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6.4 直线的相交
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 相交线
1．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A． B． C．D．
2．若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
3．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
考查题型二 垂线的概念理解
4．如图，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等
6．下列说法中不正确的是 （ ）
A．三条直线，，若，，则
B．在同一平面内，若直线，，则
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
7．如图，直线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考查题型三 垂线段最短
8．如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作，垂足为点B，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于己知直线
D．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
9．如图，从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
10．如图，把水渠中的水引到水池，先过点向渠岸 画垂线，垂足为，再沿垂线开沟才能使沟最短，其依据是（ ）
A．垂线段最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线最短 D．以上说法都不对
11．如图，点在直线外，点，在直线上，，，点到直线的距离可能是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
考查题型四 对顶角相等
12．下列图形中与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210° B．180° C．150° D．120°
15．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1=∠2；④∠1=∠3．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
16．如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是OC的反向延长线，给出以下两个结论：①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC与∠BOE相等．对这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对
17．如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
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6.4 直线的相交
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 相交线
1．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】
根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A．由于直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
2．若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．
【详解】
解：当三条直线互相平行，交点是个0；
当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；
当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；
当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．
3．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】
解：A．符合条件，
B．不符合点P不在直线c上；
C．不符合点P在直线a上；
D．不符合直线a、b、c两两相交；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．
考查题型二 垂线的概念理解
4．如图，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据垂直的定义可得∠AOC=90°，再根据角的和差计算即可．
【详解】
解：∵，
∴∠AOC=90°，
∵，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+52°=142°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直的定义和角的和差计算，属于基础题型，熟练掌握基础知识是解题的关键．
5．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等
【答案】C
【分析】
根据垂线的定义得出∠BOD=90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系．
【详解】
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°．
又∵EF为过点O的一条直线，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BOD＝90°，
即：∠1与∠2互余，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线的定义、平角的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义和平角的定义是解题的关键．
6．下列说法中不正确的是 （ ）
A．三条直线，，若，，则
B．在同一平面内，若直线，，则
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．
【详解】
A．三条直线，，若，，则，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；
B．在同一平面内，若直线，，则，根据平行线的性质可确定正确；
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解题的关键．
7．如图，直线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，由垂直的定义可得∠3=90°，然后根据平角的定义求解即可．
【详解】
解：如图，∵OC⊥m，
∴∠3=90°，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=26°，
∴∠2=180°－∠1－∠3=180°－90°－26°=64°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
考查题型三 垂线段最短
8．如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作，垂足为点B，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于己知直线
D．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段的性质，可得答案．
【详解】
解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
9．如图，从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【答案】B
【分析】
根据垂线段最短可得答案．
【详解】
从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的一条是PB，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段的性质：从直线外一点与直线上的所有的点的连线中，垂线段最短．
10．如图，把水渠中的水引到水池，先过点向渠岸 画垂线，垂足为，再沿垂线开沟才能使沟最短，其依据是（ ）
A．垂线段最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线最短 D．以上说法都不对
【答案】A
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【详解】
解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
11．如图，点在直线外，点，在直线上，，，点到直线的距离可能是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
过点P作PH⊥直线l于点H，根据垂线段最短即可得出结论．
【详解】
解：过点P作PH⊥直线l于点H
由垂线段最短可得，点到直线的距离PH≤PA=3（当点H和点A重合时，取等号）
由各选项可得，A选项符合题意．
故选A．
【点睛】
此题考查的是垂线段最短的应用，掌握垂线段最短是解题关键．
考查题型四 对顶角相等
12．下列图形中与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
【详解】
解：根据对顶角的定义可知，
选项B的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．
13．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，利用对顶角，由平分，可得即可．
【详解】
解：，
，
平分，
，
答案：．
【点睛】
本题考查对顶角性质与角平分线定义，掌握对顶角性质与角平分线定义是解题关键．
14．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210° B．180° C．150° D．120°
【答案】B
【分析】
如图，根据对顶角相等求出∠3＝∠4，再根据平角的定义解答．
【详解】
解：如图，
∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，根据对顶角相等，把三个角转化为一个平角是解题的关键．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1=∠2；④∠1=∠3．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】
根据对顶角和邻补角的定义与性质判断即可．
【详解】
解：①∠1和∠2是邻补角，原结论错误；
②∠1和∠2互为邻补角，正确；
③∠1+∠2=180°，原结论错误；
④∠1=∠3，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对顶角和邻补角的定义与性质，解题关键是熟记定义，灵活应用性质．
16．如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是OC的反向延长线，给出以下两个结论：①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC与∠BOE相等．对这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对
【答案】A
【分析】
根据∠COD=90°，OE是射线OC的反向延长线，可得∠BOD+∠BOE=90°，根据对顶角相等可得∠BOE=∠AOC，从而可得出答案．
【详解】
解：∵∠COD=90°，OE是射线OC的反向延长线，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠BOE=∠AOC，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠AOC与∠BOD互为余角，
故①②都正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对顶角与余角，难度一般，关键是掌握对顶角相等．
17．如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据邻补角的和等于列式求出的度数，再根据对顶角相等解答．
【详解】
解：，
，
又，
，
解得，
（对顶角相等）．
故选：．
【点睛】
本题考查了对顶角相等，邻补角的和等于的性质，是基础题．
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