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6.3 角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角的概念
1.下列角中,能用,,三种方法表示同一个角的是( )
A.B.C.D.
2.下列说法正确的是( )
A.直线是一个平角 B.射线是周角
C.角的两边是直线 D.角的两边是射线
3.如图所示下列说法正确的是( )
A.就是 B.可以用表示
C.和是同一个角 D.和不是同一个角
4.下列各角中,是钝角的是( ).
A.周角 B.平角 C.平角 D.平角
考查题型二 钟面角
5.在下列说法中:
①钟表上九点一刻时,时针和分针形成的角是平角;
②钟表上六点整时,时针和分针形成的角是平角;
③钟表上差一刻六点时,时针和分针形成的角是直角;
③钟表上九点整时,时针和分针形成的角是直角.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.钟表上1时20分时,时针和分针的夹角是( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
7.如图所示,钟表上9:30时,时针与分针之间所成的角是( )
A.60° B.90° C.105° D.120°
8.早晨8:00以后,时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是( )
A.8点分 B.8点25分 C.8点分 D.9点整
考查题型三 角的度量和比较
9.若∠α=5.12°,则∠α用度、分、秒表示为( )
A.5°12′ B.5°7′12″ C.5°7′2″ D.5°10′2″
10.如图,与之间的关系是( )
A. B. C. D.与的大小无法比较
11.下面等式成立的是( )
A. B.
C. D.
12.若,,,则有( )
A. B.
C. D.
13.杨老师到几何王国去散步,刚走到“角”的家门,就听到∠A、∠B、∠C在吵架,∠A说:“我是,我应该最大!”∠B说:“我是48.3°,我应该最大!”.∠C也不甘示弱:“我是48.15°,我应该和∠A一样大!”听到这里,杨老师对它们说:“别吵了,你们谁大谁小,由我来作评判!”,杨老师评判的结果是( )
A.∠A最大 B.∠B最大 C.∠C最大 D.∠A=∠C
考查题型四 角的运算
14.计算:72°22′+50°40′30″的结果是( )
A.122°62′30″ B.123°2′30″ C.122°2′30″ D.123°12′30″
15.下列度分秒运算中,正确的是( )
A.48°39′+67°31′=115°10′
B.90°﹣70°39′=20°21′
C.21°17′×5=185°5′
D.180°÷7=25°43′(精确到分)
16.用一副三角板画角,不能画出的角的度数是( )度.
A.15 B.20 C.75 D.120
17.如图是一个时钟某一时刻的简易图,图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针(短针)位置,根据图中时针和分针(长针)位置,该时钟显示时间是( )
A.点 B.点 C.点 D.点
考查题型五 角平分线
18.如图,O为直线上一点,平分,则的度数为( )
A. B. C. D.
19.如图,,,平分,则的度数为( )
A. B. C. D.
20.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.若∠BOD=42°,则∠EOD的度数为( )
A.96° B.94° C.104° D.106°
21.如图,∠AOB=90°,∠BOC=15°,OC平分∠AOD,则∠BOD的度数是( )
A.75° B.60° C.65° D.55°
考查题型六 余角与补角
22.已知,则的余角的补角是( )
A. B. C. D.
23.一个角的补角比这个角的余角大( ).
A.70° B.80° C.90° D.100°
24.如图,点A,O,B在一条直线上,OE⊥AB, ∠1与∠2互余, 那么图中相等的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
25.如果∠α和∠β互补,且∠α<∠β,则下列表示∠α的余角的式子中:①90°﹣∠α;②∠β﹣90°;③(∠α+∠β);④(∠β﹣∠α).其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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6.3 角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角的概念
1.下列角中,能用,,三种方法表示同一个角的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
根据角的表示方法,顶点只存在一个角时,可以用一个字母表示角,据此分析即可
【详解】
根据角的表示方法,顶点只存在一个角时,可以用一个字母表示角,
A、B、D选项中,点为顶点的角存在多个,故不符合题意
故选C
【点睛】
本题考查了角的表示方法,掌握角的表示方法是解题的关键.角的表示方法有三种:(1)用三个字母及符号“∠”来表示.中间的字母表示顶点,其它两个字母分别表示角的两边上的点.(2)用一个数字表示一个角.(3)用一个字母表示一个角.具体用哪种方法,要根据角的情况进行具体分析,总之表示要明确,不能使人产生误解.
2.下列说法正确的是( )
A.直线是一个平角 B.射线是周角
C.角的两边是直线 D.角的两边是射线
【答案】D
【分析】
利用角的定义与直线特征可判断A,利用周角定义与射线特征可判断B,利用角的边可判断C、D即可.
