4．2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系
知识点1 平面直角坐标系及点的坐标
1．在图4－2－1中，平面直角坐标系画得正确的是( )
图4－2－1
2．[2018·柳州]如图4－2－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为________．
图4－2－2
3．点A(－3，2)到x轴的距离为________，到y轴的距离为________．
4．在如图4－2－3所示的平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，试写出这四个点的坐标，并在图中描出点E(－1，－2)，F(－2，2)．
图4－2－3
知识点2 点的位置
5．[2018·扬州]在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是( )
A．(3，－4) B．(4，－3)
C．(－4，3) D．(－3，4)
6．在平面直角坐标系中，点(0，－10)在( )
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
7．若点P(x，y)的坐标满足xy＝0(x≠y)，则点P必在( )
A．原点上
B．x轴上
C．y轴上
D．x轴上或y轴上(除原点)
8．[2018·新疆]点(－1，2)在第________象限．
9．若点A(x，2)在第二象限，则x的取值范围是________．
10．已知点P(2m＋4，m－1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的纵坐标比横坐标大3.
11．如图4－2－4所示，坐标平面内有P，Q两点，其坐标分别为(5，a)，(b，7)．根据图中P，Q两点的位置，判断点(6－b，a－10)落在第几象限( )
图4－2－4
A．一 B．二 C．三 D．四
12．[2018·北京]图4－2－5是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①若表示天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－6，－3)，则表示左安门的点的坐标为(5，－6)；
②若表示天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－12，－6)，则表示左安门的点的坐标为(10，－12)；
③若表示天安门的点的坐标为(1，1)，表示广安门的点的坐标为(－11，－5)，则表示左安门的点的坐标为(11，－11)；
④若表示天安门的点的坐标为(1.5，1.5)，表示广安门的点的坐标为(－16.5，－7.5)，则表示左安门的点的坐标为(16.5，－16.5)．
下列选项中，包含所有正确结论的选项是( )
图4－2－5
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
13．[2018·广安]已知点P(1－a，2a＋6)在第四象限，则a的取值范围是( )
A．a＜－3 B．－3＜a＜1
C．a＞－3 D．a＞1
14．如图4－2－6，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点O，A，B在方格纸的交点(格点)上，在第四象限内的格点上找一点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
图4－2－6 图4－2－7
15．如图4－2－7，在平面直角坐标系内有一点A(2，－1)，O是坐标原点，P是x轴上的一个动点．如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
16．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b|＝a－b，则点P的坐标为________________________________________________________________________．
17．如图4－2－8，已知四边形ABCD.
(1)分别写出点A，B，C，D的坐标；
(2)试求四边形ABCD的面积．(网格中每个小正方形的边长均为1)
图4－2－8
18．如图4－2－9，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标为整数的点，其顺序按图中“→”所示方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2019个点的横坐标为________．
图4－2－9
19．已知点P(a－2，2a＋8)到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
教师详解详析
1．D
2．(－2，3) [解析] 先读取点A的横坐标为－2，再读取点A的纵坐标为3，故点A的坐标为(－2，3)．
3．2 3
4．A(3，1)，B(－4，3)，C(－2，－2)，D(2，－3)
描点略
5．C [解析] 在平面直角坐标系中，点M在第二象限内，所以横坐标为负，纵坐标为正．由点M到x轴的距离为3，得纵坐标为3；到y轴的距离为4，得横坐标为－4，所以点M的坐标为(－4，3)．故选C.
6．D
7.D
8．二 9.x＜0
10．解：(1)由题意，知2m＋4＝0，解得m＝－2，所以m－1＝－3，
故点P的坐标为(0，－3)．
(2)由题意，知m－1＝0，解得m＝1，所以2m＋4＝6，故点P的坐标为(6，0)．
(3)由题意，知m－1＝(2m＋4)＋3，解得m＝－8，所以m－1＝－9，2m＋4＝－12，故点P的坐标为(－12，－9)．
11．D
12．D [解析] 从图上可知①表示的点的位置正确，从而在①的基础上，将①中的坐标扩大到原来的2倍，进而得到②表示点的位置正确；在②的基础上，先由天安门位置来确定原点位置，再看广安门与左安门的位置的表示，发现③④均正确．故选D.
