2021年初中数学浙教版七年级上册第六章图形的基本知识 能力阶梯训练——困难版
一、单选题
1．（2021七下·长兴开学考）如图，在线段AB上有C，D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
【答案】B
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得图中以A，B , C, D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是: AC+CD+ DB+ AD+CB+AB= ( AC+CD+ DB)+(AD+CB ) +AB= AB+AB+CD+ AB=3AB+CD
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1 ,
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为21.
故答案为：B
【分析】 根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD=1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
2．（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
3．（2020七上·江北月考）如图，数轴上点 所对应的数分别为 ，且都不为0，点 是线段 的中点，若 ，则原点 的位置（ ）
A．在线段 上 B．在线段 的延长线上
C．在线段 上 D．在线段 的延长线上
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；线段的中点
【解析】【解答】解：∵C为AB之中点，
∴b-c=c-a，即a+b=2c，
∴ ，
∴|a+b|-|b|+|a|=0，
∴|a+b|=|b|-|a|＞0，
∴a与b异号，并且|b|＞|a|，即b为正数，a为负数，点B离原点比点A离原点要远，
∴原点在点A与点C之间.
故答案为：A.
【分析】利用点C是线段AB的中点，可得到b-c=c-a，可推出a+b=2c，再结合数轴和已知条件可得到|a+b|=|b|-|a|＞0，就可推出点B离原点比点A离原点要远，由此可确定出原点的位置.
4．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
5．（2019七上·安陆期中）当式子|x+1|+|x﹣6|取得最小值时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜6 B．﹣1≤x≤6 C．x=﹣1或x=6 D．﹣1＜x≤6
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】当式子|x+1|+|x-6|取得最小值时，那么表示x的点在-1和6之间的线段上，
所以x的取值范围为-1≤x≤6.
故答案为：B.
【分析】|x+1|+|x-6|的最小值，意思是x到-1的距离与到6的距离之和最小，那么x应在-1和6之间的线段上.
6．（2019七下·红河期末）点A，B，C在同一直线上，已知AB=3cm，BC=1cm，则线段AC的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm
【答案】D
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：1）如图，当C在AB之内，AC=AB-BC=3-1=2cm；
2）如图，当C在AB之外，AC=AB+BC=3+1=4cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况求AC的长，当C在AB之内，AC等于AB和BC之差，当C在AB之外，AC等于AB和BC之和。
7．（2019·广西模拟）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有 （ ）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】两条直线两两相交最多有（条），三条直线直线两两相交最多有（条），四条直线直线两两相交最多有（条）， ……， 以此类推，n条直线两两相交最多有（条），∴六条直线两两相交最多有.
【分析】先从两条开始推出n条直线两两相交的一般规律，则n=6代入一般式即可。
8．关于长方体有下列三个结论：
① 长方体中每一个面都是长方形；② 长方体中每两个面都互相垂直；
③ 长方体中相对的两个面是全等的长方形．
其中结论正确的个数有（ ）
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
【答案】C
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】根据长方体的定义及特点结合各选项即可判断出正确答案．
【解答】①长方体中底面是正方形，是特殊的长方形，故正确；
②长方体的两个对面互相平行，故错误；
③长方体中相对的两个面是全等的长方形，故正确．
综上可得①③正确．
故选C．
【点评】本题考查立体图形的基本知识，属于基础题，注意掌握长方体的特点及一些常见立体图形的特点及形状．
二、作图题
9．（2020七上·延庆期末）如图
（1）如图1，平面上有3个点A，B，C．
①画直线AB；画射线BC；画线段AC；
②过点C作AB的垂线，垂足为点D；
③量出点C到直线AB的大约距离．
（2）尺规作图：
已知：线段a，b，如图2．
求作：一条线段MN，使它等于2a－b．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：①②如图所示：
③利用直尺可量出点C到直线AB的距离即为线段CD的长，约为2.3cm；
（2）解：先作一条射线MA，然后利用圆规量出线段a的长，以点M为圆心线段a的长为半径画弧，依次再画出一段a的长，最后交射线MA于点B，进而以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段MB于点N，则线段MN即为所求，如图所示：
∴MN=2a-b．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线，射线和线段的定义及垂线进行作图即可，再测量距离即可；
（2）尺规作图可得MN=2a-b。
三、综合题
