2021-2022学年浙教版九年级下 2.1直线与圆的位置关系同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年浙教版九年级下 2.1直线与圆的位置关系同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-13 08:21:35 | ||
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文档简介
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浙教版九年级下 2.1直线与圆的位置关系同步练习
一．选择题
1．（2020秋 岳麓区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在的直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2021 下城区模拟）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
4．（2020 上虞区模拟）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝2，∠A＝30°，则的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
5．（2020 广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6．（2021 海淀区校级三模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
7．（2021 孝义市二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，直线AD与⊙O相切，则cos∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．1
8．（2021 江阴市模拟）已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
9．（2021 怀宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
二．填空题
11．（2021秋 宝应县期中）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．若AC＝4，BC＝3，则半圆的半径是 ．
12．（2021秋 海陵区校级月考）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
13．（2021秋 丰台区校级期中）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 ．
14．（2021秋 玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 °．
15．（2021秋 西城区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A＝30°，AB＝2，那么AC的长等于 ．
16．（2019 大庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为 ．
17．（2021 芜湖模拟）如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 ．
三．解答题
18．（2021秋 溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
19．（2021秋 盐都区期中）如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
20．（2021 广饶县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
21．（2021 常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
22．（2020 北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若AB＝10，cosB＝，求EF的长．
23．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
24．（2021 随州）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋 岳麓区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在的直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解析】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
2．（2021 下城区模拟）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：连接OA、OP，
∵PA切圆O于A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝＝＝5，
故选：D．
3．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
【解析】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD＝AE＝AC，
∴AC＝2r，
同理可知：AB＝2r，
∴AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵BC＝2
∴由勾股定理可知AB＝2，
∴r＝1，
∴＝＝．
故选：C．
4．（2020 上虞区模拟）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝2，∠A＝30°，则的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【解析】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别是⊙O的切线，
∴∠ACO＝90°，∠BDO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOC＝60°，
在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS）
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝60°，
在Rt△ACO中，OC＝AC tanA＝2，
∴的长＝＝π，
故选：B．
5．（2020 广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
6．（2021 海淀区校级三模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【解析】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB
在Rt△APO中，AP＝＝
∴AB＝2
故选：A．
7．（2021 孝义市二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，直线AD与⊙O相切，则cos∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．1
【解析】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线AD与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝45°，
∴cos∠BAD＝cos45°＝，
故选：B．
8．（2021 江阴市模拟）已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【解析】解：∵⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，
5＞3，
∴直线和圆相离．
故选：A．
9．（2021 怀宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×15＝10，，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
当C在优弧ACB上时，∠ACB＝∠AOB＝63°；
当C′在弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，
则∠ACB的度数为63°或117°，
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 宝应县期中）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．若AC＝4，BC＝3，则半圆的半径是 ．
【解析】解：如图，⊙O的圆心O在AC上，且经过点C，与AB相切于点D，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∴⊙O与BC相切于点C，
连接OD，则AB⊥OD，
∴∠ODA＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
设OD＝OC＝r，则AO＝4﹣r，
∵AD2+OD2＝AO2，
∴22+r2＝（4﹣r）2，
解得r＝，
所以⊙O的半径为，
故答案为：．
12．（2021秋 海陵区校级月考）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 4或5 ．
【解析】解：∵以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r＝4，
当⊙P过原点时，r＝OP＝＝5．
∴r＝4或5．
故答案为：4或5．
13．（2021秋 丰台区校级期中）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 相离 ．
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
14．（2021秋 玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 68 °．
【解析】解：连接OB，
∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠ODA＝∠BCC＝68°，
∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝22°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°．
故答案为：68．
15．（2021秋 西城区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A＝30°，AB＝2，那么AC的长等于 6 ．
【解析】解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
在直角△OAB中，OB＝AB tanA＝2×＝2，
则OA＝2OB＝4，
∴AC＝4+2＝6．
故答案是：6．
16．（2019 大庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为 8﹣4 ．
