2021-2022学年浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-13 08:21:36 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习
一．选择题
1．（2020 江城区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋 东昌府区期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
3．（2020秋 锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020秋 文登区期末）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5m B．5m C． D．10m
5．（2021 鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）
A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
6．（2021 皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10km C．10km D．km
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
9．（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2021 章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（ ）
A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
二．填空题
11．（2020秋 潍城区期中）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝5，则△ABC的面积是 ．
12．（2021秋 道里区校级月考）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为 ．
13．（2020秋 江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是 ．
14．（2021 黄石模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
15．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100m，则河宽AB为 m（≈1.73，结果保留整数）．
16．（2021 崇川区二模）在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 ．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB：BC＝2：5，且S△ABC＝，求tanC的值．
18．（2020秋 鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
19．（2021 内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
20．（2021 巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
21．（2021 浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
22．（2020 绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
答案与解析
一．选择题
1．（2020 江城区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由图可知：BC＝4，AB＝3，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，tanA＝＝．
故选：A．
2．（2021秋 东昌府区期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
【解析】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，
∴DF＝AE，
∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，
∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），
∵背水坡CD的坡度i＝1：，
∴tanC＝i＝＝＝，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），
故选：A．
3．（2020秋 锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点P作PE⊥x轴于E．
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠POE＝＝，
∴OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴cosα＝＝．
故选：B．
4．（2020秋 文登区期末）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5m B．5m C． D．10m
【解析】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，
∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．
故选：C．
5．（2021 鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）
A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
【解析】解：由题意可知，AB＝5米，∠DAB＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°，
∵tan∠DBC＝tan53°＝，
∴，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝5+x，
在Rt△ACD中，
tan53°＝，
解得x＝8.6，
∴CD＝8.6（米），
故选：C．
6．（2021 皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10km C．10km D．km
【解析】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20×＝10（km）．
∴A，C两景点相距10km．
故选：B．
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵S△ABC＝AB CD＝BC AE，
∴AE＝＝＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
方法2：由已知可得，AC＝＝，
∵AB＝BC＝5，
∴∠C＝∠A，
∴cos∠ACB＝cos∠A＝＝，
故选：B．
8．（2020秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
【解析】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
9．（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
10．（2021 章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（ ）
A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
【解析】解：如图，过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,
∵OA⊥AB,OD∥AB,
∴OA⊥OD,
∴∠AOD＝90°,
∵∠AOE＝121°，∠AOF＝156°，
∴∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,
∵点E到AB的距离是1.7米，OA＝1米,
∴EG＝1.7﹣1＝0.7(米），
在Rt△OEG中，
∵EG＝OE×sin∠EOG,
∴OE＝≈＝1.4(米），
∵OE＝OF,
在Rt△OFH中，
∵FH＝OF×sin∠FOH＝1.4×sin66°≈1.4×0.9＝1.26(米），
∴FH+OA＝1.26+1＝2.26≈2.3(米）．
∴点F到AB的距离是2.3米．
故选：B．
二．填空题
11．（2020秋 潍城区期中）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝5，则△ABC的面积是 14 ．
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，cosB＝，AB＝5，
∴BH＝AB cosB＝5×＝3，
∴AH＝＝4．
在Rt△ACH中，sinC＝，
∴∠C＝45°，
∴CH＝AH＝4，
∴BC＝BH+CH＝3+4＝7，
∴S△ABC＝ BC AH＝×7×4＝14，
故答案为：14．
12．（2021秋 道里区校级月考）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为 ．
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，AB＝3，
∴AH＝HB＝AB sin∠B＝3×＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5．
在Rt△AHC中，∵∠AHC＝90°，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
13．（2020秋 江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是 （，6） ．
【解析】解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．
