB∽△DNE
相似三角形性质：1.相似三角形的周长比、
对应高的比、对应中线的比、对应角平分线
的比等于相似比。
2.相似三角形的面积比等于
相似比的平方。
A
D
E
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
ΔEFC的面积等于多少？ BDEF面积为多少？
B
C
F
16
30m
18m
例1.如图，AH是△ABC的高，矩形EDGF的一边DG在BC上，顶点E，F分别在AB，AC上，且ED:EF=2:3.若BC=12，AH=8，
求矩形EDGF的各边长.
共同探索：
∽
巩固提升：
1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），
B（0，-4），C（-2，-4），△ABC被x轴截成
两部分，那么所得两部分的面积之比是（ ）
A、3 B、2 C、8 D、9
2.在比例尺为1：500的军事地图上，周长为
30cm的三角形区域的实际周长为______
3.如图，在平行四边形ABCD中，
E为CD的中点若
则
C
150
48
△ADE∽△ABC
5.如图，要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍，用一把刻度尺，需测量哪些数据？至少要测量几次？请说明理由.
H
只要量出AD和AH的长即可，也就是说至少一次。
本课所获：
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.相似三角形的周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.相似三角形性质的应用。
找准目标(共14张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.2相似三角形
请同桌合作量一量这两个三角形的三个内角和三条边,并作好记录,思考下面三个小问题．
问题1:这两个三角形对应角
之间有什么关系
问题2:这两个三角形对应边之间有什么关系
问题3:这两个三角形对应边的之间比值是多少
一般地，对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
归纳发现：
相似用符号“∽”来表示,读做“相似于”
如△ABC与△A’B’C’相似,
记作“△ABC ∽△A’B’C’ ”
注意:在表示三角形相似时,一般对应的 字母写在对应的位置上.
几何语言表示:
∵∠A=∠A’,∠B=∠B’，∠C=∠C’
∴△ABC∽△A'B'C'
（相似三角形的定义可以作为
三角形相似的一种判定方法。）
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
如果△ABC∽△A'B'C'那么我们可以这样表述：
∵ △ABC∽△A'B'C'
∴ ∠A= ∠A'.∠B= ∠B'.∠C= ∠C'
共同探索：
1.在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D为AC上一点，E为AB上一点，且AD=2，满足△ADE和△ABC相似，求出所有满足条件的AE的长.
A
C
B
D
E
解：△ADE∽△ACB
△ADE∽△ABC
E
2.已知:如图,D,E分别是AB,AC边的中点.
求证:△ADE∽△ABC.
E
D
C
B
A
证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
=
=
=
∴DE∥BC，DE= BC。
∴△ADE∽△ABC
3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，CD⊥AB于点D。求证：△ACD∽△ABC
A
D
C
B
证明：∵ ∠ACB=Rt∠， AC=BC， CD⊥AB
∴ △ACD和△ACB是等腰直角三角形
∴ ∠A =∠A， ∠ACD=∠B，
∠ADC= ∠ACB，
， ， 即
∴ △ACD∽△ABC
巩固提升：
1.如图，△ABC∽△ADE，已知，
＝ ，则 ＝ ＿＿＿＿。
2.已知△ABC∽△ A'B'C' ，如果∠A=55°，
∠B=100°，∠C'的度数为（ ）
Ａ.100°Ｂ.55° Ｃ.30°Ｄ.25°
D
3.已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的三角形△DEF的最大边是15，则△DEF的周长等于＿＿。
36
4.已知,如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC反向延长线上的点,△ADE∽△ABC.AD﹕DB=1﹕4,BC=9cm,求DE的长.
A
E
D
C
B
△ADE∽△ABC
5.已知,如图,D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点, △ ADE∽△ABC.已知AD﹕DB=1﹕2,BC=9cm,求DE的长.
E
D
C
B
A
解：∵△ADE ∽△ABC
（相似三角形的对应边成比例）
∴DE=3（cm）
答：DE的长为3cm。
6.如图.△ACD∽△ABC, 且∠B＝ 40°，∠ADC ＝ 65°，
则 ① ∠ACD =＿＿ ；
∠ACB = ＿＿ ；
D
C
B
A
②
( ) ( ) ( )
＝
＝
AB
CA
BC
40°
65°
AC CD DA
本课所获：
1.相似三角形的定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
2.相似三角形性质：
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
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浙教版九上第四章：相似三角形
4.1比例线段（1）
探索发现：
我们知道如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.
