浙教版数学九年级上册 3.3 垂径定理课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
结论
垂径定理的逆命题是什么？
想一想
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两条弧.
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
②CD⊥AB,
探索规律
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
●O
上图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
C
D
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
（不是直径）
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:
规律
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理
.
O
A
E
B
D
C
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE,
∴CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
（垂径定理）
∴AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
请同学们独立证明定理2
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
×
√
×
×
√
辨一辨
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。



A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。



A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
例 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
A
B
O
C
D
AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.
R
解：
∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高.
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
∵C是AB的中点,
⌒
练一练
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
A
O
N
M
F
E
D
C
B
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
M
3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）

.
A
O
B
E
C
D
F
4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.
G
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
●O
A
B
C
D
（1）两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
（2）两条弦在圆心的异侧
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等
E
F
E
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？