浙教版数学九年级上册 4.5 相似三角形的性质及其应用教案

相似三角形的性质及其应用
【教学目标】
1．能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2．进一步检验数学的应用价值。
【教学重难点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
【教学过程】
一、复习提问
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1．相似三角形对应角相等。
∵△A′B′C′∽△ABC
∴∠A= ∠A′ ， ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′
2．相似三角形对应边成比例。
∵△ABC∽△ABC
∴＝＝
3．相似三角形的周长之比等于相似比；
4．相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5．相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比。
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、例题讲解
1．校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？
2．如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字）
三、练一练
1．课内练习
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
2．反馈练习
（1）某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，则树高4米。
（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，
长臂OB=10米，短臂端下降
AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
思考题：
1．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB．而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而
求出AB的长度。
解：∵ OA：OC＝OB：OD＝n 且∠AOB＝∠COD
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n
又∵CD＝b
∴AB=CD·n ＝nb
∴x＝＝
2．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB．AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。
设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以＝
因此＝得 x=48（毫米）。
答：这个正方形零件的边长是48毫米。
四、课堂小结
1．相似三角形的应用主要有如下两个方面
（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)
2．测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。
3．测距的方法
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。
4．解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
【作业布置】
1．见作业本
2．书本作业题
3．课外活动
设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动。每组测量的目标、内容和方法均可以自选。在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流。
A
B
C
O
P
Q
准星
A
B
E
A
B
O
C
D
F
A
O
D
B
C
O
4 / 4