通常我们把a，b，c，d四个实数成比例表示成
（1）外项是3和21，内项是7和9
比例的外项积等于内项积
归纳获得：
（a,b,c,d均不为零）
比例的基本性质主要应用比例式和乘积式
的相互转化。
2
3
巩固提升：
1.已知x:3=2:4，则x=_______
2.若 ，则 =_______
3.已经5y-4x=0，则（x+y）:（x-y）=_______
4.已知 ，x+y+z=15，求2x-3y+z值.
4
9
5.思考下面的问题，并寻找规律.
6.
试判断A，B，C的大小
这一类问题在解决时，我们通常把它化成同一字母的代数式来完成。
本课所获的知识归纳：
3.一般出现多个比成比例时我们通常设比例系数k,转化成同一个未知数来达到问题的解决。
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浙教版九上第四章：相似三角形
4.3两个三角形相似的判定（2）
探索发现：
A
B
C
D
E
F
那么△ABC ∽△DEF？
共同探索：
A
D
B
E
C
巩固提升：
1.下面条件中，可以判定△ABC∽A’B”C’的是（ ）
D、∠A=∠B’，∠B=∠C
3.在△ABC和△A'B'C'中，若AB=7，BC=5，CA=3，
A'B'= ，B'C'=1，C'A'= 则（ ）
A∠A=∠A' B∠A=∠B' C∠A=∠C' D不能确定
C
B
4.在△ABC中，E是AB上的一点，AE=2，BE=3，AC=4，在AC上取一点F，使△AEF与△ABC相似，则AF为（ ）
5.已知：如图，P为△ABC内任意一点，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，求证：△DEF∽△ABC
A
B
C
P
D
E
F
C
△ABC∽△DEF
6.在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，CD=3，AD=8，AB=4，点E为AD上一点，且满足△CDE与△ABE相似，请求出满足条件的所有AE的长，并画出相应示意图.
A
B
C
D
E
解：因为△CDE∽△ABE
E
E
本课所获：
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.两边对应成比例并且夹角对应相等的两三角形相似。
2.三边对应成比例的两三角形相似。
3.相似三角形判定的应用。
找准目标(共15张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.3两个三角形相似的判定（1）
探索发现：
观察这两个三角形有什么特征？
这两个三角形相似吗？
△ABC ∽△DEF
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中
A
B
C
D
E
平行于三角形一边的直线截三角形其它两边（或两边的延长线），截得的三角形和原三角形相似
两个角对应相等的两个三角形相似
A
B
C
D
E
F
△ABC ∽△DEF
M
N
△DMN ∽△DEF
△ABC ∽△DEF
1.如图，在△ABC中，DE//BC，且DE=2，BC=5，则AD:AB=_______，EC:AE=_______
巩固提升：
A
B
C
D
E
2.如图，AB//CD，AE=2，AD=6，AB=3，则CD=_______
第1题
6
第2题
A
C
B
D
E
3.如图，DE//BC，BD=DE=4cm，BC=6cm求AD的长.
A
B
C
D
E
解∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
4.已知，如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∠FEC=90°.
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）求出它们的相似比.
A
B
C
D
E
F
（1）证明∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝900，
∵∠CEF＝900，∴∠AEF+∠BEC＝900
∵∠BEC+∠ECB＝900
∴∠AEF＝∠BCE，
∴△AEF∽△BCE
5.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E在AC上，且∠AED=∠ADB。
求证：（1）△ABD∽△ADE；（2）AD是AB，AE的比例中项.
A
B
C
D
E
∴△ABD∽△ADE
∵△ABD∽△ADE
6.如图，AD和BC相交于点E，AC//BD//EF，
EF交AB于点F，设AC=p，BD=q，FE=r，
AF=m，FB=n.
（1）用m，n表示 ；
（2）用m，n表示 ；
（3）试说明 成立的理由.
A
B
C
D
E
F
本课所获：
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.平行于三角形一边的直线截三角形其它两边（或延长线）截得的三角形与原三角形相似。
2.相似三角形的判定定理1：
两个角对应相等的两三角形相似。
3.相似三角形判定的应用。
找准目标(共17张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.6图形的位似
如果两个图形不仅形状相同，
而且每组对应点所在的直线都经过同一点,
那么这样的两个图形叫做位似图形,
这个点叫做位似中心.
