【同步重难点精练】专题1.1 二次函数(原卷版+解析版)

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名称 【同步重难点精练】专题1.1 二次函数(原卷版+解析版)
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文件大小 2.6MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2021-12-04 13:07:36

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专题1.1 二次函数-重难点题型
【浙教版】
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )【题型1 判断二次函数的个数】
【例1】(2020秋 太康县期末)下列函 ( http: / / www.21cnjy.com )数:①y=3;②y;③y=x(3﹣5x);④y=(1+2x)(1﹣2x),是二次函数的有(  )21·cn·jy·com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1-1】(2020 涡阳县一模)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )函数:①y=2x﹣1;②y=﹣2x2﹣1;③y=3x3﹣2x2;④y=2x2﹣x﹣1;⑤y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为(  )www.21-cn-jy.com
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式1-2】(2020秋 扬州期末)下列函数是关于x的二次函数的有(  )
①y=x(2x﹣1);②;④y=ax2+2x(a为任意实数);⑤y=(x﹣1)2﹣x2;⑥y.【出处:21教育名师】
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【变式1-3】(2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 广汉市期中)观察:①y=6x2;②y=﹣3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3﹣2x;⑤;⑥y=(x+1)2﹣x2.这六个式子中,二次函数有   .(只填序号)www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】
【例2】(2020秋 沙坪坝区校级月考)若函数是关于x的二次函数,则a的值为   .
【变式2-1】(2020秋 肃州区期末)如果函数y=(k﹣3)kx+1是二次函数,则k的值是   .【版权所有:21教育】
【变式2-2】(2020秋 江油市校级 ( http: / / www.21cnjy.com )月考)函数y=(m2﹣3m+2)x2+mx+1﹣m,则当m=   时,它为正比例函数;当m=   时,它为一次函数;当m   时,它为二次函数.
【变式2-3】(2020秋 新昌县校级月考)已知函数y=(m2+m).
(1)当函数是二次函数时,求m的值;   ;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.   .
( http: / / www.21cnjy.com / )
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】(2020秋 防城区期中)设a,b,c分别是二次函数y=﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项,则(  )21·世纪*教育网
A.a=﹣1,b=3,c=0 B.a=﹣1,b=0,c=3
C.a=﹣1,b=3,c=3 D.a=1,b=0,c=3
【变式3-1】(2020秋 遂溪县校级期中)关于函数y=(500﹣10x)(40+x),下列说法不正确的是(  )21教育名师原创作品
A.y是x的二次函数 B.二次项系数是﹣10
C.一次项是100 D.常数项是20000
【变式3-2】(2020春 肇东市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末)已知二次函数y=1﹣5x+3x2,则二次项系数a=   ,一次项系数b=   ,常数项c=   .21教育网
【变式3-3】(2020秋 新昌县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末)若二次函数y=(2x﹣1)2+1的二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则b2﹣4ac   0(填写“>”或“<”或“=”)【来源:21·世纪·教育·网】
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【题型4 根据实际问题列二次函数(销售类)】
【例4】(2020秋 硚口区期中)某商品的进 ( http: / / www.21cnjy.com )价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映;如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.则每星期售出商品的利润y(单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是(  )
A.y=300﹣10x B.y=300(60﹣40﹣x)
C.y=(300+10x)(60﹣40﹣x) D.y=(300﹣10x)(60﹣40+x)
【变式4-1】(2020秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 朝阳期中)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨2元,月销售量就减少10千克.设每千克涨x元,月销售利润为y元,则y与x的函数关系式为(  )2·1·c·n·j·y
A.y=(50+x﹣40)(500﹣10x) B.y=(x+40)( 10x﹣500)
C.y=(x﹣40)[500﹣5( x﹣50)] D.y=(50+x﹣40)(500﹣5x)
【变式4-2】(2020 ( http: / / www.21cnjy.com )春 西湖区校级月考)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元(x为整数),每个月的销售量为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式.