14．（2021 黄石模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【解析】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
15．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100m，则河宽AB为 87 m（≈1.73，结果保留整数）．
【解析】解：如图所示：
∵在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴DC＝AD＝100m，
故sin60°＝＝＝，
解得：AB＝50≈87（m），
故答案为：87．
16．（2021 崇川区二模）在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 9 ．
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
由勾股定理得AB＝13x，
∵AB＝13，
∴x＝1，
∴AD＝12，BD＝5，
∴CD＝，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9，
故答案为：9．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB：BC＝2：5，且S△ABC＝，求tanC的值．
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB，AD＝BD，
设BD＝x，则AB＝2x，AD＝x，
∵AB：BC＝2：5，
∴BC＝AB＝5x，
∴CD＝BC﹣BD＝4x，
∵S△ABC＝BC×AD＝，
∴×5x×x＝10，
解得：x＝2（负值已舍去），
∴AD＝，CD＝8，
∴tanC＝＝＝．
18．（2020秋 鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
【解析】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM tan∠CMD＝x tan37°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝50+x tan37°，
∴50+x tan37°＝x，
∴x＝≈＝200，
答：轮船M到海岸线l的距离约为200米；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F，
在Rt△DMF中，DF＝DM tan∠FMD＝DM tan22°
≈200×0.40＝80（米），
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈200+80＝280＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
19．（2021 内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
【解析】解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF＝AB，
∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB＝2，
∴CF＝2，
设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝x（米），
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，
∴EC＝（x+2）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．
解得：x＝4+1，
则CD＝4+1+2＝（4+3）米．
答：CD的高度是（4+3）米．
20．（2021 巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【解析】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．
21．（2021 浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
22．（2020 绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，
∵△AEF是等边三角形，
∴AK＝（m），
∴FK＝＝（m），
∴FM＝2FK＝（m），
∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），
答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；
（2）∵∠AFE＝74°，
∴∠AFK＝37°，
∴KF＝AF cos37°≈0.80（m），
∴FM＝2FK＝1.60（m），
∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），
6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习
一．选择题
1．（2020 江城区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋 东昌府区期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
3．（2020秋 锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020秋 文登区期末）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5m B．5m C． D．10m
5．（2021 鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）
A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
6．（2021 皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10km C．10km D．km
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
9．（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2021 章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（ ）
A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
二．填空题
11．（2020秋 潍城区期中）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝5，则△ABC的面积是 ．
12．（2021秋 道里区校级月考）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为 ．
13．（2020秋 江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是 ．
14．（2021 黄石模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
15．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100m，则河宽AB为 m（≈1.73，结果保留整数）．
16．（2021 崇川区二模）在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 ．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB：BC＝2：5，且S△ABC＝，求tanC的值．
18．（2020秋 鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
19．（2021 内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
20．（2021 巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
21．（2021 浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
22．（2020 绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
答案与解析
一．选择题
1．（2020 江城区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由图可知：BC＝4，AB＝3，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，tanA＝＝．
故选：A．
2．（2021秋 东昌府区期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
【解析】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，
∴DF＝AE，
∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，
∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），
∵背水坡CD的坡度i＝1：，
∴tanC＝i＝＝＝，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），
故选：A．
3．（2020秋 锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：过点P作PE⊥x轴于E．
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠POE＝＝，
∴OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴cosα＝＝．
故选：B．
4．（2020秋 文登区期末）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5m B．5m C． D．10m