巩固概念：
1.判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？
2.如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
巩固提升：
1.如图，点O是等边三角形ABC的中心，点A'，B'，C'分别是OA，OB，OC的中点，则位似比和位似中心分别为（ ）
C
2.小明制作了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平等，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上的小树的高度是10cm，则习武上小树的高度是_____cm
60
A.2 , C B. 1/2 ,A C. 2,O D, 1/2 ,C
3.按要求进行位似变换.
(1)以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，将△ABC的边长放大2倍；
(2)以点O为位似中心，作正六边形ABCDEF的位似图形，将
正方六边 形ABCDEF的边长缩小
A
B
C
D
E
F
O
4.一个矩形如图所示，四边形ABCD的坐标分别为A（-3，1），B（-3，-1），C（-1，-1），D（-1，1）以点O为位似中心，四边形ABCD与像的位似比为1：2，画出所求的位似图形，并求出像的各个顶点的坐标。
5.要在△ABC内部画一个正方形PQNM，使PQ在BC上，点M，N分别在AB，AC上，小明是这样画的：先任意画正方形P'Q'N'M'，使点P'，Q'在BC上，点M'在ABC上，如图，所点B看做位似中心，连结BN'并延长，交AC与点N，过点N作NQ⊥BC于Q，作NM//BC，交AB于M，过点M作MP⊥BC于P，则四边形PQNM就是所求正方形，你认为小明的作图方法正确吗？请说明理由.
本课所获：
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.两个位似图形各对应点的连线都经过同一点，这一点叫位似中心；各对应边的比都等于位似比。
2.位似图形的判定及应用
3.学会画位似图形
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浙教版九上第四章：相似三角形
4.5相似多边形
探索发现：
如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像,
求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,
这两个四边形的对应角之间有什么关系 对应边之间有什么关系
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上
相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形总可以分若干对相似三角形.
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
正方形
8
8
菱形
10
10
正方形
8
8
矩形
14
10
不相似
不相似
相似
下列三对多边形分别相似吗？
两个多边形是否相似必须同时满足两个条件：1，对应角都相等；2，对应边都成比例。
共同探索：
1.矩形纸张的长与宽的比为 ,对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似 请说明理由.
A
B
C
D
E
F
解：设原来的纸张为矩形ABCD,
对折线EF把矩形ABCD分为两个全等的矩形.
在矩形ABFE中
∴两个矩形的对应角相等,对应边成比例
∴矩形ABFE与矩形BCDA相似.
拓展: 把一个长方形(如图)划分成三个
全等的长方形.若要使每一个小长方形与原长
方形相似,则原长方形应满足什么条件
解: 由题意得
∵矩形ABFE与矩形BCDA相似
长方形纸张的长与宽的比为 满足要求.
2.菱形ABCD的两条对角线相交于点O．分别在
线段OA,OB,OC,OD上，取一点A′,B′,C′,D′，使得
连结A′B′, B′C′, C′D′，A ′D′，
所的四边形A′B′C′D′，是菱形吗？
它与菱形ABCD相似吗
A
B
C′
D
D′
A′
B′
C
Ｏ
3.矩形纸张的长与宽的比为 ,对开后所得的矩形纸张与原来的矩形纸张相似，
继续对开,如图叠放起来,你发现了什么有趣的现象 你能用数学解释吗
4.在比例尺为1:100000的地图上,某开发区的图上周长为25cm,图上面积为25cm2,那么该开发区的实际周长和实际面积分别是多少
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
1、如图:四边形A1B1 C1D1与四边形ABCD相似,相似比是k,求这两个四边形的周长比.