【详解】
A. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形,直线上没有顶点,∴直线是一个平角不正确;
B. ∵周角是一条射线绕着端点旋转一周所形成的的图形,射线有端点,没有它扫过的部分即角的内部,∴射线是周角不正确;
C. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形,角的两边是直线不正确;
D. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形,角的两边是射线正确.
故选择D.
【点睛】
本题考查角的概念,直线、平角、周角、射线,掌握角的概念,平角、周角与直线、射线的区别是解题关键.
3.如图所示下列说法正确的是( )
A.就是 B.可以用表示
C.和是同一个角 D.和不是同一个角
【答案】B
【分析】
根据角的定义和表示方法逐一判断即可得到答案.
【详解】
解:在A中:∠ADE不能用∠D表示,故此项不符合题意;
在B中:∠ABC与∠B表示同一个角,故此项符合题意;
在C中:∠ABC与∠ACB表示两个不同顶点的角,故此项不符合题意;
在D中:∠BAC与∠DAE表示以A为顶点的同一个角,故此项不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题考查了角的定义、角的表示方法.角可以用一个大写字母表示,也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间,唯有在顶点处只有一个角的情况,才能用顶点处的一个字母来记这个角.角还可以用一个希腊字母表示,或用阿拉伯数字表示.
4.下列各角中,是钝角的是( ).
A.周角 B.平角 C.平角 D.平角
【答案】B
【分析】
直接利用角的定义逐项分析即可得出答案.
【详解】
解:A. 周角= ,不是钝角,不合题意;
B. 平角=,是钝角,符合题意;
C. 平角=180°,不是钝角,不合题意;
D. 平角=,不是钝角,不合题意.
故选:B
【点睛】
此题主要考查了角的概念,正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键.
考查题型二 钟面角
5.在下列说法中:
①钟表上九点一刻时,时针和分针形成的角是平角;
②钟表上六点整时,时针和分针形成的角是平角;
③钟表上差一刻六点时,时针和分针形成的角是直角;
③钟表上九点整时,时针和分针形成的角是直角.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】
分别算出时针和分针的夹角,逐一判断,即可解答.
【详解】
解:①钟表上九点一刻时,时针和分针形成的角是180°﹣30°÷4,不是平角,原说法错误;
②钟表上六点整时,时针指向6,分针指向12,形成的角是平角,原说法正确;
③钟表上差一刻六点时,时针和分针形成的角是90+30°÷4,不是直角,原说法错误;
④钟表上九点整时,时针指向9,分针指向12,形成的角是直角,原说法正确.
∴正确的个数是2个.
故选:B.
【点睛】
本题考查钟表分针所转过的角度计算.在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关系:分针每转动1°时针转动( )°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.
6.钟表上1时20分时,时针和分针的夹角是( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
【答案】A
【分析】
钟表里,每一大格所对的圆心角是30°,每一小格所对的圆心角是6°,根据这个关系计算即可.
【详解】
解:∵时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,
∴钟表上1时20分钟时,时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20=10°,分针在数字4上.
∵钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°,
∴1时20分钟时分针与时针的夹角90°﹣10°=80°.
故选:A.
【点睛】
本题考查了钟表时针与分针的夹角,熟记钟面上每个时刻的角度是解题的关键.
7.如图所示,钟表上9:30时,时针与分针之间所成的角是( )
A.60° B.90° C.105° D.120°
【答案】C
【分析】
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份,每一份是30°,借助图形,找出时针和分针之间相差的大格数,用大格数乘30°即可.
【详解】
∵在9:30时,时针位于9与10中间,分针指到6上,中间夹3.5份,
∴时针与分针的夹角是30°×3.5=105°.
故选:C.
【点睛】
本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征.钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份,每一份是30°,熟练掌握是关键.
8.早晨8:00以后,时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是( )
A.8点分 B.8点25分 C.8点分 D.9点整
【答案】C
【分析】
根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间,可得分针的旋转角,根据秒针旋转的速度成秒针旋转的时间,可得秒针的旋转角,根据分针的旋转角减去秒针的旋转角,即可求出.
【详解】
解:设t分后时钟的分针和时针第一次垂直,依题意有,
解得.
故早晨8:00以后,时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是8点分.
故选:C.
【点睛】
本题考查了钟面角,注意时针一小时转30°,一分钟转 ,一秒钟转;分针一小时转360°,一分钟转6°,一秒钟转,秒针一秒钟转6°.