【解析】解：当⊙F与直线AD相切时．设切点为K，连接FK，如图：
则FK⊥AD，四边形FKDC是矩形．
∴FE＝FK＝CD＝2BE，
∴BE＝4，FE＝8，
在Rt△FBE中，FB＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣FB＝8﹣4．
故答案为：8﹣4．
17．（2021 芜湖模拟）如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ 2 ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 3 ．
【解析】解：过点O作OC⊥AB于C，连接OP、OQ，
当r＝OC时，⊙O与直线AB只有一个公共点，
在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2OB＝8，
由勾股定理得：OA＝＝＝4，
在Rt△AOC中，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2，即r＝2时，⊙O与直线AB只有一个公共点；
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，PQ＝＝，
则当OP最小时，PQ有最小值，
∴PQ的最小值＝＝3，
故答案为：2；3．
三．解答题
18．（2021秋 溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
【解析】证明：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，
∵OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，
∴AC＝AB＝12cm，
在Rt△OAC中，根据勾股定理，得
OC＝＝5，
∵⊙O的直径为10cm
∴⊙O的半径r为5cm，
∴OC＝r，
∴AB是⊙O的切线．
19．（2021秋 盐都区期中）如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF．
（2）如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∵AE＝8，AB＝10，
∴AD＝＝＝，
∴DE＝＝＝4，
∴DE的长为4．
20．（2021 广饶县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
【解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE＝AE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．
21．（2021 常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
【解析】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
22．（2020 北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若AB＝10，cosB＝，求EF的长．
【解析】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∴∠OCB＝∠ACD，
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵OE∥AC，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）解：在Rt△ACB中，cosB＝＝，AB＝10，
∴BC＝8，
∵OC＝OA＝OB，
∴OC＝AB＝×10＝5，
∴AC＝＝＝6，
∵∠ACB＝∠OCE＝90°，∠B＝∠E，
∴△ACB∽△OCE，
∴＝，即＝，
∴OE＝，
∵OF∥AC，O为AB中点，
∴OF＝AC＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝﹣3＝．
23．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
【解析】（1）证明：如图，连接OE，
∵⊙O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴OA＝OB．
（2）解：如图，连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC与⊙O相切于点C，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵∠OAB＝∠B，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠OAC+∠OAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠OAC＝30°，
∵OC＝OD＝2，
∴OA＝2OC＝2×2＝4，CD＝2+2＝4，
∴AC＝＝2，
∴AD＝＝2，
∴AD的长为2．
24．（2021 随州）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
【解析】解：（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC．
（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA＝，AB＝9，
∴BD＝3．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1．
②由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴．
即：．
解得：BE＝．
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浙教版九年级下 2.1直线与圆的位置关系同步练习
一．选择题
1．（2020秋 岳麓区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在的直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2021 下城区模拟）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
4．（2020 上虞区模拟）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝2，∠A＝30°，则的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
5．（2020 广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6．（2021 海淀区校级三模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
7．（2021 孝义市二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，直线AD与⊙O相切，则cos∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．1
8．（2021 江阴市模拟）已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
9．（2021 怀宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
二．填空题
11．（2021秋 宝应县期中）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．若AC＝4，BC＝3，则半圆的半径是 ．
12．（2021秋 海陵区校级月考）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
13．（2021秋 丰台区校级期中）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 ．
14．（2021秋 玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 °．
15．（2021秋 西城区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A＝30°，AB＝2，那么AC的长等于 ．
16．（2019 大庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为 ．
17．（2021 芜湖模拟）如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 ．
三．解答题
18．（2021秋 溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
19．（2021秋 盐都区期中）如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
20．（2021 广饶县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
21．（2021 常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
22．（2020 北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若AB＝10，cosB＝，求EF的长．
23．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
24．（2021 随州）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋 岳麓区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在的直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解析】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
2．（2021 下城区模拟）如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：连接OA、OP，
∵PA切圆O于A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝＝＝5，
故选：D．
3．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
【解析】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD＝AE＝AC，
∴AC＝2r，
同理可知：AB＝2r，
∴AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵BC＝2
∴由勾股定理可知AB＝2，
∴r＝1，
∴＝＝．
故选：C．
4．（2020 上虞区模拟）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝2，∠A＝30°，则的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【解析】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别是⊙O的切线，