【解析】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，
∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．
故选：C．
5．（2021 鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）
A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
【解析】解：由题意可知，AB＝5米，∠DAB＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°，
∵tan∠DBC＝tan53°＝，
∴，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝5+x，
在Rt△ACD中，
tan53°＝，
解得x＝8.6，
∴CD＝8.6（米），
故选：C．
6．（2021 皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10km C．10km D．km
【解析】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20×＝10（km）．
∴A，C两景点相距10km．
故选：B．
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵S△ABC＝AB CD＝BC AE，
∴AE＝＝＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
方法2：由已知可得，AC＝＝，
∵AB＝BC＝5，
∴∠C＝∠A，
∴cos∠ACB＝cos∠A＝＝，
故选：B．
8．（2020秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
【解析】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
9．（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
10．（2021 章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（ ）
A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
【解析】解：如图，过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,
∵OA⊥AB,OD∥AB,
∴OA⊥OD,
∴∠AOD＝90°,
∵∠AOE＝121°，∠AOF＝156°，
∴∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,
∵点E到AB的距离是1.7米，OA＝1米,
∴EG＝1.7﹣1＝0.7(米），
在Rt△OEG中，
∵EG＝OE×sin∠EOG,
∴OE＝≈＝1.4(米），
∵OE＝OF,
在Rt△OFH中，
∵FH＝OF×sin∠FOH＝1.4×sin66°≈1.4×0.9＝1.26(米），
∴FH+OA＝1.26+1＝2.26≈2.3(米）．
∴点F到AB的距离是2.3米．
故选：B．
二．填空题
11．（2020秋 潍城区期中）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝5，则△ABC的面积是 14 ．
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，cosB＝，AB＝5，
∴BH＝AB cosB＝5×＝3，
∴AH＝＝4．
在Rt△ACH中，sinC＝，
∴∠C＝45°，
∴CH＝AH＝4，
∴BC＝BH+CH＝3+4＝7，
∴S△ABC＝ BC AH＝×7×4＝14，
故答案为：14．
12．（2021秋 道里区校级月考）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为 ．
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，AB＝3，
∴AH＝HB＝AB sin∠B＝3×＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5．
在Rt△AHC中，∵∠AHC＝90°，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
13．（2020秋 江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是 （，6） ．
【解析】解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．
14．（2021 黄石模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【解析】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
15．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100m，则河宽AB为 87 m（≈1.73，结果保留整数）．
【解析】解：如图所示：
∵在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴DC＝AD＝100m，
故sin60°＝＝＝，
解得：AB＝50≈87（m），
故答案为：87．
16．（2021 崇川区二模）在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 9 ．
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
由勾股定理得AB＝13x，
∵AB＝13，
∴x＝1，
∴AD＝12，BD＝5，
∴CD＝，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9，
故答案为：9．
三．解答题
17．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB：BC＝2：5，且S△ABC＝，求tanC的值．
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB，AD＝BD，
设BD＝x，则AB＝2x，AD＝x，
∵AB：BC＝2：5，
∴BC＝AB＝5x，
∴CD＝BC﹣BD＝4x，
∵S△ABC＝BC×AD＝，
∴×5x×x＝10，
解得：x＝2（负值已舍去），
∴AD＝，CD＝8，
∴tanC＝＝＝．
18．（2020秋 鄞州区期末）如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行，那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，tan37°＝0.75，sin22°＝0.37，tan22°＝0.40）
【解析】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM tan∠CMD＝x tan37°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝50+x tan37°，
∴50+x tan37°＝x，
∴x＝≈＝200，
答：轮船M到海岸线l的距离约为200米；
（2）作∠DMF＝22°，交l于点F，
在Rt△DMF中，DF＝DM tan∠FMD＝DM tan22°
≈200×0.40＝80（米），
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈200+80＝280＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
19．（2021 内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
【解析】解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF＝AB，
∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB＝2，
∴CF＝2，
设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝x（米），
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，
∴EC＝（x+2）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．
解得：x＝4+1，
则CD＝4+1+2＝（4+3）米．
答：CD的高度是（4+3）米．
20．（2021 巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【解析】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．
21．（2021 浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
22．（2020 绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解析】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，
∵△AEF是等边三角形，
∴AK＝（m），
∴FK＝＝（m），
∴FM＝2FK＝（m），
∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），
答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；
（2）∵∠AFE＝74°，
∴∠AFK＝37°，
∴KF＝AF cos37°≈0.80（m），
∴FM＝2FK＝1.60（m），
∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），
6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)