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6.8 余角和补角
浙教版 七年级上
情境引入
合作学习
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．∠AOC＋∠BOC ＝180 °
3、 1与 2互补，除用符号语言表示为 1＋ 2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为 1＝180°－ 2，或 2＝180°－ 1．
1、定义中的“互为”一词如何理解？
2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
如果 1与 2互余，那么 1的余角是 2， 2的余角是 1．
互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．
提炼概念
概念 定义 数量关系 共同点
互为余角 （互余）
互为补交 （互补）
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
①互余、互补是两个角的关系；
②互余、互补只跟角的大小有关，与位置无关.
如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是 BOC内的一条射线．回答下列问题：
（1）图中 DOC的余角有______________．
（2）图中 AOD的余角有______________．
（3） 通过上述两小题你能得到什么结论？
AOD与 COE
DOC与 BOE
同 角(等角)的 余 角 相 等
∵ AOD + COD =90°， COE + COD = 90°，
∴ AOD= COE．
（4） AOD和 COE的补角分别是_______________．
（5）通过此题，你又能得到什么结论？
BOD与 BOD
同角（等角）的补角相等
同角或等角的余角相等．
若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．
同角或等角的补角相等．
若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．
典例精讲
例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．
解：∠AOB=∠COD．
理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，
∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，
∠COD+∠BOC=Rt∠．
即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得,
180－x=4(90－x)，
解得x=60，
答：这个角的度数为60°．
什么是方位角？怎样表示方位角？
在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．
例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角．
东
西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
归纳概念
1＋ 2＝90°
1＋ 2＝180°
同角(等角)的余角相等
同角(等角)的补角相等
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补
互为余角(互余) 互为补角(互补)
定义
数量关系
对应图形
性质
课堂练习
1．对于互补的下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2. 如图，∠AOB＝160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD＝90°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOB＝160°，∠BOD＝90°，所以∠AOD＝70°.因为∠AOD与∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC＝90°.所以∠COD＝90°－∠AOD＝90°－70°＝20°.
3.如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；
②若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
=
②若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°；
③猜想∠ACB+∠DCE=180°．
理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°-（∠ACD+∠ECB）=360°-180°=180°．
4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．
解：设这个角是x度，
则这个角的补角为（180-x）度，余角为（90-x）度，
所以3（90-x）=180-x，
整理，可得2x=90，
解得：x=45，
即这个角的度数为45°．
5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
（1）求∠COD的度数；
（2）写出所有互余的角；
（3）写出所有互补的角．
解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠COD= ∠AOE+ ∠BOE= （∠AOE+∠BOE）=90°；
（2）4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；
（3）5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．
课堂总结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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6.8 余角和补角 教案
课题 6.8 余角和补角 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上）
学习目标 1.理解余角与补角的概念，掌握余角和补角的性质；2．掌握方位角的概念，能确定方位角．
重点 余角和补角的概念和性质。
难点 关于余角、补角的性质的应用常常需要说理，或综合运用代数知识，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题，余角和补角：观察，∠1+∠2与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 观察 ，∠α+∠β与 ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．如∠1与∠2互为余角， ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝ 90 °．如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．互补的数学表达式为： ∠α＋∠β ＝180 °．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．1、定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1．2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．3、∠1与∠2互补，除用符号语言表示为∠1＋∠2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为∠1＝180°－∠2，或∠2＝180°－∠1．针对练习：1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由．3、填空：（1）∠α的余角=90°-_______．（2）∠β的余角=_______-∠β．余角和补角的性质： 如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是∠BOC内的一条射线．回答下列问题：（1）图中∠DOC的余角有______________．（2）图中∠AOD的余角有______________．（3） 通过上述两小题你能得到什么结论？（4）∠AOD和∠COE的补角分别是_______________．（5）通过此题，你又能得到什么结论？同角或等角的余角相等．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．同角或等角的补角相等．若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ． 思考自议为引入余角和补角的概念做好铺垫． 两个角互余或互补只与它们的大小有关，和它们的位置无关.
讲授新课 提炼概念典例精讲典例解析：例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．例1 解：∠AOB=∠COD．理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，∠COD+∠BOC=Rt∠．即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． 例2 解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得,180－x=4(90－x)，解得x=60，答：这个角的度数为60°．知识拓展：什么是方位角？怎样表示方位角？在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角． 能运用余角和补角的性质解决问题． 通过练习，理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能运用知识解决问题，培养解决问题的能力．
课堂检测 巩固训练1．对于互补的下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B2. 如图，∠AOB＝160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD＝90°，求∠COD的度数．解：因为∠AOB＝160°，∠BOD＝90°，所以∠AOD＝70°.因为∠AOD与∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC＝90°.所以∠COD＝90°－∠AOD＝90°－70°＝20°.3.如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；②若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．①=②若∠DCE=30°，∠ACD=90°，∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB=90°+60°=150°；③猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，∴∠ECD+∠ACB=360°-（∠ACD+∠ECB）=360°-180°=180°．4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．解：设这个角是x度，则这个角的补角为（180-x）度，余角为（90-x）度，所以3（90-x）=180-x，整理，可得2x=90，解得：x=45，即这个角的度数为45°．5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）求∠COD的度数；（2）写出所有互余的角；（3）写出所有互补的角．解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∴∠COD=∠AOE+ ∠BOE= （∠AOE+∠BOE）=90°；（2）4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；（3）5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．
课堂小结
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6.8 余角和补角 学案
课题 6.8 余角和补角 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习目标 1.理解余角与补角的概念，掌握余角和补角的性质；2．掌握方位角的概念，能确定方位角．
重点 余角和补角的概念和性质。
难点 关于余角、补角的性质的应用常常需要说理，或综合运用代数知识，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课 引入思考如图，两堵墙围成一个角AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？ 你是怎样判断的？总结：互为余角： 。观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？ 总结：互为补角： 。如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补， 那么∠2与∠3的大小有什么关系？归纳： 。（2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？归纳： 。
新知讲解 提炼概念
课堂练习 典例精讲例1、如图，已知∠AOC =∠BOD =Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由. 例2、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.巩固训练1．对于互补的下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 如图，∠AOB＝160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD＝90°，求∠COD的度数．3.如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；②若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）求∠COD的度数；（2）写出所有互余的角；（3）写出所有互补的角．答案引入思考如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．提炼概念典例精讲 例1解：∠AOB=∠COD．理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，∠COD+∠BOC=Rt∠．即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．例2解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得,180－x=4(90－x)，解得x=60，答：这个角的度数为60°．巩固训练B2.解：因为∠AOB＝160°，∠BOD＝90°，所以∠AOD＝70°.因为∠AOD与∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC＝90°.所以∠COD＝90°－∠AOD＝90°－70°＝20°.3.①=②若∠DCE=30°，∠ACD=90°，∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB=90°+60°=150°；③猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，∴∠ECD+∠ACB=360°-（∠ACD+∠ECB）=360°-180°=180°．4.解：设这个角是x度，则这个角的补角为（180-x）度，余角为（90-x）度，所以3（90-x）=180-x，整理，可得2x=90，解得：x=45，即这个角的度数为45°．5.解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∴∠COD=∠AOE+ ∠BOE= （∠AOE+∠BOE）=90°；（2）4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；（3）5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．
课堂小结
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