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2021-2022学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》易错题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一，选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）以下列数据（单位：）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1，，2， D．1，，4，
【答案】B
【分析】
根据线段成比例可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、1×4≠2×3，故不符合题意；
B、3×18=6×9，所以成比例，故符合题意；
C、，所以不成比例，故不符合题意；
D、，所以不成比例，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键．
2．(本题3分)（2021·浙江杭州·一模）如图，直线，直线AC交于点A，B，C，直线DF交于点D，E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例即可求解
【详解】
故选D
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的知识，理解平行线分线段成比例是解题的关键．
3．(本题3分)（2018·浙江慈溪·九年级期末）如图，在中，，分别是边，上的点，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由DE∥BC，BD=2AD，可得△ADE∽△ABC，根据平行线分线段成比例定理，相似三角形性质即可得出结论.
【详解】
解：∵DE∥BC，BD=2AD，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ， ，
∴A、C、D正确，B错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
4．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，且位似中心为O，则的值是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．1：3
【答案】D
【分析】
根据位似图形的性质即可求解．
【详解】
解：∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
5．(本题3分)（2021·浙江余姚·九年级期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为．则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】B
【分析】
直接根据相似多边形的性质列式求解即可．
【详解】
解：如图，
∵矩形ABCD中，
∴
又∵矩形中，，，
∴
又∵矩形ABCD∽矩形
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答此题的关键．
6．(本题3分)（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】
根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【详解】
解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在AD上，若将△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形对角线AC上，则AA′的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在中，由勾股定理求得AC，根据折叠可得到BP是的垂直平分线，从而得到，，而由矩形ABCD可知，从而可以得到，以及，进而可证得，由相似的性质求得线段长度.
【详解】
解：由题意知， ，，，
∴，
∴ ，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，，
故答案选：C.
【点睛】
本题考查垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，比较综合.
8．(本题3分)（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD连结AG并延长交BC于点M．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长BE交AD于N点，设AG交BE于R点，由题目条件可设AE=a，则BE=3a，利用相似三角形的判定与性质分别表示CM与BM的长度即可得出结论．
【详解】
解：如图，延长BE交AD于N点，设AG交BE于R点，
∵＝，
∴设AE=a，则BE=3a，
∵由题，四个直角三角形全等，
∴AE=BF=DH=a，BE=DG=AH=3a，
∴FG=EF=2a，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=a，
∵EA∥FG，
∴△AER∽△GFR，
∴，
∴ER=EF=a，FR=EF=a，
∵BN∥DG，
∴△AEN∽△AHD，
∴，
∴NE=a，
∴BN=BE+NE=a，
∴AN==a，
∵AN∥BM，
∴△ANR∽△MBR，
∴，
∴BM=AN=a，
∴CM=BC-BM=AB-BM=a，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
9．(本题3分)（2018·浙江义乌·九年级月考）如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】
解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
10．(本题3分)（2021·浙江金华·九年级期中）如图，的边在轴上，边交轴于点，，反比例函数过点，且交线段于，，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】
过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，求出C点坐标，再根据相似三角形的性质分别求出D点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CNAE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数上
∴C（2a，）
∴CE=NO=
∵CEDF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF=，
∵D点在函数上
∴D点坐标为（8a，）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故选C．
【点睛】
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式及反比例函数的坐标特点．
二，填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·九年级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝_________．
【答案】
【分析】
根据黄金分割点的定义解答．
【详解】
由题意知：，
∵ AB＝2，
∴ AC＝．
【点睛】
本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．
12．(本题3分)（2021·浙江·杭州市惠兴中学九年级期中）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝________________．
【答案】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理解决问题．
13．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
【答案】3
【分析】
过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
【详解】
解：过E作EG∥BC，交AC于G，
∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，
∴DG=CG，，
∴EG=6，
又∵AD：DC=1：2，
∴AG：AC=2：3，
∵EG∥BC，
∴，
∴FC=9，
∵BC=12，
∴BF=BC-FC=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
14．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．
【答案】
【分析】
根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．
【详解】
解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心
∴M点坐标为
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
15．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级月考）如图，正方形中，为上一点，于点，已知，过、、的与边交于点，则________．
【答案】
【分析】
连接CF、GF，由△AFD∽△EAD可得正方形边长，再由△AFG∽△DFC即可得到答案．
【详解】
解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD=∠ADC=90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF=5EF=5，
∴，
在Rt△AFD中，，
∵∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的性质及应用，涉及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键是证明△AFG∽△DFC．
16．(本题3分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，，，分别是，的中点，函数的图象过点，若，则的值为 __．
【答案】3
【分析】
作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得△AOD的面积为6，然后通过证得△POE∽△AOD，由相似三角形的性质即可求得S△POE＝S△AOD＝，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝3．
【详解】
解：作轴于，轴于，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
函数的图象过点，
，
，
，
，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
17．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是_____．
【答案】-1
【分析】
连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，1为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去1，计算即可．
【详解】
解：连接AG并延长，交BC于点F，
∵△ABC的重心为G，
∴F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOF=60°，
∴∠OBF=30°，
∴OF=OB=，
∵△ABC的重心为G，
∴点G在△ABC的中线AF上，且AG=2FG，
∴AG=AF，
在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，
∵，∠FAO=∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴，
∴GE=1．
∴G在以E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴E（1，0），
∴DE==，
∴DG的最小值是-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三，解答题（本大题共6小题，共49分.）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
18．(本题6分)（2019·浙江·九年级单元测试）已知， 求的值．
【答案】.
