26.2.2(第1课时)二次函数y=ax2+k的图象与性质 课件(共27张PPT)+学案+教案

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名称 26.2.2(第1课时)二次函数y=ax2+k的图象与性质 课件(共27张PPT)+学案+教案
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文件大小 4.5MB
资源类型 试卷
版本资源 华师大版
科目 数学
更新时间 2021-12-16 16:33:28

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26.2.2二次函数y=ax2+k的图象与性质教学设计
课题 二次函数y=ax2+k的图象与性质 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.会用描点法画二次函数y=ax2-k的图象. 2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系. 3.体验抛物线的平移过程,形成良好的思维方法.
重点 二次函数y=ax2+k的图象与性质.
难点 理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 已知二次函数 ① y=-x2; ② y=x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y=-x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号); (2)其中开口向下,且开口最大的是 (填题号); (3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后逐渐变小的有 (填题号). 2.二次函数y=x2+1的图象与二次函数y=x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同 学生回顾,填空,思考问题。 通过回顾前面的知识,引出新课,可以让学生联想它们之间的联系。
讲授新课 探究1 二次函数y=ax2+k的图象 (1)对于上面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究 (画出函数y=x2+1和函数y=x2的图象,并加以比较) (2)请你在同一平面直角坐标系中画出函数y=x2+1和函数y=x2的图象. (3)当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系 (4)观察函数y=x2+1和y=x2的图象,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的 又有哪些不同 你能由此说出函数y=x2+1和y=x2的图象之间的关系吗 归纳:①相同点:开口方向相同,对称轴相同;不同点:顶点坐标位置不同. ②函数y=x2+1的图象和y=x2的图象形状相同,开口方向相同,y=x2+1的图象可以由y=x2的图象向上平移1个单位得到. 探究2 根据上面讨论,你能由y=x2的性质得到y=x2+1的性质吗 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x_____时,函数取得最______值,最______值y=______.以上就是函数y=x2+1的性质. 探究3 你能说出y=-x2+1的图象与性质吗 函数y=-x2+1的图象是一条抛物线,开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,1);当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大;当x=0时,y取最大值1. 思考:根据上面的讨论,你能得出二次函数y=ax2+k的图象与性质吗 归纳:二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).当a>0时,它的开口向上,x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数值y取最小值,最小值为k.当a<0时,它的开口向下;x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0时,函数值y随x的增大而减小;当x=0时,函数值y取最大值,最大值为k. 教师写出解题过程,与学生所画图象进行比较. 教师引导学生观察函数y=x2+1和y=x2的图象,研究一些特殊点的位置关系,让学生归纳。 让学生用类比的方法得到性质,可从对称轴左右两侧考虑.可让学生完成填空。 小组合作交流,得出结论,并回答.最后教师归纳。 此处留给学生充分的时间去思考、讨论.使学生完整地经历活动过程,让学生实实在在看到函数的变化。 整个过程为学生提供了充分的从事数学研究和交流的机会,使学生主动观察、讨论、概括得到新知,亲历了“做数学”的过程。
课堂练习 1.将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的表达式为( ) A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 2.二次函数y=2x2+1的图象大致是( ) 3.二次函数y=5x2-3的图象开口向____________,顶点坐标为_____________,对称轴为__________,当x>0时,y随x的增大而__________;当x<0时,y随x的增大而__________.因为a=5>0,所以y有最_______值,当x=______时,y的最________值是________. 4.二次函数y=mx2+m-2的图象的顶点在y轴的负半轴上,且开口向上,则m的取值范围为________________. 5.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后,得到抛物线y=3x2-1,求m,n的值. 6.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1 相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM. 学生自主动手解决,老师进行订正。 及时练习巩固,体现学以致用的观念,消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课,你有哪些收获? 教师与学生一起进行交流,共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果,帮助他分析,找出问题原因,及时查漏补缺.
板书 二次函数y=ax2+k的图象与性质 图象平移规律 y=ax2的图象y=ax2+k的图象 y=ax2+k的图象特征: y=ax2+k的性质: 例1.
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26.2.2二次函数y=ax2+k的图像和性质导学案
课题 26.2.2二次函数y=ax2+k的图像和性质 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1.会用描点法画二次函数y=ax2-k的图象. 2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.
重点难点 重点:二次函数y=ax2+k的图象与性质. 难点:理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.
教学过程
知识链接 已知二次函数 ① y=-x2; ② y=x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y=-x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号); (2)其中开口向下,且开口最大的是 (填题号); (3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后逐渐变小的有 (填题号).
