2021-2022学年浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习(含解析)

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名称 2021-2022学年浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2021-12-13 08:21:36

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浙教版九年级下 1.3解直角三角形同步练习
一.选择题
1.(2020 江城区一模)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=(  )
A. B. C. D.
2.(2021秋 东昌府区期中)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=10米,背水坡CD的坡度i=1:,则背水坡的坡长CD为(  )米.
A.20 B.20 C.10 D.20
3.(2020秋 锦江区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(a,3)且OP与x轴的夹角α的正切值是,则cosα的值为(  )
A. B. C. D.
4.(2020秋 文登区期末)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为5m,若在坡比为i=1:2.5的山坡种树,也要求株距为5m,那么相邻两棵树间的坡面距离为(  )
A.2.5m B.5m C. D.10m
5.(2021 鄞州区模拟)如图,小明家附近有一观光塔CD,他发现当光线角度发生变化时,观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现,当小明站在点A处时,塔顶D的仰角为37°,他继续往前再走5米到达点B(点A,B,C在同一直线上),此时塔顶D的仰角为53°,则观光塔CD的高度约为(  )(精确到0.1米,参考数值:tan37°≈,tan53°≈)
A.7.6米 B.7.8米 C.8.6米 D.8.8米
6.(2021 皇姑区一模)如图,一条东西向的大道上,A,B两景点相距20km,C景点位于A景点北偏东60°方向上,位于B景点北偏西30°方向上,则A,C两景点相距(  )
A.10km B.10km C.10km D.km
7.(2020秋 永嘉县校级期末)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ACB等于(  )
A. B. C. D.
8.(2020秋 长丰县期末)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=6,AB=4,则BC的长是(  )
A.6 B.2 C.2 D.9
9.(2021 宜宾)如图,在△ABC中,点O是角平分线AD、BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是(  )
A. B.2 C. D.
10.(2021 章丘区模拟)如图1,某小区入口处安装“曲臂杆”,OA⊥AB,OA=1米,点O是臂杆转动的支点,点C是曲臂杆两段的连接点,曲臂杆CD部分始终与AB平行.如图2,曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线,当曲臂杆升高到OE时,∠AOE=121°,点E到AB的距离是1.7米,当曲臂杆升高到OF时,∠AOF=156°,则点F到AB的距离是(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.5,sin66°≈0.9)(  )
A.2.0米 B.2.3米 C.2.4米 D.2.6米
二.填空题
11.(2020秋 潍城区期中)如图,△ABC中,cosB=,sinC=,AB=5,则△ABC的面积是   .
12.(2021秋 道里区校级月考)已知△ABC中,∠B=45°,AB=3,BC=8,求AC的长为    .
13.(2020秋 江阴市期末)如图,四边形OABC中,OA在x轴的正半轴上,∠C=∠OAB=90°,AB=3,BC=5,cos∠AOC=,则点C的坐标是   .
14.(2021 黄石模拟)如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为   米(结果精确到0.1,参考数据:=1.41,=1.73)
15.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,又CD=100m,则河宽AB为   m(≈1.73,结果保留整数).
16.(2021 崇川区二模)在△ABC中,∠ACB<90°,AB=13,AC=4,tan∠ABC=,则BC的长为    .
三.解答题
17.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AB:BC=2:5,且S△ABC=,求tanC的值.
18.(2020秋 鄞州区期末)如图,在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB,在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上;同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上.
(1)求轮船M到海岸线l的距离;(结果保留整数米)
(2)如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行,那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸?请说明理由.(参考数据:sin37°=0.60,tan37°=0.75,sin22°=0.37,tan22°=0.40)
19.(2021 内江)在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示,测得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为8米,在B处测得树CD顶部D的仰角为30°,在E处测得树CD顶部D的仰角为60°,求树高CD.(结果保留根号)
20.(2021 巴中)学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A、B、C、D在同一平面上.(结果精确到0.1m.参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51,≈1.73.)
(1)求灯杆AB的高度;
(2)求CD的长度.
21.(2021 浦东新区三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D在边BC上,且BD=3CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE.
(1)求线段AE的长;
(2)求∠ACE的余切值.
22.(2020 绍兴)如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块E,H可分别沿等长的立柱AB,DC上下移动,AF=EF=FG=1m.
(1)若移动滑块使AE=EF,求∠AFE的度数和棚宽BC的长.
(2)当∠AFE由60°变为74°时,问棚宽BC是增加还是减少?增加或减少了多少?