【变式4-3】(2020 诸城市一模)某厂生产某种零件,该厂为鼓励销售商订货,提供了如下信息:
①每个零件的成本价为40元;
②若订购量不超过100个,出厂价为60元;若订购量超过100个时,每多订1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元;21世纪教育网版权所有
③实际出厂单价不能低于51元.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当一次订购量为   个时,零件的实际出厂单价降为51元.
(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂单价为P元,写出P与x的函数表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件时, ( http: / / www.21cnjy.com )该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂价﹣成本).21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )【题型5 根据实际问题列二次函数(面积类)】
【例5】(2020 平阳县一模)某农场 ( http: / / www.21cnjy.com )拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),并在如图所示位置留2m宽的门,已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m.设饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.y=﹣x2+50x B.yx2+24x
C.yx2+25x D.yx2+26x
【变式5-1】(2020秋 沙坪坝 ( http: / / www.21cnjy.com )区校级期中)如图,某农场拟建一间矩形奶牛饲养室,打算一边利用房屋现有的墙(墙足够长),其余三边除大门外用栅栏围成,栅栏总长度为50m,门宽为2m.若饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式为(  )【来源:21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.yx2+26x(2≤x<52)
B.yx2+50x(2≤x<52)
C.y=﹣x2+52x(2≤x<52)
D.yx2+27x﹣52(2≤x<52)
【变式5-2】(2020秋 思明区校级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中)如图,某小区进行绿化改造,矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ADEF围成,篱笆总长40米,墙AB长16米,若BF=x米,花园面积是S平方米,则S关于x的函数关系式是:   .2-1-c-n-j-y
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【变式5-3】(2020秋 东营期中 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材围成栅栏,该计划用木材围成总长24m的栅栏,设面积为s(m2),垂直于墙的一边长为x(m)米.则s关于x的函数关系式:   (并写出自变量的取值范围)
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( http: / / www.21cnjy.com / )【题型6 根据实际问题列二次函数(几何类)】
【例6】(2020 西湖区校级模拟)在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为(  )21*cnjy*com
A.S B.S C.S D.S
【变式6-1】(2020秋 翼 ( http: / / www.21cnjy.com )城县期末)如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.S=t(0<t≤3) B.St2(0<t≤3)
C.S=t2(0<t≤3) D.St2﹣1(0<t≤3)
【变式6-2】(2021 江夏区模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,E为AC边上的点且AE=2EC,点D在BC边上且满足BD=DE,设BD=y,S△ABC=x,则y与x的函数关系式为(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.yx2 B.yx2
C.yx2+2 D.yx2+2
【变式6-3】(2020秋 孝感期末)如图 ( http: / / www.21cnjy.com ),正方形ABCD的边长是4,E是AB上一点,F是AD延长线上的一点,BE=DF.四边形AEGF是矩形,矩形AEGF的面积y与BE的长x的函数关系是   .21cnjy.com
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专题1.1 二次函数-重难点题型
【浙教版】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【知识点1 二次函数的概念】
一般地,形如y=+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c21cnjy.com
是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y=+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二
次函数的一般形式.
【知识点2 二次函数的取值范围】
一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是全体实数,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题
有意义.
【题型1 判断二次函数的个数】
【例1】(2020秋 太康县 ( http: / / www.21cnjy.com )期末)下列函数:①y=3;②y;③y=x(3﹣5x);④y=(1+2x)(1﹣2x),是二次函数的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】利用二次函数定义进行分析即可.
【解答】解:①y=3;③y=x(3﹣5x);④y=(1+2x)(1﹣2x),是二次函数,共3个,
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次函数定 ( http: / / www.21cnjy.com )义,关键是掌握判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
【变式1-1】(2020 涡阳县一模)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )函数:①y=2x﹣1;②y=﹣2x2﹣1;③y=3x3﹣2x2;④y=2x2﹣x﹣1;⑤y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据二次函数定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数进行分析即可.