2、（1）连结第一题图两个相似四边形的对角线BD，B1D1，所得的△CBD和△C1B1D1相似么？另外的一对三角形是否也相似呢？相似比是多少？
（2）这两个四边形
的面积之比与相似比有什么关系？
做一做
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
巩固提升：
1.下面四组图形中，必定相似的是（ ）
A、各有一个角是30度的等腰三角形 B、两个正方形
C、各有一个角为40度的两个等腰梯形
D、各有一个角为120度的两个平等四边形。
2.如图，长方形ABCD和长方形EFGH的对角线AC，EG在同一条直线上，且AD//EH，AB//EF，斜线部分是这两个长方形的公共部分，且斜线部分的面积是长方形ABCD面积的一半若AD=EH=8cm，AB=EF=6cm则AE的长是（ ）
B
C
3.在一张比例尺为1：5000的地图上有一块周长为8cm的多边形地块，那么这个多边形的实际周长为_______m，另有一块多边形地块的面积为32m2那么它的实际面积为______
4.两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm如果这两个多边形的面积之和为 那么较小多边形的面积是______
5.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A. B、 4
C、8 D、 16
400
40
C
6.如图矩形ABCD沿EF对折后，矩形FCDE相似于矩形ABCD，已经AB=4，求:(1)AD的长
(2)这两个相似矩形的相似比k的值。
7.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系 对应边呢？
(1) 正三角形ABC与正三角形DEF;
(2) 正方形ABCD与正方形EFGH.
解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D= 60°, ∠B=∠E=60°, ∠C=∠F= 60° .
由于正三角形三边相等，所以AB:DE=BC:EF=CA:FD
(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E= 90° ∠B=∠F=90°∠C=∠G= 90°∠D=∠H= 90°
由于正方形的四边相等，所以AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE
所有的正方形都是相似多边形
8.一块长为3m，宽为1.5m的矩形材料如图所示，镶在其外围的木质边框7.5cm,边框的内外边缘所成的矩形相似吗？
答：不相似。因为内部的矩形的长为 300cm,宽为150cm；外部矩形的长为315cm，宽为165cm。
因为300：315≠150：165
所以两矩形不相似。
本课所获：
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
2.对应顶点的字母写在对应的位置上.
3.相似多边形对应边的比叫做相似比.
4.相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的周长之比等于相似比;
面积之比等于相似比的平方.
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浙教版九上第四章：相似三角形
4.1比例线段（3）
知识回顾：
9
共同探索：
.
.
.
A
P
B
点P把线段AB分成两部分,如果
那么称线段AB被点P 黄金分割,
点P为线段AB 的 黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为 黄金比.
PB
AP
AP
AB
=
巩固提升：
1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB
则下列等式成立的是（ ）
(A) AB2=AC CB (B) CB2=AC AB
(C) AC=CB AB (D) AC2=AB BC
2.已知：线段AB=18cm ，点C是AB的黄金分割点，且
AC>BC ，求AC和BC的长.
D
3.作顶角为36°的等腰△ABC;量出底BC与腰AB的长度,
则BC=______AB
4.若a是3和6的比例中项，则a=_______，②已知线段a=4，b=9,则线段a，b的比例中项是_______
5.已知线段AB=10，P为线段AB的黄金分割点，且AP大于PB，则线段AP的长是_______
6.如图，点C在AB上，且AB=8，AC= ，试通过计算说明点C是线段AB的黄金分割点.
6
7.如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠A=600，CD⊥AB于点D,(1)求BC与AB的比；
(2)求证BC2=BD·BA.
8.如图，点C，D在线段AB上，已知AB=6cm，AC=1cm,若线段AC，CD，DB，AB成比例，求CD的长；若DB是AC，AD的比例中项，求CD的长.
巴特农神庙
黄金矩形
A
B
C
D
E
E
F
G
H
M
归纳本课所获：
1.黄金分割，黄金分割点，黄金分割线，黄金比。
2.黄金分割与比例中项的理解及应用。
3.生活中的黄金分割及应用。
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相似三角形复习
知识链接：
1.如图，在 ABCD中，如果BM:CM=1:3，AM与BD相交于点N，
(1)那么S△BMN：S△ADN=_____
(2)那么S△BMN：S△ABN=_____
(3)那么S△BMN：S ABCD=_____
1：16
1：4
1：40
┛
0.5m
┏
16m
1m
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,
长臂长16m,当短臂端点下降
0.5m时,长臂端点升
高_________m
A
B
C
D
O
8
3.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某建筑物墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为_____米
1
墙
2
9.6
1.2
10
4.小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度_________.(设网球是直线运动)
2.4米
5.为了测量一条水塘边A、B两点之间的距离，
在可以看到A、B的点E处，取AE、BE
延长线上的C、D两点，
使得CD∥AB，若测
得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则池塘的宽度_____
20m
6.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P
处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射
到古城墙CD的顶端C处,已知 AB⊥BD，CD⊥BD, 且测得
AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D.24米
A
B
P
D
C
P
B
B
7.我侦察员在距敌方200米的地方发现
敌人的一座建筑物，但不知其高度
又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖起举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指
恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到
食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，
则敌方建筑物的高度为________
40米
1.如图：Rt△ABC中∠A=Rt∠,BG=4,FC=1,正方形DGFE内接于三角形ABC.