(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
答案与解析
一.选择题
1.(2020 江城区一模)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=(  )
A. B. C. D.
【解析】解:由图可知:BC=4,AB=3,∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,tanA==.
故选:A.
2.(2021秋 东昌府区期中)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=10米,背水坡CD的坡度i=1:,则背水坡的坡长CD为(  )米.
A.20 B.20 C.10 D.20
【解析】解:由题意得:四边形AEFD是矩形,
∴DF=AE,
∵迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=10米,
∴DF=AE=10×sin45°=10(米),
∵背水坡CD的坡度i=1:,
∴tanC=i===,
∴∠C=30°,
∴CD=2DF=2AE=20(米),
故选:A.
3.(2020秋 锦江区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(a,3)且OP与x轴的夹角α的正切值是,则cosα的值为(  )
A. B. C. D.
【解析】解:过点P作PE⊥x轴于E.
∵P(a,3),
∴OE=a,PE=3,
∵tan∠POE==,
∴OE=4,
∴OP===5,
∴cosα==.
故选:B.
4.(2020秋 文登区期末)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为5m,若在坡比为i=1:2.5的山坡种树,也要求株距为5m,那么相邻两棵树间的坡面距离为(  )
A.2.5m B.5m C. D.10m
【解析】解:∵水平距离为5m,坡比为i=1:2.5,
∴铅直高度为5÷2.5=2(m).
根据勾股定理可得:
坡面相邻两株树间的坡面距离为=(m).
故选:C.
5.(2021 鄞州区模拟)如图,小明家附近有一观光塔CD,他发现当光线角度发生变化时,观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现,当小明站在点A处时,塔顶D的仰角为37°,他继续往前再走5米到达点B(点A,B,C在同一直线上),此时塔顶D的仰角为53°,则观光塔CD的高度约为(  )(精确到0.1米,参考数值:tan37°≈,tan53°≈)
A.7.6米 B.7.8米 C.8.6米 D.8.8米
【解析】解:由题意可知,AB=5米,∠DAB=37°,∠C=90°,∠DBC=53°,
∵tan∠DBC=tan53°=,
∴,
设CD=x,则BC=x,AC=5+x,
在Rt△ACD中,
tan53°=,
解得x=8.6,
∴CD=8.6(米),
故选:C.
6.(2021 皇姑区一模)如图,一条东西向的大道上,A,B两景点相距20km,C景点位于A景点北偏东60°方向上,位于B景点北偏西30°方向上,则A,C两景点相距(  )
A.10km B.10km C.10km D.km
【解析】解:根据题意可知:
∠CAB=30°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=60°+30°=90°,AB=20km,
∴AC=AB×cos30°=20×=10(km).
∴A,C两景点相距10km.
故选:B.
7.(2020秋 永嘉县校级期末)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ACB等于(  )
A. B. C. D.
【解析】解:如图,作CD⊥AB于点D,作AE⊥BC于点E,
由已知可得,AC==,AB=5,BC==5,CD=3,
∵S△ABC=AB CD=BC AE,
∴AE===3,
∴CE===1,
∴cos∠ACB===,
方法2:由已知可得,AC==,
∵AB=BC=5,
∴∠C=∠A,
∴cos∠ACB=cos∠A==,
故选:B.
8.(2020秋 长丰县期末)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=6,AB=4,则BC的长是(  )
A.6 B.2 C.2 D.9
【解析】解:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,
∵∠BAC=120°,
∴∠DAC=180°﹣120°=60°,
∴∠ACD=30°,
∴AD=AC=3,
∴BD=AB+AD=7,
由勾股定理得,CD==3,
在Rt△BCD中,BC==2,
故选:B.
9.(2021 宜宾)如图,在△ABC中,点O是角平分线AD、BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是(  )
A. B.2 C. D.
【解析】解:如图:
作OF⊥AB于F,
∵AB=AC,AD平分∠BAC.
∴∠ODB=90°.BD=CD=6.
∴根据勾股定理得:AD==8.
∵BE平分∠ABC.
∴OF=OD,BF=BD=6,AF=10﹣6=4.
设OD=OF=x,则AO=8﹣x,在Rt△AOF中,根据勾股定理得:
(8﹣x)2=x2+42.
∴x=3.
∴OD=3.
在Rt△OBD中,tan∠OBD===.
故选:A.
