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6.3 角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角的概念
1．下列角中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直线是一个平角 B．射线是周角
C．角的两边是直线 D．角的两边是射线
3．如图所示下列说法正确的是（ ）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角 D．和不是同一个角
4．下列各角中，是钝角的是（ ）．
A．周角 B．平角 C．平角 D．平角
考查题型二 钟面角
5．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
③钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．钟表上1时20分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
7．如图所示，钟表上9：30时，时针与分针之间所成的角是（ ）
A．60° B．90° C．105° D．120°
8．早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（ ）
A．8点分 B．8点25分 C．8点分 D．9点整
考查题型三 角的度量和比较
9．若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
10．如图，与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小无法比较
11．下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
13．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C
考查题型四 角的运算
14．计算：72°22′＋50°40′30″的结果是（ ）
A．122°62′30″ B．123°2′30″ C．122°2′30″ D．123°12′30″
15．下列度分秒运算中，正确的是（ ）
A．48°39′+67°31′＝115°10′
B．90°﹣70°39′＝20°21′
C．21°17′×5＝185°5′
D．180°÷7＝25°43′（精确到分）
16．用一副三角板画角，不能画出的角的度数是（ ）度．
A．15 B．20 C．75 D．120
17．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
考查题型五 角平分线
18．如图，O为直线上一点，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（ ）
A．96° B．94° C．104° D．106°
21．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
考查题型六 余角与补角
22．已知，则的余角的补角是（ ）
A． B． C． D．
23．一个角的补角比这个角的余角大（ ）．
A．70° B．80° C．90° D．100°
24．如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB， ∠1与∠2互余， 那么图中相等的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
25．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠β﹣∠α）．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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6.3 角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角的概念
1．下列角中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可
【详解】
根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，
A、B、D选项中，点为顶点的角存在多个，故不符合题意
故选C
【点睛】
本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“∠”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．
2．下列说法正确的是（ ）
A．直线是一个平角 B．射线是周角
C．角的两边是直线 D．角的两边是射线
【答案】D
【分析】
利用角的定义与直线特征可判断A，利用周角定义与射线特征可判断B，利用角的边可判断C、D即可．
【详解】
A. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形，直线上没有顶点，∴直线是一个平角不正确；
B. ∵周角是一条射线绕着端点旋转一周所形成的的图形，射线有端点，没有它扫过的部分即角的内部，∴射线是周角不正确；
C. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形，角的两边是直线不正确；
D. ∵角是有公共端点的两条射线组成的图形，角的两边是射线正确．
故选择D．
【点睛】
本题考查角的概念，直线、平角、周角、射线，掌握角的概念，平角、周角与直线、射线的区别是解题关键．
3．如图所示下列说法正确的是（ ）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角 D．和不是同一个角
【答案】B
【分析】
根据角的定义和表示方法逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：在A中：∠ADE不能用∠D表示，故此项不符合题意；
在B中：∠ABC与∠B表示同一个角，故此项符合题意；
在C中：∠ABC与∠ACB表示两个不同顶点的角，故此项不符合题意；
在D中：∠BAC与∠DAE表示以A为顶点的同一个角，故此项不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题考查了角的定义、角的表示方法.角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才能用顶点处的一个字母来记这个角.角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示.
4．下列各角中，是钝角的是（ ）．
A．周角 B．平角 C．平角 D．平角
【答案】B
【分析】
直接利用角的定义逐项分析即可得出答案．
【详解】
解：A. 周角= ，不是钝角，不合题意；
B. 平角=，是钝角，符合题意；
C. 平角=180°，不是钝角，不合题意；
D. 平角=，不是钝角，不合题意．
故选：B
【点睛】
此题主要考查了角的概念，正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键．
考查题型二 钟面角
5．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
③钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
分别算出时针和分针的夹角，逐一判断，即可解答．
【详解】
解：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是180°﹣30°÷4，不是平角，原说法错误；
②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，原说法正确；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是90+30°÷4，不是直角，原说法错误；
④钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，原说法正确．
∴正确的个数是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（ ）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
6．钟表上1时20分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】A
【分析】
钟表里，每一大格所对的圆心角是30°，每一小格所对的圆心角是6°，根据这个关系计算即可．
【详解】
解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上1时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20＝10°，分针在数字4上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴1时20分钟时分针与时针的夹角90°﹣10°＝80°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了钟表时针与分针的夹角，熟记钟面上每个时刻的角度是解题的关键．
7．如图所示，钟表上9：30时，时针与分针之间所成的角是（ ）
A．60° B．90° C．105° D．120°
【答案】C
【分析】
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【详解】
∵在9：30时，时针位于9与10中间，分针指到6上，中间夹3.5份，
∴时针与分针的夹角是30°×3.5＝105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，熟练掌握是关键．
8．早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（ ）
A．8点分 B．8点25分 C．8点分 D．9点整
【答案】C
【分析】
根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据秒针旋转的速度成秒针旋转的时间，可得秒针的旋转角，根据分针的旋转角减去秒针的旋转角，即可求出．
【详解】
解：设t分后时钟的分针和时针第一次垂直，依题意有，
解得．
故早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是8点分．
故选：C．
【点睛】
本题考查了钟面角，注意时针一小时转30°，一分钟转 ，一秒钟转；分针一小时转360°，一分钟转6°，一秒钟转，秒针一秒钟转6°．
考查题型三 角的度量和比较
9．若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
【答案】B
【分析】
利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【详解】
解：∠α=5.12°=5°+0.12×60′=5°+7′+0.2×60″=5°7′12″．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1°=60′，1′=60″．
10．如图，与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小无法比较
【答案】B
【分析】
利用度量法测量各角，故可求解．
【详解】
用度量法测得∠1=24°，∠2=24°
∴．
故选B．
【点睛】
此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用．
11．下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据进行换算即可
【详解】
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了度、分、秒的计算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
12．若，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A=28°18′，∠B=28°15″，
∴∠A＞∠B，
∵∠C=28.25°=28°15′，
∴∠A＞∠C＞∠B．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．
13．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C
【答案】B
【分析】
根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较．
【详解】
解：∵∠A＝48°15′＝48°+＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．
故选：B．
【点睛】
本题考查了度分秒的单位转化，将三个角单位统一后再进行比较是解题关键．
考查题型四 角的运算
14．计算：72°22′＋50°40′30″的结果是（ ）
A．122°62′30″ B．123°2′30″ C．122°2′30″ D．123°12′30″
【答案】B
【分析】
把原式化为，再满进1，即可得到答案.