(1)试找出图中相似的三角形；
△ADE∽△EFC∽
△BDG∽△ABC
2
（4）如图,试求出△BDG的内接正方形HMGN的边长.
（5）将上题中的Rt△BDG的内接正方形HMGN变形为Rt△BDG的内接矩形H1M1GN1,则这样的矩形有几个 是否存在着面积最大的内接矩形 若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
（1）在运动过程中是否存在△PQC与△ABC相似？若存在请求出时间t的值，若不存在请说明理由。
（2）在运动过程中△PQC的面积是否有最大值？若面积有最大值请说明此时△ABC 与△PQC是否相似。
2.如图，在△ABC中，∠C =Rt∠, AC=3cm,BC=4cm,
点Q以1cm/s的速度从A出发沿AC向终点C运动，同时P以2cm/s的速度从C出发沿CB向终点B运动，P、Q先到终点时两点同时停止。
A
C
B
P
Q
（1）当△CQP的面积与四边形QABP的面积相等时， 求PC的长。
（2）当△CQP的周长与四边形QABP的周长相等时， 求PC的长。
（3）在AB上取一点M，使△MQP是等腰Rt△ ，求PQ的长。
3.如图，在△ABC中，∠C =Rt∠, AC=3,BC=4,点P，Q 分别是BC ，
AC边上的动点，且QP// AB.
A
C
B
P
Q
（1）要求削去的△CQP面积与梯形QABP的面积相等时， 求PC的长。
（2）要求削去的△CQP的周长与梯形QABP的周长相等时， 求PC的长。
（3）要求削去△CQP后，能在梯形QABP绿地上建一个等腰直角△QPM花坛，点M 在AB上 ，求PQ的长。
4.如图，公路旁原有一块△ABC绿地，∠C =Rt∠, AC=3,BC=4,由于公路要拓宽被削去一块△CPQ，变成了梯形QABP, QP// AB （单位：十米）
A
C
B
P
Q
(3)已知1， ，2三个数，请你再添上一个
数，写出一个比例 。
1.（1）已知3x=4y,则 ,
(4) 已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP ，则AP= cm。
±4
4cm
巩固提升：
2.(1)下列各组图形不一定相似的是（ ）
A、两个等边三角形
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形
C、两个正方形
D、各有一个角是45°的两个等腰三角形
(2).如图：五边形ABCDEF∽五边形A′B′C′D′E′F′,
则x= α= .
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
130°
10
12
x
120°
6
95°
85°
α
D
5
110
0
3：在Rt△ABC中, ∠ACB= 90°， BC=3, AC= 4.
①求C，A的坐标
②若点P是y轴上的一动点，若以O，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。
C
A
B
x
y
O
（1）若以BC所在的直线为x轴，B(4，0)
·P
p
P(0, ) 或P(0, ) 或P(0,- ) 或P(0,- )
变式一：
C
A
B
D
F
E
(2)若点D是斜边AB上（不与点A、B重合）的动点.过点D作DE⊥AC 于E，DF⊥BC于F, 若设DE= x, CE＝y.
①求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
②当DE＋CE＝3.2时,求矩形ＤEＣF的周长和面积.
③求DE多长时,矩形DECF的面积最大 最大面积是多少
在Rt△ABC中, ∠ACB= 90°， BC=3, AC= 4.
y=- ｘ＋４
６
．
４
１
．
９
２
ＤＥ＝ 时矩形DECF的面积最大，最大面积是３
变式二
C
A
B
（3）若△ABC是直角三角形纸片，要在其中剪出一个面积尽可能大的正方形，请你通过计算说明怎样剪，剪得正方形的面积较大？
D
E
F
C
A
B
D
E
F
G
在Rt△ABC中, ∠ACB= 90°， BC=3, AC= 4.
如图:△ABC中,AB=5,BC=4, △ABC的面积为8,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的动点. DE//AB,EF//BC
F
E
B
C
A
D
(1).则图中有哪几对三角形相似
(2).若CD=1,求四边形BDEF的面积.
