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6.7 角的和差 教案
课题 6.7 角的和差 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上）
学习目标 1.了解角的和差的概念，能利用量角器画角的和差；2．掌握角平分线的概念，能计算与角平线有关的问题；3．能进行角的和差计算．
重点 角的和与差、角平分线及其意义．
难点 利用角之间的和差关系进行简单的计算．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题，一般地，如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_______________；如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_________________．注意：两个角的和与差仍是一个角．角的和差表示 思考自议了解角的和差概念和表示方法． 进行角的和差计算及角的平分线有关计算，常用分类讨论和数形结合思想．
讲授新课 提炼概念两个角可以相加(或相减)，它们的和(或差)也是一个角．它的度数等于这两个角的度数的和(或差)．典例精讲 典例解析：例1 已知∠1与∠2如图 ，用量角器求作∠1与∠2的和．作法：如图.1. 用量角器量得∠1＝60°，∠2＝45°.2. 计算：∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.3. 用量角器作∠AOB＝105°.∠AOB＝∠1＋∠2，∠AOB就是所求作的角.角平分线：在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．问∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？ ∵折叠时∠AOC与∠BOC重合，∴ ∠AOC=∠BOC．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 当∠1 =∠2 时，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，这时OC叫做∠AOB的平分线，也可以说OC平分∠AOB．几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，∴ ∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC=∠AOB， ∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC．∵∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC=∠AOB， ∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC．∴ OC是∠AOB的平分线．任意画一个角∠AOB，你有什么方法画出它的平分线？先用量角器量出这个角的大小，再以这个角的顶点为顶点，一边为始边，在角的内部画一条射线，使它与始边所成的角的大小是原角的一半，这条射线就是这个角的平分线．典例解析：例2 如图，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度数．解：∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+30°=120°，BP平分∠ABD，∴∠ABP= ∠ABD= ×120°=60°. 通过例题及针对练习的完成会与角平分线有关的计算． 理解并掌握角平分线的几何语言．
课堂检测 巩固训练1.过点O引三条射线OA、OB、OC，使∠AOC＝2∠AOB，若∠AOB＝31°，求∠BOC的度数．解：由已知得∠AOB＜∠AOC，所以图形有两种可能(如答图所示)．当射线OB在∠AOC的内部时，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝2∠AOB－∠AOB＝∠AOB＝31°；当射线OB在∠AOC的外部时，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝2∠AOB＋∠AOB＝3∠AOB＝3×31°＝93°.3.如图，∠AOB=120°，∠BOD=90°，OC平分∠BOD，求∠AOC的度数．解：∵∠BOD=90°，OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠DOC=45°，又∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-45=75°．4.已知：如图∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）当∠EOF=50°，求∠AOB的度数．解：（1）∵AO⊥BO，∴∠AOB=90°，∵∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC=1/2∠AOC=75°，∠FOC=1/2∠BOC=30°，∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=75°-30°=45°；（2）∠EOC=∠EOF+∠FOC=50°+30°=80°，∠AOC=2∠EOC=160°，∠AOB=∠AOC-∠BOC=160°-60°=100°．5.(1)如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；(2)若(1)题中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)若(1)题中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)、(2)、(3)题结果中能看出有什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)题设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律．解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB＝×90°＝45°；(2)∠MON＝∠AOB＝α；(3)∠MON＝45°；(4)∠MON＝∠AOB，∠MON与∠BOC无关；(5)如答图所示，线段AB＝a，BC＝b，点M是AC的中点，点N是BC的中点，MN＝MC－NC＝AC－BC＝(AC－BC)＝AB＝a.