【详解】
解：72°22′＋50°40′30″
故选B
【点睛】
本题考查的是角度的四则运算，注意角度的单位与进位，掌握“满60进1”是解题的关键.
15．下列度分秒运算中，正确的是（ ）
A．48°39′+67°31′＝115°10′
B．90°﹣70°39′＝20°21′
C．21°17′×5＝185°5′
D．180°÷7＝25°43′（精确到分）
【答案】D
【分析】
逐项计算即可判定．
【详解】
解： ，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查度分秒的换算，掌握是解题的关键．
16．用一副三角板画角，不能画出的角的度数是（ ）度．
A．15 B．20 C．75 D．120
【答案】B
【分析】
根据一副三角板中的角有30°，45°，60°，90°，然后对应着4个选项再进行组合，看看可能画出的角的度数是多少即可．
【详解】
解：∵一副三角板中的角有30°，45°，60°，90°，
∴用一块三角板的45 °角和另一块三角板的30°角组合可画出15°、75°角；
用一块三角板的直角和和另一块三角板的30°角组合可画出135°角；
无论两块三角板怎么组合也不能画出20°角．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，解答此题的关键是分清两块三角板的锐角度数的度数分别是多少，比较简单，属于基础题．
17．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】
先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】
解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：
分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点53分；
故答案为：A．
【点睛】
此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
考查题型五 角平分线
18．如图，O为直线上一点，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据角平分线的定义得到∠COD，从而得到∠BOD，再根据∠BOD=4∠DOE即可求出结果．
【详解】
解：∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD=50°，
∴∠BOD=180°-2×50°=80°，
∵∠BOD=4∠DOE，
∴∠DOE=∠BOD=20°，
故选A．
【点睛】
本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
19．如图，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据倍数关系求出∠AOC和∠BOC，根据角平分线的定义求出∠COM，加上∠AOC可得结果．
【详解】
解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠AOB=30°，∠BOC=∠AOB=90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠COM=∠BOC=45°，
∴∠AOM=∠AOC+∠COM=75°，
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠AOC和∠COM的大小．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（ ）
A．96° B．94° C．104° D．106°
【答案】A
【分析】
根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝42°，由于OA平分∠COE，可得∠AOE的度数，再由平角的定义可求出∠EOD的度数．
【详解】
解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠AOC＝42°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝42°，
∴∠EOD＝180° （∠AOE＋∠BOD）＝180° （42°＋42°）＝96°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．
21．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】B
【分析】
先求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠AOD，然后根据∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣15°＝75°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOC＝2×75°＝150°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．
考查题型六 余角与补角
22．已知，则的余角的补角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据余角和补角定义解答．
【详解】
解：的余角的补角是，
故选：A ．
【点睛】
此题考查余角和补角的定义：和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角是互为补角．
23．一个角的补角比这个角的余角大（ ）．
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】
根据互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为x，即可求出答案．
【详解】
解：设这个角为x，则这个角的补角为180°-x，这个角的补角为90°-x，
根据题意得：180°-x-（90°-x）=90°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角的概念与性质．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．
24．如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB， ∠1与∠2互余， 那么图中相等的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义、互为余角的两个角的和等于90°以及等角的余角相等解答即可．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，∠2+∠BOD＝90°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠COD＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠BOD，∠2＝∠AOC，∠AOE＝∠COD，∠BOE＝∠COD，
∴图中相等的角有5对．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂直和互余的定义以及等角的余角相等的应用，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
25．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠β﹣∠α）．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由和互补，可得，即：，，再用不同的形式表示的余角．
【详解】
解：和互补，
，
，
于是有：
的余角为：，故①正确，
的余角为：，故②正确，
的余角为：，故④正确，
而，而不一定是直角，因此③不正确，
因此正确的有①②④，
故选：．
【点睛】
本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键．
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