考查题型三 角的度量和比较
9.若∠α=5.12°,则∠α用度、分、秒表示为( )
A.5°12′ B.5°7′12″ C.5°7′2″ D.5°10′2″
【答案】B
【分析】
利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解.
【详解】
解:∠α=5.12°=5°+0.12×60′=5°+7′+0.2×60″=5°7′12″.
故选:B.
【点睛】
此题主要考查了度分秒的换算,关键是掌握1°=60′,1′=60″.
10.如图,与之间的关系是( )
A. B. C. D.与的大小无法比较
【答案】B
【分析】
利用度量法测量各角,故可求解.
【详解】
用度量法测得∠1=24°,∠2=24°
∴.
故选B.
【点睛】
此题主要考查角度的大小比较,解题的关键是熟知量角器的使用.
11.下面等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】
根据进行换算即可
【详解】
,故本选项不符合题意;
,故本选项不符合题意;
,故本选项不符合题意;
,故本选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了度、分、秒的计算,角的度量单位度、分、秒之间是60进制,将高级单位化为低级单位时,乘以60,反之,将低级单位转化为高级单位时除以60.
12.若,,,则有( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
根据度分秒之间的换算,先把∠C的度数化成度、分、秒的形式,再根据角的大小比较的法则进行比较,即可得出答案.
【详解】
解:∵∠A=28°18′,∠B=28°15″,
∴∠A>∠B,
∵∠C=28.25°=28°15′,
∴∠A>∠C>∠B.
故选:C.
【点睛】
此题考查了角的大小比较,先把∠C的度数化成度、分、秒的形式,再进行比较是本题的关键.
13.杨老师到几何王国去散步,刚走到“角”的家门,就听到∠A、∠B、∠C在吵架,∠A说:“我是,我应该最大!”∠B说:“我是48.3°,我应该最大!”.∠C也不甘示弱:“我是48.15°,我应该和∠A一样大!”听到这里,杨老师对它们说:“别吵了,你们谁大谁小,由我来作评判!”,杨老师评判的结果是( )
A.∠A最大 B.∠B最大 C.∠C最大 D.∠A=∠C
【答案】B
【分析】
根据度、分、秒的换算1度=60分,即1°=60′,1分=60秒,即1′=60″.将48°15′,48.3°,48.15°的单位统一,再进行大小的比较.
【详解】
解:∵∠A=48°15′=48°+=48.25°,∠B=48.3°,∠C=48.15°,
∴∠B>∠A>∠C,即∠B最大.
故选:B.
【点睛】
本题考查了度分秒的单位转化,将三个角单位统一后再进行比较是解题关键.
考查题型四 角的运算
14.计算:72°22′+50°40′30″的结果是( )
A.122°62′30″ B.123°2′30″ C.122°2′30″ D.123°12′30″
【答案】B
【分析】
把原式化为,再满进1,即可得到答案.
【详解】
解:72°22′+50°40′30″
故选B
【点睛】
本题考查的是角度的四则运算,注意角度的单位与进位,掌握“满60进1”是解题的关键.
15.下列度分秒运算中,正确的是( )
A.48°39′+67°31′=115°10′
B.90°﹣70°39′=20°21′
C.21°17′×5=185°5′
D.180°÷7=25°43′(精确到分)
【答案】D
【分析】
逐项计算即可判定.
【详解】
解: ,故A选项错误;
,故B选项错误;
,故C选项错误;
,故D选项正确.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查度分秒的换算,掌握是解题的关键.
16.用一副三角板画角,不能画出的角的度数是( )度.
A.15 B.20 C.75 D.120
【答案】B
【分析】
根据一副三角板中的角有30°,45°,60°,90°,然后对应着4个选项再进行组合,看看可能画出的角的度数是多少即可.
【详解】
解:∵一副三角板中的角有30°,45°,60°,90°,
∴用一块三角板的45 °角和另一块三角板的30°角组合可画出15°、75°角;
用一块三角板的直角和和另一块三角板的30°角组合可画出135°角;
无论两块三角板怎么组合也不能画出20°角.
故选:B .
【点睛】
此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握,解答此题的关键是分清两块三角板的锐角度数的度数分别是多少,比较简单,属于基础题.
17.如图是一个时钟某一时刻的简易图,图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针(短针)位置,根据图中时针和分针(长针)位置,该时钟显示时间是( )
A.点 B.点 C.点 D.点
【答案】A
【分析】
先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置,即可确定此时的时间.