【解答】解:②④是二次函数,共2个,
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次函数的定义,关键是掌握y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)是二次函数,注意a≠0这一条件.21世纪教育网版权所有
【变式1-2】(2020秋 扬州期末)下列函数是关于x的二次函数的有(  )
①y=x(2x﹣1);②;④y=ax2+2x(a为任意实数);⑤y=(x﹣1)2﹣x2;⑥y.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数进行分析可得答案.
【解答】解:是关于x的二次函数的有①③,
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次函数定义 ( http: / / www.21cnjy.com ),判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
【变式1-3】(2020秋 广汉 ( http: / / www.21cnjy.com )市期中)观察:①y=6x2;②y=﹣3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3﹣2x;⑤;⑥y=(x+1)2﹣x2.这六个式子中,二次函数有   .(只填序号)
【分析】根据二次函数的定义可得答案.
【解答】解:这六个式子中,二次函数有:①y=6x2;②y=﹣3x2+5;③y=200x2+400x+200;
故答案为:①②③.
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义,熟练掌握二次函数的概念是解题的关键.
【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】
【例2】(2020秋 沙坪坝区校级月考)若函数是关于x的二次函数,则a的值为   .
【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|=2且a+1≠0,求解即可.
【解答】解:∵函数是关于x的二次函数,
∴|a2+1|=2且a+1≠0,
解得a=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查的是二次函数的定义,二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.2·1·c·n·j·y
【变式2-1】(2020秋 肃州区期末)如果函数y=(k﹣3)kx+1是二次函数,则k的值是   .
【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2=2,且k﹣3≠0,再解出k的值即可.
【解答】解:由题意得:k2﹣3k+2=2,且k﹣3≠0,
解得:k=0,
故答案为:0.
【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.21教育网
【变式2-2】(2020秋 江油市校级 ( http: / / www.21cnjy.com )月考)函数y=(m2﹣3m+2)x2+mx+1﹣m,则当m=   时,它为正比例函数;当m=   时,它为一次函数;当m   时,它为二次函数.
【分析】首先解方程,进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案.
【解答】解:m2﹣3m+2=0,
则(m﹣1)(m﹣2)=0,
解得:m1=1,m2=2,
故m≠1且m≠2时,它为二次函数;当m=1或2时,它为一次函数,当m=1时,它为正比例函数;
故答案为:1;1或2;m≠1且m≠2
【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义,正确解方程是解题关键.
【变式2-3】(2020秋 新昌县校级月考)已知函数y=(m2+m).
(1)当函数是二次函数时,求m的值;   ;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.   .
【分析】(1)这个式子是二次函数的条件是:m2﹣2m+2=2并且m2+m≠0;
(2)这个式子是一次函数的条件是:m2﹣2m+2=1并且m2+m≠0.
【解答】解:(1)依题意,得m2﹣2m+2=2,
解得m=2或m=0;
又因m2+m≠0,
解得m≠0或m≠﹣1;
因此m=2.
(2)依题意,得m2﹣2m+2=1
解得m=1;
又因m2+m≠0,
解得m≠0或m≠﹣1;
因此m=1.
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】(2020秋 防城区期中)设a,b,c分别是二次函数y=﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项,则(  )【来源:21·世纪·教育·网】
A.a=﹣1,b=3,c=0 B.a=﹣1,b=0,c=3
C.a=﹣1,b=3,c=3 D.a=1,b=0,c=3
【分析】根据二次函数的定义:一般地 ( http: / / www.21cnjy.com ),形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项作答.
【解答】解:二次函数y=﹣x2+3的二次项系数是a=﹣1,一次项系数是b=0,常数项是c=3;
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次函数的定义,关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.2-1-c-n-j-y
【变式3-1】(2020秋 遂溪县校级期中)关于函数y=(500﹣10x)(40+x),下列说法不正确的是(  )
A.y是x的二次函数 B.二次项系数是﹣10
C.一次项是100 D.常数项是20000
【分析】根据形如y=ax2+bx+c是二次函数,可得答案.