∴∠ACO＝90°，∠BDO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOC＝60°，
在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS）
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝60°，
在Rt△ACO中，OC＝AC tanA＝2，
∴的长＝＝π，
故选：B．
5．（2020 广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
6．（2021 海淀区校级三模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【解析】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB
在Rt△APO中，AP＝＝
∴AB＝2
故选：A．
7．（2021 孝义市二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，直线AD与⊙O相切，则cos∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．1
【解析】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线AD与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝45°，
∴cos∠BAD＝cos45°＝，
故选：B．
8．（2021 江阴市模拟）已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l和⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【解析】解：∵⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，
5＞3，
∴直线和圆相离．
故选：A．
9．（2021 怀宁县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×15＝10，，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ ）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
当C在优弧ACB上时，∠ACB＝∠AOB＝63°；
当C′在弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，
则∠ACB的度数为63°或117°，
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 宝应县期中）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．若AC＝4，BC＝3，则半圆的半径是 ．
【解析】解：如图，⊙O的圆心O在AC上，且经过点C，与AB相切于点D，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∴⊙O与BC相切于点C，
连接OD，则AB⊥OD，
∴∠ODA＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
设OD＝OC＝r，则AO＝4﹣r，
∵AD2+OD2＝AO2，
∴22+r2＝（4﹣r）2，
解得r＝，
所以⊙O的半径为，
故答案为：．
12．（2021秋 海陵区校级月考）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 4或5 ．
【解析】解：∵以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r＝4，
当⊙P过原点时，r＝OP＝＝5．
∴r＝4或5．
故答案为：4或5．
13．（2021秋 丰台区校级期中）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 相离 ．
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
14．（2021秋 玄武区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 68 °．
【解析】解：连接OB，
∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠ODA＝∠BCC＝68°，
∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝22°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°．
故答案为：68．
15．（2021秋 西城区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A＝30°，AB＝2，那么AC的长等于 6 ．
【解析】解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
在直角△OAB中，OB＝AB tanA＝2×＝2，
则OA＝2OB＝4，
∴AC＝4+2＝6．
故答案是：6．
16．（2019 大庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为 8﹣4 ．
【解析】解：当⊙F与直线AD相切时．设切点为K，连接FK，如图：
则FK⊥AD，四边形FKDC是矩形．
∴FE＝FK＝CD＝2BE，
∴BE＝4，FE＝8，
在Rt△FBE中，FB＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣FB＝8﹣4．
故答案为：8﹣4．
17．（2021 芜湖模拟）如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ 2 ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 3 ．
【解析】解：过点O作OC⊥AB于C，连接OP、OQ，
当r＝OC时，⊙O与直线AB只有一个公共点，
在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2OB＝8，
由勾股定理得：OA＝＝＝4，
在Rt△AOC中，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2，即r＝2时，⊙O与直线AB只有一个公共点；
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，PQ＝＝，
则当OP最小时，PQ有最小值，
∴PQ的最小值＝＝3，
故答案为：2；3．
三．解答题
18．（2021秋 溧水区期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
【解析】证明：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，
∵OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，
∴AC＝AB＝12cm，
在Rt△OAC中，根据勾股定理，得
OC＝＝5，
∵⊙O的直径为10cm
∴⊙O的半径r为5cm，
∴OC＝r，
∴AB是⊙O的切线．
19．（2021秋 盐都区期中）如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF．
（2）如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∵AE＝8，AB＝10，
∴AD＝＝＝，
∴DE＝＝＝4，
∴DE的长为4．
20．（2021 广饶县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
【解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE＝AE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．
21．（2021 常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
【解析】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
22．（2020 北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若AB＝10，cosB＝，求EF的长．
【解析】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，
∴∠OCB＝∠ACD，
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵OE∥AC，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）解：在Rt△ACB中，cosB＝＝，AB＝10，
∴BC＝8，
∵OC＝OA＝OB，
∴OC＝AB＝×10＝5，
∴AC＝＝＝6，
∵∠ACB＝∠OCE＝90°，∠B＝∠E，
∴△ACB∽△OCE，
∴＝，即＝，
∴OE＝，
∵OF∥AC，O为AB中点，
∴OF＝AC＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝﹣3＝．
23．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
【解析】（1）证明：如图，连接OE，
∵⊙O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴OA＝OB．
（2）解：如图，连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC与⊙O相切于点C，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵∠OAB＝∠B，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠OAC+∠OAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠OAC＝30°，
∵OC＝OD＝2，
∴OA＝2OC＝2×2＝4，CD＝2+2＝4，
∴AC＝＝2，
∴AD＝＝2，
∴AD的长为2．
24．（2021 随州）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
【解析】解：（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC．
（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA＝，AB＝9，
∴BD＝3．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1．
②由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴．
即：．
解得：BE＝．
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