10.(2021 章丘区模拟)如图1,某小区入口处安装“曲臂杆”,OA⊥AB,OA=1米,点O是臂杆转动的支点,点C是曲臂杆两段的连接点,曲臂杆CD部分始终与AB平行.如图2,曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线,当曲臂杆升高到OE时,∠AOE=121°,点E到AB的距离是1.7米,当曲臂杆升高到OF时,∠AOF=156°,则点F到AB的距离是(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.5,sin66°≈0.9)(  )
A.2.0米 B.2.3米 C.2.4米 D.2.6米
【解析】解:如图,过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,
∵OA⊥AB,OD∥AB,
∴OA⊥OD,
∴∠AOD=90°,
∵∠AOE=121°,∠AOF=156°,
∴∠EOG=121°﹣90°=31°,∠FOH=156°﹣90°=66°,
∵点E到AB的距离是1.7米,OA=1米,
∴EG=1.7﹣1=0.7(米),
在Rt△OEG中,
∵EG=OE×sin∠EOG,
∴OE=≈=1.4(米),
∵OE=OF,
在Rt△OFH中,
∵FH=OF×sin∠FOH=1.4×sin66°≈1.4×0.9=1.26(米),
∴FH+OA=1.26+1=2.26≈2.3(米).
∴点F到AB的距离是2.3米.
故选:B.
二.填空题
11.(2020秋 潍城区期中)如图,△ABC中,cosB=,sinC=,AB=5,则△ABC的面积是 14 .
【解析】解:如图,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABH中,cosB=,AB=5,
∴BH=AB cosB=5×=3,
∴AH==4.
在Rt△ACH中,sinC=,
∴∠C=45°,
∴CH=AH=4,
∴BC=BH+CH=3+4=7,
∴S△ABC= BC AH=×7×4=14,
故答案为:14.
12.(2021秋 道里区校级月考)已知△ABC中,∠B=45°,AB=3,BC=8,求AC的长为   .
【解析】解:如图,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABH中,
∵∠AHB=90°,∠B=45°,AB=3,
∴AH=HB=AB sin∠B=3×=3,
∴CH=BC﹣BH=8﹣3=5.
在Rt△AHC中,∵∠AHC=90°,
∴AC===.
故答案为:.
13.(2020秋 江阴市期末)如图,四边形OABC中,OA在x轴的正半轴上,∠C=∠OAB=90°,AB=3,BC=5,cos∠AOC=,则点C的坐标是 (,6) .
【解析】解:过C作CD⊥OA于D,过B作BE⊥CD于E,如图所示:
则∠ADE=∠ODC=∠DEB=∠CEB=90°=∠OAB,
∴四边形ABED是矩形,
∴AD=BE,DE=AB=3,
∴BE===4,
∵∠BCE+∠OCD=∠AOC+∠OCD=90°,
∴∠BCE=∠AOC,
∴cos∠BCE==cos∠AOC=,
∴CE=BC=×5=3,
∴CD=CE+DE=3+3=6,
∵∠AOC=∠BCE,∠ODC=∠BEC=90°,
∴△OCD∽△CBE,
∴=,
即=,
解得:OD=,
∴点C的坐标为(,6),
故答案为:(,6).
14.(2021 黄石模拟)如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为 2.9 米(结果精确到0.1,参考数据:=1.41,=1.73)
【解析】解:由题意可得:∵AM=4米,∠MAD=45°,
∴DM=4m,
∵AM=4米,AB=8米,
∴MB=12米,
∵∠MBC=30°,
∴BC=2MC,
∴MC2+MB2=(2MC)2,
MC2+122=(2MC)2,
∴MC=4,
则DC=4﹣4≈2.9(米),
故答案为:2.9.
15.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,又CD=100m,则河宽AB为 87 m(≈1.73,结果保留整数).
【解析】解:如图所示:
∵在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,
∴∠CAD=30°,
∴DC=AD=100m,
故sin60°===,
解得:AB=50≈87(m),
故答案为:87.
16.(2021 崇川区二模)在△ABC中,∠ACB<90°,AB=13,AC=4,tan∠ABC=,则BC的长为  9 .
【解析】解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,tan∠ABC==,
设AD=12x,BD=5x,
由勾股定理得AB=13x,
∵AB=13,
∴x=1,
∴AD=12,BD=5,
∴CD=,
∴BC=BD+CD=5+4=9,
故答案为:9.
三.解答题
17.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AB:BC=2:5,且S△ABC=,求tanC的值.