13．A [解析] 由第四象限的符号特征为(＋，－)，得1－a＞0，2a＋6＜0，
解得a＜－3.
14．B
15．C [解析] 根据等腰三角形的分类思想，当AP＝OP时，符合条件的点P有1个；当OA＝AP时，符合条件的点P有1个；当OA＝OP时，符合条件的点P有2个，所以一共有4个．
16．(5，2)或(5，－2)
17．解：(1)A(－2，1)，B(－3，－2)，C(3，－2)，D(1，2)．
(2)S四边形ABCD＝3×3＋2××1×3＋×2×4＝16.
18．45 [解析] 根据图形，若n为正整数，当n为奇数时，第n2个点的坐标为(n，0)，当n为偶数时，第n2个点的坐标为(1，n－1)．
∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点的坐标是(45，0)，
∴第2019个点的坐标是(45，6)，
∴第2019个点的横坐标为45.
19．解：∵点P到x轴，y轴的距离相等，
∴a－2＝2a＋8或a－2＋2a＋8＝0，
解得a＝－10或a＝－2.
当a＝－10时，a－2＝－12，2a＋8＝－12，
则P(－12，－12)；
当a＝－2时，a－2＝－4，2a＋8＝4，则P(－4，4)．
综上所述，点P的坐标为(－12，－12)或(－4，4)．第2课时 坐标平面内图形的平移
知识点1 坐标平面内点的平移
1．将点A(－2，－3)向右平移3个单位得到点B，则点B所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若将点(－4，b)沿y轴正方向平移2个单位得到点(a＋1，3)，则a，b的值分别为( )
A．－3，3 B．－5，3
C．－3，1 D．－5，1
3．[2018·宿迁]在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得点的坐标是________．
4．将点P(m＋2，2m＋1)向上平移若干个单位后得到点(4，7)，则m的值为________．
知识点2 坐标平面内图形的平移
5．[2018·海南]如图4－3－1，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是(4，3)，把△ABC向左平移6个单位，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是( )
A．(－2，3) B．(3，－1)
C．(－3，1) D．(－5，2)
图4－3－1 图4－3－2
6．[2018·黄石]如图4－3－2，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P′的坐标是( )
A．(－1，6) B．(－9，6)
C．(－1，2) D．(－9，2)
7．[2018·抚顺]已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为________．
8．如图4－3－3所示，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C三点的坐标分别为
(－1，5)，(－3，0)，(－4，3)．
(1)画出△ABC向右平移6个单位，再向上平移1个单位后得到的△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′的各顶点的坐标．
图4－3－3
9．如图4－3－4所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在平面直角坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30秒后，飞机P飞到P′(4，3)的位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( )
A．Q′(2，3)，R′(4，1) B．Q′(2，3)，R′(2，1)
C．Q′(2，2)，R′(4，1) D．Q′(3，3)，R′(3，1)
图4－3－4 图4－3－5
10．如图4－3－5，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么点P变换后的对应点P′的坐标为__________．
11．如图4－3－6，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，－1)．
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的
坐标；
(2)画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
图4－3－6
12．如图4－3－7，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，2)，C(－4，0)，D(0，0)．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)如果把四边形ABCD各个顶点的横坐标加2，纵坐标减1，所得四边形A′B′C′D′的面积又是多少？试画出四边形A′B′C′D′.
图4－3－7
13．建立平面直角坐标系，并描出下列各点：
A(1，1)，B(5，1)，C(3，3)，D(－3，3)，E(1，－2)，F(1，4)，G(3，2)，H(3，－2)，
I(－1，－1)，J(－1，1)．
(1)连结AB，CD，EF，GH，IJ，描出它们的中点，并写出这些中点的坐标；
(2)将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？
(3)根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为(a，b)，(c，d)，则该线段的中点坐标为多少？
14．如图4－3－8，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.已知 A(1，4)，A1(2，4)，A2(4，4)，A3(8，4)，B(2，0)，B1(4，0)B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则点A4的坐标是______，点B4的坐标是______；
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，请你推测点An，Bn的坐标．
图4－3－8
教师详解详析
1．D
2．D [解析] 点(－4，b)沿y轴正方向平移2个单位，得到点(－4，b＋2)，
∴∴故选D.