【解答】解:y=﹣10x2+100x+20000,
A、y是x的二次函数,故A正确;
B、二次项系数是﹣10,故B正确;
C、一次项是100x,故C错误;
D、常数项是20000,故D正确;
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的定义,化成二次函数的一般式是解题关键.
【变式3-2】(2020春 肇东市期 ( http: / / www.21cnjy.com )末)已知二次函数y=1﹣5x+3x2,则二次项系数a=   ,一次项系数b=   ,常数项c=   .21*cnjy*com
【分析】根据二次函数的定义,可得答案.
【解答】解:二次函数y=1﹣5x+3x2,则二次项系数a=3,一次项系数b=﹣5,常数项c=1,
故答案为:3,﹣5,1.
【点评】本题考查了二次函数的定义,熟记二次函数的定义是解题关键.
【变式3-3】(2020秋 新昌县期末 ( http: / / www.21cnjy.com ))若二次函数y=(2x﹣1)2+1的二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则b2﹣4ac   0(填写“>”或“<”或“=”)
【分析】根据二次函数的解析式得出a,b,c的值,再代入b2﹣4ac计算,判断与0的大小即可.
【解答】解:∵y=(2x﹣1)2+1,
∴a=4,b=﹣4,c=2,
∴b2﹣4ac=16﹣4×4×2=﹣16<0,
故答案为<.
【点评】本题考查了二次函数的定义以及各项系数,掌握a,b,c的确定是解题的关键.
【知识点3 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】
(1)理解题意:找出实际问题中的已知量和変量(自变量,因变量),将文字或图形语言转化为数学语言;
(2)分析关系:找到已知量和变量之间的关系,列出等量关系式;
(3)列函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系式用含字母的式子替换,将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型4 根据实际问题列二次函数(销售类)】
【例4】(2020秋 硚 ( http: / / www.21cnjy.com )口区期中)某商品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映;如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.则每星期售出商品的利润y(单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是(  )
A.y=300﹣10x B.y=300(60﹣40﹣x)
C.y=(300+10x)(60﹣40﹣x) D.y=(300﹣10x)(60﹣40+x)
【分析】由每件涨价x元,可得出销售 ( http: / / www.21cnjy.com )每件的利润为(60﹣40+x)元,每星期的销售量为(300﹣10x),再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量,即可得出结论.
【解答】解:∵每涨价1元,每星期要少卖出10件,每件涨价x元,
∴销售每件的利润为(60﹣40+x)元,每星期的销售量为(300﹣10x),
∴每星期售出商品的利润y=(300﹣10x)(60﹣40+x).
故选:D.
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式,根据各数量之间的关系,找出y与x之间的函数关系式.
【变式4-1】(2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 朝阳期中)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨2元,月销售量就减少10千克.设每千克涨x元,月销售利润为y元,则y与x的函数关系式为(  )www.21-cn-jy.com
A.y=(50+x﹣40)(500﹣10x) B.y=(x+40)( 10x﹣500)
C.y=(x﹣40)[500﹣5( x﹣50)] D.y=(50+x﹣40)(500﹣5x)
【分析】直接利用销量×每千克利润=总利润,得出函数关系式即可.
【解答】解:设每千克涨x元,月销售利润为y元,则y与x的函数关系式为:
y=(50+x﹣40)(500﹣5x).
故选:D.
【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式,正确表示出销量是解题关键.
【变式4-2】(2020春 西湖区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元(x为整数),每个月的销售量为y元.【出处:21教育名师】
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式.