10．（2021七下·香洲期末）小明同学在数学活动中，将一副三角板按如图1所示的方式放置，其中点B在线段EC上，点D在线段AC上，AB与DE相交于点F，∠C＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，当小明将三角板DCE绕点C转动到ED⊥AB时，求∠BCE的度数；
（3）小明思考：在转动三角板DCE的过程中，当0°＜∠BCE＜180°，且点E在直线BC的上方时，是否存在DE与三角板ABC的一条边互相平行？若存在，请你帮小明直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：如图1中，
， ，
，
，
．
（2）解：如图2中，设 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图 中，当 时， ．
如图 中，当 时， ，
．
如图 中，当 时，延长 交 于 ．
，
， ，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或 ．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）求出∠AFD的度数即可；
（2）求出的度数，由∠B的度数，即可得出∠BCE的度数；
（3）分三种情况：如图 中，当 时， ．如图 中，当 时， ，如图 中，当 时，延长 交 于 ．分别利用平行线的性质求解即可。
11．（2021七下·青羊开学考）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝ ∠AOB＝ ×110°＝55°，∠BOF＝ ∠COD＝ ×40°＝20°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°
（2）解：∠AOE﹣∠BOF的值是定值，
如图2由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝ ∠AOC＝ （110°+3t°），∠BOF＝ ∠BOD＝ （40°+3t°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝ （110°+3t°）﹣ （40°+3t°）＝35°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值.
【知识点】角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠AOE和∠BOF的度数；再代入计算求出∠AOE﹣∠BOF的值.
（2）利用旋转的性质可表示出∠BOC=3t°，再表示出∠AOC，∠BOD，利用角平分线的定义可表示出∠AOE，∠BOF，由此可求出∠AOE﹣∠BOF的值，即可证得结论.
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一、单选题
1．（2021七下·长兴开学考）如图，在线段AB上有C，D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm
2．（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
3．（2020七上·江北月考）如图，数轴上点 所对应的数分别为 ，且都不为0，点 是线段 的中点，若 ，则原点 的位置（ ）
A．在线段 上 B．在线段 的延长线上
C．在线段 上 D．在线段 的延长线上
4．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
5．（2019七上·安陆期中）当式子|x+1|+|x﹣6|取得最小值时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜6 B．﹣1≤x≤6 C．x=﹣1或x=6 D．﹣1＜x≤6
6．（2019七下·红河期末）点A，B，C在同一直线上，已知AB=3cm，BC=1cm，则线段AC的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm
7．（2019·广西模拟）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有 （ ）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
8．关于长方体有下列三个结论：
① 长方体中每一个面都是长方形；② 长方体中每两个面都互相垂直；
③ 长方体中相对的两个面是全等的长方形．
其中结论正确的个数有（ ）
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
二、作图题
9．（2020七上·延庆期末）如图
（1）如图1，平面上有3个点A，B，C．
①画直线AB；画射线BC；画线段AC；
②过点C作AB的垂线，垂足为点D；
③量出点C到直线AB的大约距离．
（2）尺规作图：
已知：线段a，b，如图2．
求作：一条线段MN，使它等于2a－b．（不写作法，保留作图痕迹）
三、综合题
10．（2021七下·香洲期末）小明同学在数学活动中，将一副三角板按如图1所示的方式放置，其中点B在线段EC上，点D在线段AC上，AB与DE相交于点F，∠C＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，当小明将三角板DCE绕点C转动到ED⊥AB时，求∠BCE的度数；
（3）小明思考：在转动三角板DCE的过程中，当0°＜∠BCE＜180°，且点E在直线BC的上方时，是否存在DE与三角板ABC的一条边互相平行？若存在，请你帮小明直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由
11．（2021七下·青羊开学考）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得图中以A，B , C, D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是: AC+CD+ DB+ AD+CB+AB= ( AC+CD+ DB)+(AD+CB ) +AB= AB+AB+CD+ AB=3AB+CD
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1 ,
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为21.