3．(5，1) [解析] 向右平移2个单位，横坐标加2，向上平移3个单位，纵坐标加3，所以平移后的点的坐标为(3＋2，－2＋3)，即(5，1)．故填(5，1)．
4．2
5．C [解析] ∵点A的坐标是(4，3)，∴由图可知点B的坐标为(3，1)，∴把点B向左平移6个单位后，得到的点B1的坐标为(3－6，1)，即(－3，1)．故选C.
6．C [解析] 已知点P的坐标为(－5，4)，将图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，故平移后的对应点P′的坐标为(－5＋4，4－2)，即(－1，2)．
7．(－1，－1) [解析] 由图形在坐标平面内的平移特征可知，点A的平移过程与点B的平移过程相同，点A是向左平移3个单位，向下平移2个单位得到对应点(－2，1)，故点B向左平移3个单位，向下平移2个单位得到对应点(－1，－1)．
8．解：(1)如图所示．
(2)A′(5，6)，B′(3，1)，C′(2，4)．
9．A
10．(a＋3，b＋2) [解析] 点B的坐标为(－2，0)，点B′的坐标为(1，2)，横坐标增加了1－(－2)＝3，纵坐标增加了2－0＝2.
∵△ABC上点P的坐标为(a，b)，
∴点P′的横坐标为a＋3，纵坐标为b＋2，
∴点P变换后的对应点P′的坐标为(a＋3，b＋2)．
11．解：(1)△A1B1C1如图所示，点C1(4，4)．
(2)△A2B2C2如图所示，点C2(－4，4)．
12．解：(1)四边形ABCD的面积＝×1×2＋×(2＋3)×2＋×1×3＝.
(2)把四边形ABCD各个顶点的横坐标加2，纵坐标减1，所得四边形的面积与原四边形的面积相等，为.
如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
13．解：如图：
(1)线段AB的中点M的坐标为(3，1)；线段CD的中点N的坐标为(0，3)；线段EF的中点P的坐标为(1，1)；线段GH的中点Q的坐标为(3，0)；线段IJ的中点K的坐标为(－1，0)．
(2)中点的横坐标等于对应线段两个端点横坐标的和的一半．
中点的纵坐标等于对应线段两个端点纵坐标的和的一半．
(3)该线段的中点坐标为(，)．
14．解：(1)(16，4) (32，0)
(2)An(2n，4) Bn(2n＋1，0)．4．3 坐标平面内图形的轴对称和平移
第1课时 坐标平面内图形的轴对称
知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标特征
1．[2018·沈阳]在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是( )
A．(4，1) B．(－1，4)
C．(－4，－1) D．(－1，－4)
2．[2018·雅安]在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于y轴的对称点P′的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
3．已知点P(－3，5)关于y轴的对称点为M，则点M的坐标为________，线段PM的长度为________．
4．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________．
知识点2 坐标平面内图形的轴对称
5．线段MN在平面直角坐标系中的位置如图4－3－1所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为( )
图4－3－1
A．(4，2) B．(－4，2)
C．(－4，－2) D．(4，－2)
6．将平面直角坐标系内△ABC的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得的三角形与原三角形关于________对称．
7．如图4－3－2，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A(－3，0)，B(－3，－3)，C(－1，－3)．
(1)求Rt△ABC的面积；
(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为D，E，F，并写出点D，E，F的坐标．
图4－3－2
8．如图4－3－3所示，在长方形ABCD中，已知顶点A(－8，2)，B(0，2)，C(0，6)，求：
(1)点D的坐标；
(2)点A到x轴的距离；
(3)作出长方形ABCD关于y轴对称的长方形A′B′C′D′(其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′)，并求出点A到点D′的距离及A′，B′，C′，D′四点的坐标．
图4－3－3
9．已知点P关于y轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上的表示正确的是( )
图4－3－4
10．甲、乙两名同学用围棋子做游戏．如图4－3－5所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也组成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是[说明：棋子的位置用数对表示，如点A在(6，3)]( )
图4－3－5
A．黑(3，7)，白(5，3) B．黑(4，7)，白(6，2)
C．黑(2，7)，白(5，3) D．黑(3，7)，白(2，6)
11．如图4－3－6，在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于直线x＝1的对称点的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，2) C．(3，2) D．(4，2)
图4－3－6 图4－3－7
12．如图4－3－7，在平面直角坐标系xOy中，△ABC关于直线y＝1成轴对称，已知点A的坐标为(3，3)，则点B的坐标为________．
13．已知点M(b－2a，－5－a)，N(1－2b，a－b)．
(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；
(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)2019的值．
14．在如图4－3－8所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
图4－3－8
15．如图4－3－9，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴．
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，0)，B(－1，0)，C(－1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是(－a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
图4－3－9
教师详解详析
1．A [解析] 平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于x轴对称的点Q的坐标为(x，－y)，因此可知点B(4，－1)关于x轴的对称点A的坐标为(4，1)．故选A.