【分析】(1)当售价超过50元但 ( http: / / www.21cnjy.com )不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,y=260﹣x,50≤x≤80,当如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件,y=420﹣3x,80<x≤140,
(2)由利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式,
【解答】解:(1)当50≤x≤80时,y=210﹣(x﹣50),即y=260﹣x,
当80<x≤140时,y=210﹣(80﹣50)﹣3(x﹣80),即y=420﹣3x.
则;
(2)由题意可得,
W=﹣x2+300x﹣10400(50≤x≤80),
W=﹣3x2+540x﹣16800(80<x<140).
【点评】本题主要考查二次函数的应用,根据题意列出函数关系式是解决本题的关键.
【变式4-3】(2020 诸城市一模)某厂生产某种零件,该厂为鼓励销售商订货,提供了如下信息:
①每个零件的成本价为40元;
②若订购量不超过100个,出厂价为60元;若订购量超过100个时,每多订1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元;21·世纪*教育网
③实际出厂单价不能低于51元.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当一次订购量为   个时,零件的实际出厂单价降为51元.
(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂单价为P元,写出P与x的函数表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件 ( http: / / www.21cnjy.com )时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂价﹣成本).
【分析】(1)由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x个,则x=100550进而得出答案;
(2)前100件单价为P, ( http: / / www.21cnjy.com )当进货件数大于等于550件时,P=51,则当100<x<550时,P=60﹣0.02(x﹣100)=62得到P为分段函数,写出解析式即可;
(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,表示出L与x的函数关系式,然后令x=500,1000即可得到对应的利润.
【解答】解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x个,则x=100550,
根据实际出厂单价不能低于51元,
因此,当一次订购量为大于等于550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
故答案为:≥550;
(2)当0<x≤100时,P=60
当100<x<550时,P=60﹣0.02(x﹣100)=62
当x≥550时,P=51
所以P;
(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,
则L=(P﹣40)x
当x=500时,L=22×50 ( http: / / www.21cnjy.com )06000(元);当x=1000时,L=(51﹣40)×1000=11000(元),
因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.
【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用,注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键.
【题型5 根据实际问题列二次函数(面积类)】
【例5】(2020 平阳县一模)某农场拟建一 ( http: / / www.21cnjy.com )间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),并在如图所示位置留2m宽的门,已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m.设饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是(  )21·cn·jy·com
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A.y=﹣x2+50x B.yx2+24x
C.yx2+25x D.yx2+26x
【分析】根据题意表示出矩形的宽,再利用矩形面积求法得出答案.
【解答】解:设饲养室长为xm,占地面积为ym2,
则y关于x的函数表达式是:y=x (50+2﹣x)x2+26x.
故选:D.
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,正确表示出矩形的宽是解题关键.
【变式5-1】(2020秋 沙坪坝区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级期中)如图,某农场拟建一间矩形奶牛饲养室,打算一边利用房屋现有的墙(墙足够长),其余三边除大门外用栅栏围成,栅栏总长度为50m,门宽为2m.若饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式为(  )21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.yx2+26x(2≤x<52)
B.yx2+50x(2≤x<52)
C.y=﹣x2+52x(2≤x<52)
D.yx2+27x﹣52(2≤x<52)
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长,再利用矩形面积求法得出答案.
【解答】解:y关于x的函数表达式为:y(50+2﹣x)x
x2+26x(2≤x<52).
故选:A.
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系,正确表示出另一边长是解题关键.
【变式5-2】(2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 思明区校级期中)如图,某小区进行绿化改造,矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ADEF围成,篱笆总长40米,墙AB长16米,若BF=x米,花园面积是S平方米,则S关于x的函数关系式是:   .
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案.
【解答】解:由题意可得:S=(16+x)
=(16+x)(12﹣x)
=﹣x2﹣4x+192.
故答案为:S=﹣x2﹣4x+192.
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式,正确表示出矩形的长与宽是解题关键.