故答案为：B
【分析】 根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD=1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
2．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；线段的中点
【解析】【解答】解：∵C为AB之中点，
∴b-c=c-a，即a+b=2c，
∴ ，
∴|a+b|-|b|+|a|=0，
∴|a+b|=|b|-|a|＞0，
∴a与b异号，并且|b|＞|a|，即b为正数，a为负数，点B离原点比点A离原点要远，
∴原点在点A与点C之间.
故答案为：A.
【分析】利用点C是线段AB的中点，可得到b-c=c-a，可推出a+b=2c，再结合数轴和已知条件可得到|a+b|=|b|-|a|＞0，就可推出点B离原点比点A离原点要远，由此可确定出原点的位置.
4．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
5．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】当式子|x+1|+|x-6|取得最小值时，那么表示x的点在-1和6之间的线段上，
所以x的取值范围为-1≤x≤6.
故答案为：B.
【分析】|x+1|+|x-6|的最小值，意思是x到-1的距离与到6的距离之和最小，那么x应在-1和6之间的线段上.
6．【答案】D
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：1）如图，当C在AB之内，AC=AB-BC=3-1=2cm；
2）如图，当C在AB之外，AC=AB+BC=3+1=4cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况求AC的长，当C在AB之内，AC等于AB和BC之差，当C在AB之外，AC等于AB和BC之和。
7．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】两条直线两两相交最多有（条），三条直线直线两两相交最多有（条），四条直线直线两两相交最多有（条）， ……， 以此类推，n条直线两两相交最多有（条），∴六条直线两两相交最多有.
【分析】先从两条开始推出n条直线两两相交的一般规律，则n=6代入一般式即可。
8．【答案】C
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】根据长方体的定义及特点结合各选项即可判断出正确答案．
【解答】①长方体中底面是正方形，是特殊的长方形，故正确；
②长方体的两个对面互相平行，故错误；
③长方体中相对的两个面是全等的长方形，故正确．
综上可得①③正确．
故选C．
【点评】本题考查立体图形的基本知识，属于基础题，注意掌握长方体的特点及一些常见立体图形的特点及形状．
9．【答案】（1）解：①②如图所示：
③利用直尺可量出点C到直线AB的距离即为线段CD的长，约为2.3cm；
（2）解：先作一条射线MA，然后利用圆规量出线段a的长，以点M为圆心线段a的长为半径画弧，依次再画出一段a的长，最后交射线MA于点B，进而以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段MB于点N，则线段MN即为所求，如图所示：
∴MN=2a-b．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据直线，射线和线段的定义及垂线进行作图即可，再测量距离即可；
（2）尺规作图可得MN=2a-b。
10．【答案】（1）解：如图1中，
， ，
，
，
．
（2）解：如图2中，设 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图 中，当 时， ．
如图 中，当 时， ，
．
如图 中，当 时，延长 交 于 ．
，
， ，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或 ．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）求出∠AFD的度数即可；
（2）求出的度数，由∠B的度数，即可得出∠BCE的度数；
（3）分三种情况：如图 中，当 时， ．如图 中，当 时， ，如图 中，当 时，延长 交 于 ．分别利用平行线的性质求解即可。
11．【答案】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝ ∠AOB＝ ×110°＝55°，∠BOF＝ ∠COD＝ ×40°＝20°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°
（2）解：∠AOE﹣∠BOF的值是定值，
如图2由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝ ∠AOC＝ （110°+3t°），∠BOF＝ ∠BOD＝ （40°+3t°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝ （110°+3t°）﹣ （40°+3t°）＝35°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值.
【知识点】角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠AOE和∠BOF的度数；再代入计算求出∠AOE﹣∠BOF的值.
（2）利用旋转的性质可表示出∠BOC=3t°，再表示出∠AOC，∠BOD，利用角平分线的定义可表示出∠AOE，∠BOF，由此可求出∠AOE﹣∠BOF的值，即可证得结论.
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