2．A [解析] 在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等．因为P(－2，3)，所以P′(2，3)．故选A.
3．(3，5) 6
4．－6
5．D [解析] 由题图可得点M的坐标是(－4，－2)，故点M的对应点M′的坐标为(4，－2)．故选D.
6．x轴
7．解：(1)S△ABC＝AB·BC＝×3×2＝3.
(2)△DEF如图所示，点D，E，F的坐标分别为(－3，0)，(－3，3)，(－1，3)．
8．解：(1)D(－8，6)． (2)2.
(3)图略，AD′＝＝，A′(8，2)，
B′(0，2)，C′(0，6)，D′(8，6)．
9．C
10．C [解析] A项，若放入黑(3，7)，白(5，3)，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B项，若放入黑(4，7)，白(6，2)，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C项，若放入黑(2，7)，白(5，3)，则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，故本选项符合题意；
D项，若放入黑(3，7)，白(2，6)，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选C.
11．C 12.(3，－1)
13．解：(1)∵点M，N关于x轴对称，
∴解得
(2)∵点M，N关于y轴对称，
∴解得
∴(b＋2a)2019＝1.
14．[解析] (1)根据A，C两点的相对位置，建立平面直角坐标系；(2)先利用轴对称的性质，确定点A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，再连结A1B1，B1C1，C1A1即可得到△A1B1C1；(3)通过点B1，C，y轴，构造最短路径问题的模型，求出点P的坐标．
解：(1)如图所示． (2)如图所示．
(3)如图所示，作点B1关于y轴的对称点B2，连结B2C交y轴于点P，则点P即为所求．
由画图知点P的坐标是(0，2)．
15．解：(1)△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2)．
(2)∵点P与点P1关于y轴对称，P(－a，0)，
∴P1(a，0)．
又∵点P1与点P2关于直线l对称，
设P2(x，0)，可得＝3，即x＝6－a，
∴P2(6－a，0)，
则PP2＝|6－a－(－a)|＝6.第4章 图形与坐标
4．1 探索确定位置的方法
知识点1 行列确定位置
1．若(3，6)表示教室内第3排第6列的位置，某同学的座位号是(2，4)，则该同学所坐的位置是( )
A．第2排第4列 B．第2排第2列
C．第2列第4排 D．不能确定
2．图4－1－1是小强画的一张脸，他对小亮说：如果我用(1，3)表示左眼，用(3，3)表示右眼，嘴的位置应该表示为________．
图4－1－1 图4－1－2
3．如图4－1－2，围棋盘上呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，纵线用英文字母表示，横线用数字表示，这样白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为 ________．
4．教材作业题第4题变式图4－1－3是某城市公园周围街巷的示意图，点A表示1街与2道的十字路口，点B表示3街与5道的十字路口，如果用(1，2)→(2，2) → (3，2) →(3，3) → (3，4) →(3，5)表示由点A到点B的一条路径，那么你能用同样的方式写出由点A到点B的另外二条路径吗？
图4－1－3
5．小华去电影院看电影，其电影票上注明影厅为4号厅，座位号为8排11座．
请你回答：
(1)“对号入座”是指4号厅还是8排11座？
(2)若规定排号写在前面，座号写在后面，则小华的座位用有序数对应怎样表示？
(3)在(2)的条件下，若小明与小华在同一排相隔两个座位的位置，则小明的座位用有序数对应如何表示(已知电影院同一排座位的号码是连续的正整数)
知识点2 方位确定位置
6．北京时间2017年8月8日21时19分在九寨沟发生7.0级地震，震源深度20千米，能够准确表示这个地点位置的是( )
A．北纬33.2度
B．东经103.82度
C．四川省阿坝州九寨沟县
D．北纬33.2度，东经103.82度