【变式5-3】(2020 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 东营期中)如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材围成栅栏,该计划用木材围成总长24m的栅栏,设面积为s(m2),垂直于墙的一边长为x(m)米.则s关于x的函数关系式:   (并写出自变量的取值范围)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】先根据栅栏的总长度24表示出 ( http: / / www.21cnjy.com )三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为(24﹣4x),再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式;找到关于x的两个不等式:24﹣4x>0,x>0,解之即可求出x的取值范围.【来源:21cnj*y.co*m】
【解答】解:根据题意可知,三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为(24﹣4x),
则:s=(24﹣4x)x=﹣4x2+24x
由图可知:24﹣4x>0,x>0,
所以x的取值范围是0<x<6,
故答案为:s=﹣4x2+24x(0<x<6).
【点评】此题主要考查了结合实际问题列二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数解析式.本题中主要涉及的知识点有:二次函数的表示方法,自变量取值范围的解法,找到关于x的不等式.www-2-1-cnjy-com
【题型6 根据实际问题列二次函数(几何类)】
【例6】(2020 西湖区校级模拟)在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为(  )21教育名师原创作品
A.S B.S C.S D.S
【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系.
【解答】解:∵∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
∴a2+b2=c2,
∵Rt△ABC的面积S,
∴Sab,
∵a+b=5,
∴(a+b)2=25,
∴a2+b2+2ab=25,
∴c2+4S=25,
∴S.
故选:A.
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,正确掌握直角三角形的性质是解题关键.
【变式6-1】(2020秋 翼城县期末 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.S=t(0<t≤3) B.St2(0<t≤3)
C.S=t2(0<t≤3) D.St2﹣1(0<t≤3)
【分析】Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB= ( http: / / www.21cnjy.com )OB=3,所以很容易求得∠AOB=∠A=45°;再由平行线的性质得出∠OCD=∠A,即∠AOD=∠OCD=45°,进而证明OD=CD=t;最后根据三角形的面积公式,解答出S与t之间的函数关系式.
【解答】解:如图所示,
∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,
∴∠AOB=∠A=45°,
∵CD⊥OB,
∴CD∥AB,
∴∠OCD=∠A,
∴∠AOD=∠OCD=45°,
∴OD=CD=t,
∴S△OCDOD×CD
t2(0<t≤3),即St2(0<t≤3).
故选:B.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法,解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系,难度不大.
【变式6-2】(2021 江夏 ( http: / / www.21cnjy.com )区模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,E为AC边上的点且AE=2EC,点D在BC边上且满足BD=DE,设BD=y,S△ABC=x,则y与x的函数关系式为(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.yx2 B.yx2
C.yx2+2 D.yx2+2
【分析】过A作AH⊥BC,过E作EP⊥BC,则AH∥EP,由此得出关于x和y的方程,即可得出关系式.
【解答】解:过A作AH⊥BC,过E作EP⊥BC,则AH∥EP,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴HC=3,PC=1,BP=5,PEAH,
∵BD=DE=y,
∴在Rt△EDP中,y2=(5﹣y)2+PE2,
∵x=6AH÷2=3AH,
∴y2=(5﹣y)2,
∴yx2,
故选:A.
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识,关键是根据等腰三角形的性质进行分析,难度适中.【版权所有:21教育】
【变式6-3】(2020秋 孝感期 ( http: / / www.21cnjy.com )末)如图,正方形ABCD的边长是4,E是AB上一点,F是AD延长线上的一点,BE=DF.四边形AEGF是矩形,矩形AEGF的面积y与BE的长x的函数关系是   .
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】设BE的长度为x(0≤x<4),则AE=4﹣x,AF=4+x,根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式,此题得解.
【解答】解:设BE的长度为x(0≤x<4),则AE=4﹣x,AF=4+x,
∴y=AE AF=(4﹣x)(4+x)=16﹣x2.
故答案为:y=16﹣x2(0≤x<4).
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式,根据矩形的面积找出y关于x的函数关系式是解题的关键.
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