(3). 是否存在点D,使得四边形BDEF的面积最大 若有,请求出CD的长,若没有,请说明理由.
△AEF∽△ABC∽△DEF
0.5
CD=2 最大面积为 4
F
E
B
C
A
(4). 如果E、F在运动的过程中始终保持EF∥BC，动点P,Q同时从点B出发,分别以每秒2个单位和每秒4个单位的速度向点C运动 (若点Q到点C即所有点都停止运动) ,在运动过程中是否存在着某一个t的值，使得四边形PQEF为矩形
如图:△ABC中,AB=5,BC=4, △ABC的面积为8,点E,F分别是边BC,AC上的动点.
P
Q
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。
（1）如图①，四边形DEFG是正方形时，求正方形边长。
（2）如图②，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形边长；
（3）如图③，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形边长。
A
B
C
D
E
F
G
①
A
B
C
D
E
F
G
②
K
H
A
B
C
D
E
F
G
③
K
H
…
找准目标(共12张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.1比例线段（2）
探索发现：
A
B
C
E
F
G
图中有成比例的线段吗？如果有请找出来。
我们把线段成比例叫成比例线段
共同探索：
A
B
C
D
2.如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，请尽可能多的写出比例线段
E
D
C
B
Ａ
充分利用三角形的中位线的性质
3.如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说明理由．
d
c
b
a
Ｆ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
利用等积转换来达到问题的解决
巩固提升：
1.如果两地相距2500KM，那么1：100 000 000的地图上，这两地之间的图上距离是_______cm
2.如图，AC=1cm，CD=2cm，DB=4cm，请写出关于图中线段的一个比例式：_______
2.5
3.在一张声调建设规划图上，量得该市东西方向长240cm，而该市东西方向的实际长度是18KM，求这张规划图的比例尺
240:1800000=1：7500
4.在下列给出的各组长度的线段中，不成比例的是（ ）
A 、3cm，5cm，9cm，15cm
B 、0.8cm，1.6cm，2.8cm，5.6cm
C 、12cm，24cm，36cm，48
D 、50cm，10cm，8cm，16cm
5.如图，尽可能多地找出成比例的线段，并写出比例式
C
O
6.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，
且 ，AE=2AD，CE=AD=2，求AB的长.
7.在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图像上有M (a，b)，N (c，d)两点求证：① a，b，c，d成比例 ②若M，N都在第一象限，过M作ME⊥x轴，垂足为E； 过N作NF⊥x轴，垂足为F，则有哪些线段成比例？
③若M，N不在同一象限，则②中的线段还成比例吗？
归纳本课所获：
找准目标(共11张PPT)
浙教版九上第四章：相似三角形
4.4相似三角形的性质及其应用（2）
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1、相似三角形对应角相等。
2、相似三角形对应边成比例。
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。
1.如图，屋架跨度的一半OP=5M，高度OQ=2.25M，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20M，AB在水平位置。求AB的长度（结果保留3个有效数字）。
共同探索：
P
O
Q
A
B
C
解：由题意得，AB∥PO,∴∠ABC=∠OPQ
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠
∴△ABC∽△OPQ
2.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
P
N
Q
M
D
E
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
3.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察者目高CD=1.6M；
D
E
A
B
C
解:因为△CDE∽ △ABE
方法二：如图，把长为2.40M的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80M，标杆影长为1.47M。
D
C
E
B
A
F
解:因为△CDF∽ △ABE
A
B
C
D
E
F
P
M
N
所以△DPM∽ △DAN
巩固提升：
1.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就撬动。现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上撬起10cm，已知杠杆的动力臂AC与与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端下压 （ ）
A、100cm B、60cm C、50cm D、10cm
2.小明身高为1.5m，他的影长为2m，
同一时刻古塔的影长为24m，
则古塔高为______m
D
18
3.如图，在4×4方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.填空：∠ABC=________度，BC=__________
判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论
135
所以△ABC∽ △DEF
4.某工厂有一批形状、大小相同的直角三角形余料片，如图∠C=90度，AB=50cm，BC=40cm，在社会实践中，工厂请同学们设计一种方案：要求在这批余料上截出面积最大的正方形。小明的设计方案如图2所示，小坤的设计方案如图3所示，你认为谁的方案更符合要求？请说明你的理由。
找准目标