7．如图4－1－4，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置分别表示为C(6，120°)，F(5，210°)，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是( )
A．A(5，30°) B．B(2，90°)
C．D(4，240°) D．E(3，60°)
图4－1－4 图4－1－5
8．如图4－1－5，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB.若将点A表示为(3，30°)，点B表示为(1，120°)，则点C可表示为________．
9．图4－1－6是小明家周边地区的平面示意图，借助刻度尺、量角器，解决以下问题：
(1)相对小明家的位置，说出书店B所在的位置；
(2)某地点位于小明家的南偏东56°的方向，到小明家的实际距离约为350米，说出这一地点的名称．
图4－1－6
10．以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲：从学校向北直走500米，再向东直走100米可到图书馆．
乙：从学校向西直走300米，再向北直走200米可到邮局．
丙：邮局在火车站西方200米处．
根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站( )
A．向南直走300米，再向西直走200米
B．向南直走300米，再向西直走600米
C．向南直走700米，再向西直走200米
D．向南直走700米，再向西直走600米
11．将自然数按以下规律排列(如图4－1－7)：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …
第一行 1 4 5 16 17 …
第二行 2 3 6 15 …
第三行 9 8 7 14 …
第四行 10 11 12 13 …
第五行 … … … …
…
图4－1－7
表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与有序数对(1，3)对应；数14与有序数对(3，4)对应．根据这一规律，与数2019对应的有序数对为________．
12．国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种．国际象棋中“皇后”的威力比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制它所在的行与列中的每一个小方格，还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．图4－1－8甲是一个4×4的小方格棋盘，图甲中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．
(1)在如图4－1－8乙的小方格棋盘中有一个“皇后Q”，它所在的位置可用(2，3)来表示，请说明“皇后Q”所在的位置(2，3)的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不被该“皇后Q”所控制的四个位置；
(2)图4－1－8丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制(在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可)．
图4－1－8
教师详解详析
1．A
2．(2，1)
3．(D，6) [解析] 白棋⑨所在纵线对应D，横线对应6，故记作(D，6)．
4．解：此题的答案不唯一，如：(1，2)→(1，3)→(1，4)→(1，5)→(2，5)→(3，5)或(1，2)→(2，2)→(2，3)→(2，4)→(2，5)→(3，5)．
5．解：(1)8排11座．
(2)(8，11)．
(3)(8，8)或(8，14)．
6．D
7．D [解析] 由题意可知C(6，120°)，F(5，210°)，依据此规律可知A(5，30°)，B(2，90°)，D(4，240°)，E(3，300°)，因此，不正确的是目标E的表示方式．
8．(2，75°) [解析] ∵线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB，将点A表示为(3，30°)，点B表示为(1，120°)，
∴∠AOB＝90°，∠AOC＝45°，则点C可表示为(2，75°)．
9．解： (1)书店B位于小明家北偏东41°方向上，图上距离约为2.1 厘米，实际距离约为2.1×10000×＝210(米)．
(2)电影院D.因为图上距离约为350××100＝3.5(厘米)，且位于小明家南偏东56°方向的只有电影院D.