【解析】
【分析】
设比值为，然后用表示出、、，再把、、的值代入代数式进行计算即可得到答案．
【详解】
设，∴，
∴
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出、、是解题的关键．
19．(本题7分)（2018·浙江慈溪·九年级期末）如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC；
（2）在Rt△DCE中，利用勾股定理可求出DE的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长, 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】
（1）证明：∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：在中，，，
∴，，
∵为斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：（1）证明见解析；（2） .
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据等腰三角形的性质结合平行线的性质，找出∠CDE=∠ACD=∠A；（2）利用直角三角形斜边上的中线，求出AB的长．
20．(本题8分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据网格的特点，可知，进而根据△ACO∽△BOD，即可求得,
（2）在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求．
【详解】
解（1）由题意：
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BOD，
∴AO∶BO＝AC∶BD，
，
即AO∶BO＝3∶4＝
（2）如图，在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求，连接,
，
，
，
设到的距离为，
．
【点睛】
本题考查了网格作图，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(本题8分)（2021·浙江拱墅·二模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）根据△ADE∽△ACB，得到∠ADE＝∠ACB，AF为∠BAC的角平分线，可得∠DAG＝∠FAC，即可得证；
（2）根据ADE∽△ACB，得到＝＝，在△ADG∽△ACF时，AG：AF＝AD：AC＝2：3，即可求解．
【详解】
解：（1）∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAG＝∠FAC，
∴△ADG∽△ACF；
（2）△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∵△ADG∽△ACF，
∴AG：AF＝AD：AC＝2：3，
设AG为2x，则AF＝3x，
∴GF＝x，
∴＝＝2．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(本题8分)（2021·浙江浙江·九年级月考）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？
【答案】（1）见解析；（2）正方形零件的边长为48mm；（3）当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．
【分析】
（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（3）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】
解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）△ABC中BC边上的高AD与EF相交于点K，
设EG=EF=x，
∵△AEF∽△ABC，
AD与AK是对应边上的高，
∴，
∴，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm；
（3）△ABC中BC边上的高AD与EF相交于点K，
设EG=a，
∵矩形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
AD与AK是对应边上的高，
∴，
∴，
∴EF=120-a，
∴矩形面积S=a（120-a）=-a2+120a=-（a-40）2+2400，
当a=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，
即：当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AEF∽△ABC．
23．(本题12分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）的半径为，圆心的坐标为；（3）存在，或．
【分析】
（1）由顶点坐标公式直接求出的值，再令、即可求得点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点即可求得的半径和圆心的坐标；
（3）先算出，再求出直线的函数解析式，设出点的坐标，表示出，分两种情况：①和②，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，解得，
则抛物线的解析式为，
令，则，解得或，
令，则，
故；
（2）如图1，连接，
，
中点的坐标为，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设，且，
，
解得，
，
，
故的半径为，圆心的坐标为；
（3）由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与相似，则或，此时，
，
①当时，
则，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、三角形的外心、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是处理相似三角形存在性问题注意分类讨论．
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注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一，选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．(本题3分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）以下列数据（单位：）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1，，2， D．1，，4，
2．(本题3分)（2021·浙江杭州·一模）如图，直线，直线AC交于点A，B，C，直线DF交于点D，E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．(本题3分)（2018·浙江慈溪·九年级期末）如图，在中，，分别是边，上的点，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C．D．
4．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，且位似中心为O，则的值是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．1：3
5．(本题3分)（2021·浙江余姚·九年级期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为．则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A． B． C．， D．，
6．(本题3分)（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
7．(本题3分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在AD上，若将△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形对角线AC上，则AA′的长为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD连结AG并延长交BC于点M．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)（2018·浙江义乌·九年级月考）如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)（2021·浙江金华·九年级期中）如图，的边在轴上，边交轴于点，，反比例函数过点，且交线段于，，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
二，填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·九年级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝_________．
12．(本题3分)（2021·浙江·杭州市惠兴中学九年级期中）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝________________．
13．(本题3分)（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
14．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．
15．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级月考）如图，正方形中，为上一点，于点，已知，过、、的与边交于点，则________．
16．(本题3分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，，，分别是，的中点，函数的图象过点，若，则的值为 __．
17．(本题3分)（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是_____．
三，解答题（本大题共6小题，共49分.）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
18．(本题6分)（2019·浙江·九年级单元测试）已知， 求的值．
19．(本题7分)（2018·浙江慈溪·九年级期末）如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的面积.
20．(本题8分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
21．(本题8分)（2021·浙江拱墅·二模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求的值．
22．(本题8分)（2021·浙江浙江·九年级月考）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？
23．(本题12分)（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
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