【详解】
解:由图知:时针转动了4小格,每一小格代表: ,
即时针转了24°,
∵分针每转动1°,时针转动 ,由此知:
分针转动: ,
由每一大格对应30°知: ,
即分针走了9大格,3个小格,从而确定12点位置:
由此确定此时是10点53分;
故答案为:A.
【点睛】
此题考查角度的计算,根据指针的位置确定12点是关键.
考查题型五 角平分线
18.如图,O为直线上一点,平分,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据角平分线的定义得到∠COD,从而得到∠BOD,再根据∠BOD=4∠DOE即可求出结果.
【详解】
解:∵OC平分∠AOD,
∴∠AOC=∠COD=50°,
∴∠BOD=180°-2×50°=80°,
∵∠BOD=4∠DOE,
∴∠DOE=∠BOD=20°,
故选A.
【点睛】
本题主要考查角的计算的知识点,运用好角的平分线这一知识点是解答的关键.
19.如图,,,平分,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据倍数关系求出∠AOC和∠BOC,根据角平分线的定义求出∠COM,加上∠AOC可得结果.
【详解】
解:∵∠AOB=120°,∠AOC=∠BOC,
∴∠AOC=∠AOB=30°,∠BOC=∠AOB=90°,
∵OM平分∠BOC,
∴∠BOM=∠COM=∠BOC=45°,
∴∠AOM=∠AOC+∠COM=75°,
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线定义,角的有关计算的应用,解此题的关键是求出∠AOC和∠COM的大小.
20.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.若∠BOD=42°,则∠EOD的度数为( )
A.96° B.94° C.104° D.106°
【答案】A
【分析】
根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=42°,由于OA平分∠COE,可得∠AOE的度数,再由平角的定义可求出∠EOD的度数.
【详解】
解:∵∠AOC=∠BOD,∠BOD=42°,
∴∠AOC=42°,
∵OA平分∠EOC,
∴∠AOE=∠AOC=42°,
∴∠EOD=180° (∠AOE+∠BOD)=180° (42°+42°)=96°.
故选:A.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质.解决本题的关键是熟记对顶角相等.
21.如图,∠AOB=90°,∠BOC=15°,OC平分∠AOD,则∠BOD的度数是( )
A.75° B.60° C.65° D.55°
【答案】B
【分析】
先求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠AOD,然后根据∠BOD=∠AOD﹣∠AOB代入数据进行计算即可得解.
【详解】
解:∵∠AOB=90°,∠BOC=15°,
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣15°=75°,
∵OC平分∠AOD,
∴∠AOD=2∠AOC=2×75°=150°,
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=150°﹣90°=60°,
故选:B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及角的计算,熟记概念并准确识图是解题的关键.
考查题型六 余角与补角
22.已知,则的余角的补角是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据余角和补角定义解答.
【详解】
解:的余角的补角是,
故选:A .
【点睛】
此题考查余角和补角的定义:和为90度的两个角互为余角,和为180度的两个角是互为补角.
23.一个角的补角比这个角的余角大( ).
A.70° B.80° C.90° D.100°
【答案】C
【分析】
根据互补即两角的和为180°,互余的两角和为90°,设这个角为x,即可求出答案.
【详解】
解:设这个角为x,则这个角的补角为180°-x,这个角的补角为90°-x,
根据题意得:180°-x-(90°-x)=90°,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了余角和补角的概念与性质.互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180°.
24.如图,点A,O,B在一条直线上,OE⊥AB, ∠1与∠2互余, 那么图中相等的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义、互为余角的两个角的和等于90°以及等角的余角相等解答即可.
【详解】
解:∵OE⊥AB,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠1+∠AOC=90°,∠2+∠BOD=90°,
∵∠1与∠2互余,
∴∠COD=∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠BOD,∠2=∠AOC,∠AOE=∠COD,∠BOE=∠COD,
∴图中相等的角有5对.
故选:D.
【点睛】
本题考查了垂直和互余的定义以及等角的余角相等的应用,是基础题,熟记概念并准确识图是解题的关键.
25.如果∠α和∠β互补,且∠α<∠β,则下列表示∠α的余角的式子中:①90°﹣∠α;②∠β﹣90°;③(∠α+∠β);④(∠β﹣∠α).其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【分析】
由和互补,可得,即:,,再用不同的形式表示的余角.
【详解】
解:和互补,
,
,
于是有:
的余角为:,故①正确,
的余角为:,故②正确,
的余角为:,故④正确,
而,而不一定是直角,因此③不正确,
因此正确的有①②④,
故选:.
【点睛】
本题考查互为余角、互为补角的意义,熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键.
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