【解析】解:过A作AD⊥BC于D,如图所示:
则∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°,
∴BD=AB,AD=BD,
设BD=x,则AB=2x,AD=x,
∵AB:BC=2:5,
∴BC=AB=5x,
∴CD=BC﹣BD=4x,
∵S△ABC=BC×AD=,
∴×5x×x=10,
解得:x=2(负值已舍去),
∴AD=,CD=8,
∴tanC===.
18.(2020秋 鄞州区期末)如图,在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸AB,在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上;同一时刻在A处正东方向距离A处50米的C处测得轮船M在北偏东37°方向上.
(1)求轮船M到海岸线l的距离;(结果保留整数米)
(2)如果轮船M沿着南偏东22°的方向航行,那么该轮船能否行至码头海岸AB靠岸?请说明理由.(参考数据:sin37°=0.60,tan37°=0.75,sin22°=0.37,tan22°=0.40)
【解析】解:(1)过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x,
∵在Rt△CDM中,CD=DM tan∠CMD=x tan37°,
又∵在Rt△ADM中,∠MAC=45°,
∴AD=DM,
∵AD=AC+CD=50+x tan37°,
∴50+x tan37°=x,
∴x=≈=200,
答:轮船M到海岸线l的距离约为200米;
(2)作∠DMF=22°,交l于点F,
在Rt△DMF中,DF=DM tan∠FMD=DM tan22°
≈200×0.40=80(米),
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280<300,
所以该轮船能行至码头靠岸.
19.(2021 内江)在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示,测得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为8米,在B处测得树CD顶部D的仰角为30°,在E处测得树CD顶部D的仰角为60°,求树高CD.(结果保留根号)
【解析】解:作BF⊥CD于点F,根据题意可得ABCF是矩形,
∴CF=AB,
∵斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的长为8米,
∴AB=2,
∴CF=2,
设DF=x米,
在Rt△DBF中,tan∠DBF=,
则BF==x(米),
在直角△DCE中,DC=x+CF=(2+x)米,
在直角△DCE中,tan∠DEC=,
∴EC=(x+2)米.
∵BF﹣CE=AE,即x﹣(x+2)=8.
解得:x=4+1,
则CD=4+1+2=(4+3)米.
答:CD的高度是(4+3)米.
20.(2021 巴中)学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A、B、C、D在同一平面上.(结果精确到0.1m.参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51,≈1.73.)
(1)求灯杆AB的高度;
(2)求CD的长度.
【解析】解:(1)延长BA交CG于点E,
则BE⊥CG,
在Rt△ACE中,∠ACE=30°,AC=12m,
∴AE=AC=×12=6(m),CE=AC cosα=12×=6(m),
在Rt△BCE中,∠BCE=60°,
∴BE=CE tan∠BCE=6×=18(m),
∴AB=BE﹣AE=18﹣6=12(m);
(2)在Rt△BDE中,∠BDE=27°,
∴CD=DE﹣CE=﹣6≈24.9(m).
21.(2021 浦东新区三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D在边BC上,且BD=3CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE.
(1)求线段AE的长;
(2)求∠ACE的余切值.
【解析】解:(1)∵BC=4,BD=3CD,
∴BD=3.
∵AB=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°.
∵DE⊥AB,
∴在Rt△DEB中,.

在Rt△ACB中,,

(2)如图,过点E作EH⊥AC于点H.
∴在Rt△AHE中,,
AH=AE cos45°=,
∴,
∴EH=AH=,
∴在Rt△CHE中,cot∠ECH=,
即∠ACE的余切值是.
22.(2020 绍兴)如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块E,H可分别沿等长的立柱AB,DC上下移动,AF=EF=FG=1m.
(1)若移动滑块使AE=EF,求∠AFE的度数和棚宽BC的长.
(2)当∠AFE由60°变为74°时,问棚宽BC是增加还是减少?增加或减少了多少?
(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【解析】解:(1)∵AE=EF=AF=1m,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,
连接MF并延长交AE于K,则FM=2FK,
∵△AEF是等边三角形,
∴AK=(m),
∴FK==(m),
∴FM=2FK=(m),
∴BC=4FM=4≈6.92≈6.9(m),
答:∠AFE的度数为60°,棚宽BC的长约为6.9m;
(2)∵∠AFE=74°,
∴∠AFK=37°,
∴KF=AF cos37°≈0.80(m),
∴FM=2FK=1.60(m),
∴BC=4FM=6.40(m)<6.92(m),
6.92﹣6.40=0.52≈0.5(m),
答:当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了,减少了0.5m.
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