课堂小结
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6.7 角的和差 学案
课题 6.7 角的和差 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习目标 1.了解角的和差的概念，能利用量角器画角的和差；2．掌握角平分线的概念，能计算与角平线有关的问题；3．能进行角的和差计算．
重点 角的和与差、角平分线及其意义．
难点 利用角之间的和差关系进行简单的计算．
教学过程
导入新课 引入思考如图，已知∠α=30°，∠β=120°，∠γ=150°请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系总结：两角的和： 。两角的差： 。
新知讲解 提炼概念
课堂练习 典例精讲例1.已知∠1和∠2，用量角器求作∠1与∠2的和.在一张纸上任意画一个角∠AOB (如图),把这张纸折叠,使角的两边OA和OB重合,然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC.∠AOC与∠BOC谁大谁小呢？ 总结：角的平分线： 。例2 如图， ∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度数.巩固训练1.过点O引三条射线OA、OB、OC，使∠AOC＝2∠AOB，若∠AOB＝31°，求∠BOC的度数．3.如图，∠AOB=120°，∠BOD=90°，OC平分∠BOD，求∠AOC的度数．4.已知：如图∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）当∠EOF=50°，求∠AOB的度数．5.(1)如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；(2)若(1)题中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)若(1)题中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)、(2)、(3)题结果中能看出有什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)题设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律．答案引入思考一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角叫做另两个角的差．提炼概念典例精讲 例1从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 例2巩固训练1.解：由已知得∠AOB＜∠AOC，所以图形有两种可能(如答图所示)．当射线OB在∠AOC的内部时，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝2∠AOB－∠AOB＝∠AOB＝31°；当射线OB在∠AOC的外部时，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝2∠AOB＋∠AOB＝3∠AOB＝3×31°＝93°.2.3.解：∵∠BOD=90°，OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠DOC=45°，又∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-45=75°．4. （2）∠EOC=∠EOF+∠FOC=50°+30°=80°，∠AOC=2∠EOC=160°，∠AOB=∠AOC-∠BOC=160°-60°=100°．5.解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB＝×90°＝45°；(2)∠MON＝∠AOB＝α；(3)∠MON＝45°；(4)∠MON＝∠AOB，∠MON与∠BOC无关；(5)如答图所示，线段AB＝a，BC＝b，点M是AC的中点，点N是BC的中点，MN＝MC－NC＝AC－BC＝(AC－BC)＝AB＝a.
课堂小结
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6.7 角的和差
浙教版 七年级上
情境引入
合作学习
提炼概念
一般地，如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_______________；
如果一个角的度数是另两个角的___________，那么这个角叫做_________________．
度数之和
另两个角的和
度数之差
另两个角的差
注意：两个角的和与差仍是一个角．
同一端点的三条射线如图，请完成下面的填空：
∠AOB+∠BOC=∠________=________度；
∠ AOC-∠BOC= ∠ ________=________度；
∠BOC= ∠ AOC-∠ ________=________度．
AOC
110
AOB
30
AOB
80
两个角可以相加(或相减)，它们的和(或差)也是一个角．它的度数等于这两个角的度数的和(或差).
典例精讲
例1 已知∠1与∠2如图 ，用量角器求作∠1与∠2的和．
作法：如图.
1. 用量角器量得∠1＝60°，∠2＝45°.
2. 计算：∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.
3. 用量角器作∠AOB＝105°.
∠AOB＝∠1＋∠2，∠AOB就是所求作的角.
已知∠1与∠2如图 ，用量角器求作∠1与∠2的差呢？
归纳概念
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．问∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？
∵折叠时∠AOC与∠BOC重合，
∴ ∠AOC=∠BOC．
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∠AOC=∠BOC= ∠AOB，
∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC．
∵∠AOC=∠BOC，
∠AOC=∠BOC= ∠AOB，
∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC．
∴ OC是∠AOB的平分线．
反之：
例2 如图，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度数．
解：∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+30°=120°，
BP平分∠ABD，
∴∠ABP= ∠ABD= ×120°=60°.
课堂练习
1.过点O引三条射线OA、OB、OC，使∠AOC＝2∠AOB，若∠AOB＝31°，求∠BOC的度数．
【解析】 本例由已知条件可得∠AOB＜∠AOC，但未给出三条射线的具体位置，所以图形有两种可能都应考虑．
例1答图
解：由已知得∠AOB＜∠AOC，所以图形有两种可能(如答图所示)．
当射线OB在∠AOC的内部时，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝2∠AOB－∠AOB＝∠AOB＝31°；
当射线OB在∠AOC的外部时，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝2∠AOB＋∠AOB＝3∠AOB＝3×31°＝93°.
【点悟】 当问题中给定的条件只涉及角的大小，而未明确它们的相互位置时，应当把满足题设的各种情况都列举出来，并画出图形，分别求解，这种数学问题的解决方法其实就是运用了分类讨论的数学思想．
3.如图，∠AOB=120°，∠BOD=90°，OC平分∠BOD，求∠AOC的度数．
解：∵∠BOD=90°，OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠DOC=45°，
又∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-45=75°．
4.已知：如图∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？
（2）当∠EOF=50°，求∠AOB的度数．
解：（1）∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC= ∠AOC=75°，∠FOC= ∠BOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=75°-30°=45°；
（2）∠EOC=∠EOF+∠FOC=50°+30°=80°，
∠AOC=2∠EOC=160°，
∠AOB=∠AOC-∠BOC=160°-60°=100°．
5.(1)如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(2)若(1)题中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)若(1)题中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；
(4)从(1)、(2)、(3)题结果中能看出有什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)题设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律．
课堂总结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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