10．A
11．(45，7)
12．解：(1)(2，3)表示“皇后Q”的位置在棋盘中的第2列、第3行．棋盘中不受该“皇后Q”控制的四个位置是(1，1)，(3，1)，(4，2)，(4，4)．
(2)答案不唯一，如图：第2课时 建立适当的直角坐标系
知识点1 方格中的坐标
1．图4－2－1是杭州西湖几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(0，0)表示三潭印月的位置，用(1，5)表示断桥残雪的位置，那么雷峰夕照的位置可以表示为( )
A．(－3，1) B．(－3，－1) C．(3，－1) D．(3，1)
图4－2－1 图4－2－2
2.如图4－2－2，在方格纸上摆出了六枚棋子，如果用(2，－1)表示棋子A的位置，用(6，－2)表示棋子B的位置，那么(5，3)表示的是( )
A．棋子E的位置 B．棋子D的位置
C．棋子C的位置 D．棋子F的位置
3．如图4－2－3为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵所在位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，则玉琯岩所在位置的坐标为________．
图4－2－3 图4－2－4
知识点2 几何图形中的坐标
4．如图4－2－4，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是( )
A．点A与点D的横坐标相同
B．点C与点D的横坐标相同
C．点B与点C的纵坐标相同
D．点B与点D的纵坐标相同
5．一个正方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为(－2，－3)，(－2，1)，(2，1)，则第四个顶点的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，2) C．(2，3) D．(2，－3)
6．如图4－2－5所示，已知等腰三角形ABC的底边BC＝6，腰AB＝AC＝5，点C与坐标原点重合，点B在x轴负半轴上，点A在x轴的上方，则点A的坐标是________，点B的坐标是________．
图4－2－5
7．已知线段AB＝3，且AB∥x轴，若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是______________．
8．如图4－2－6，长方形ABCD的长为6，宽为4，请你建立一个适当的平面直角坐标系，分别表示出长方形各顶点的坐标．
图4－2－6
9．对于边长为4的等边三角形ABC，请建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
10．如图4－2－7，直线m⊥n.在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(－4，2)，点B的坐标为(2，－4)，则坐标原点可能是( )
图4－2－7
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
11．如图4－2－8，在平面直角坐标系中，四边形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，且OM＝OP，则顶点M的坐标是( )
A．(3，0) B．(4，0) C．(5，0) D．(6，0)
图4－2－8 图4－2－9
12．如图4－2－9，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(4，3)，如果要使△ABD与△ABC全等(不重合)，那么点D的坐标是______________________．
13．如图4－2－10，网格中每个小正方形的边长都表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系；
(2)在(1)的条件下，B同学家的坐标是________；
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为(－150，100)，请你在图中描出表示C同学家的点．
图4－2－10
14．图4－2－11是某个小岛的简图，图中A，B，G是三个哨所，D是雷达，E，F是港口码头，C是营房．试建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示这些相关地点的位置．
图4－2－11
15．如图4－2－12，平面直角坐标系内有点A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
(1)求△ABC的面积；
(2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
图4－2－12
教师详解详析
1．C [解析] 根据题意，建立平面直角坐标系如图，雷峰夕照的位置为(3，－1)．
2．A [解析] 根据点A和点B的坐标建立平面直角坐标系，再进一步确定已知坐标所表示的点．
3．(2，4) [解析] 以舜帝陵所在位置为坐标原点，玉琯岩所在位置在其北方4个单位，东方2个单位，故其坐标为(2，4)．
4．C
5.D
6．(－3，4) (－6，0)
[解析] 根据题意，如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝3.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝4，
∴A(－3，4)，B(－6，0)．
7．(－2，2)或(4，2)
[解析] ∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等．∵AB＝3，∴点B的横坐标是1±3.
8．解：如图，以长方形两邻边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0，4)，B(0，0)，C(6，0)，D(6，4)．(答案不唯一)
9．[解析] 本题可以以BC边所在直线为x轴，以BC边的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，运用勾股定理可得A(0，)，B(－2，0)，C(2，0)．(答案不唯一)
10．A [解析] 从点A来看，A(－4，2)，所以原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，
从点B来看，B(2，－4)，所以原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如图，O1符合题意．
11．C [解析] 过点P作PE⊥OM于点E.
∵顶点P的坐标是(3，4)，∴OE＝3，PE＝4，
∴OP＝＝5，∴OM＝5，
即点M的坐标为(5，0)．故选C.
12．(4，－1)或(－1，3)或(－1，－1) [解析] 画出与△ABC全等的△ABD，进而求出点D的坐标．
13．解：(1)如图．
(2)B同学家的坐标是(200，150)．
(3)如图所示．
14．[解析] 先选定原点和坐标轴建立平面直角坐标系．
解：以C为原点，BC所在直线为x轴，向右为正方向，AC所在直线为y轴，向上为正方向，小方格边长为1个单位建立平面直角坐标系．图略．于是得C(0，0)，A(0，3)，B(－4，0)，D(4，1)，E(1，－4)，F(－2，－5)，G(3，－5)．(答案不唯一)
15．解：(1)S△ABC＝3×4－×2×3－×2×4－×1×2＝4.
(2)如图所示．以BP1，BP2为底，符合题意的有P1(－6，0)，P2(10，0)，以AP3，AP4为底，符合题意的有P3(0，5)，P4(0，－3)．
综上所述，点P的坐标为(－6，0)或(10，0)或(0，5)或(0，－3)．