合作探究 一、教材第8页 探究点一 画二次函数y=与y=x2+1的图象. 【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】 列表: 描点, 并连线 二、教材第9页 概括 由图象可得二次函数y=x2与 y=x2+1的性质: 当x______时, 函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数值y随x的增大而增大;当:x 时,函数取得最 值,最___值y= . 三、教材第10页 做一做 先在同一个平面直角坐标系中画出函数y=x2 -2与函数y=x2的图象,再作比较,指出它们的联系和区别.函数y=x2 -2的图象可以看成是由函数 y=x2的图象经过怎样的平移得到的 试说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并讨论这个函数的性质 探究点二: 在同一直角坐标系中,画出函数y=- x2-2,y=- x2的图象. 解:列表: 描点, 并连线 归纳:抛物线y=-x2-2的二次项系数a______0,顶点分别是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”)。 归纳总结 Y=ax2+k图像开口方向顶点对 称 轴最高点 (最低点)最值a>0a<0
自主尝试 1.与抛物线y=-x2-1的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式为 (  ) A.y=-x2 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=x2+1 2.点P1(-2,y1),P2(2,y2),P3(5,y3)均在函数y=-2x2+1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (  ) A.y3>y2>y1 B.y3>y1>y2 C.y3>y1=y2 D.y1=y2>y3 3.若抛物线y=2+m-5的顶点在x轴的下方,则m=    .若二次函数y=(k+1)x2+k2-k的图象的顶点坐标为(0,2),则k=    . 【方法宝典】 根据二次函数y=ax2 +k的性质进行解题即可.
当堂检测 1.抛物线y=-x2+2的对称轴为 (  ) A.直线x=2 B.直线x=0 C.直线y=2 D.直线y=0 2.抛物线y=4x2-3的顶点坐标是 (  ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,3) D.(0,-3) 3.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=2x2+1共有的性质是 (  ) A.开口向上 B.对称轴都是y轴 C.都有最高点 D.顶点都是原点 4.下列函数中,当x<0时,y随着x的增大而增大的是 (  ) A.y=-x+1 B.y=x2-1 C.y= D.y=-x2+1 5.将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位,则平移后的图象对应的二次函数的关系式为 (  ) A.y=x2-3 B.y=x2+3 C.y=(x-3)2 D.y=(x+3)2 6.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是 (  ) A.它的图象开口向下 B.当x<-1时,y随x的增大而减小 C.它的图象的顶点坐标是(2,3) D.当x=0时,y有最大值是3
7.抛物线y=-3x2+7的开口向  ,对称轴是   ,顶点坐标是    ,顶点是最   点,所以函数有最   值,为   . 8.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为    ,与x轴的交点坐标为      . 9.抛物线y=x2+1关于x轴对称的抛物线的函数关系式为     . 10.当m=    时,抛物线y=(m+1)+9的开口向下,对称轴是     ,在对称轴左侧,y随x的增大而    ,当x>0时,y随x的增大而    . 11.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象. (1)从开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点; (2)说出两个函数的性质的相同点与不同点. 12.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3. (1)求a,n的值; (2)指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)若抛物线上存在两点A-,y1,B,y2,比较y1,y2的大小. 13.已知抛物线y=x2,把它向下平移,得到的抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则原抛物线应向下平移几个单位
小结反思 通过本节课的学习,你们有什么收获?
参考答案: 当堂检测: 1. B 2. D 3. B 4. D 5. A 6. B  7. 下 y轴(或直线x=0) (0,7) 高 大 7 8. (0,-1) (0.5,0),(-0.5,0) 9. y=-x2-1 10. -2 y轴(或直线x=0) 增大 减小 11.解:如图. (1)相同点:图象都是抛物线,且形状相同,对称轴都是y轴. 不同点:抛物线y=x2+1的开口向上,顶点坐标是(0,1);抛物线y=-x2-1的开口向下,顶点坐标是(0,-1). (2)两个函数的性质的相同点:图象的开口程度相同.不同点:y=x2+1,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;y=-x2-1,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小. 12.解:(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,∴a=-2. ∵抛物线y=ax2+n上的点到x轴最近的距离为3, ∴n=-3. (2)抛物线为y=-2x2-3. 抛物线的开口向下,对称轴是直线x=0(或y轴),顶点坐标是(0,-3). (3)点A-,y1关于y轴的对称点的坐标为,y1. ∵-2<0,∴在对称轴右侧,y随x的增大而减小.又∵<,∴y1>y2. 13.解:设原抛物线向下平移b个单位,得到的抛物线的函数关系式为y=x2-b, 则A(-,0),B(,0),C(0,-b). ∵△ABC是直角三角形, ∴OB=OC=OA,即=b,解得b=2(b=0舍去),∴若△ABC是直角三角形,则原抛物线应向下平移2个单位.
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26.2.2二次函数y=ax2+k的图象与性质
华师大版 九年级下册
复习导入
已知二次函数
① y=-x2; ② y=x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=-x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号);
(2)其中开口向下,且开口最大的是 (填题号);
(3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后逐渐变小的有 (填题号).
②③⑥

①④⑤
新知讲解
小贴士
问题1
我们已经研究了二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质,现在我们来研究一般的问题。
试研究二次函数y=的图象
将函数关系式配方,得
我们设法寻求它与函数y=的联系.
新知讲解
解:先列表:
在同一直角坐标系中,画出二次函数与的图象.
新知讲解
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线,画出这两个函数的图象
观察上述图象,说说它有哪些特征.
新知讲解
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)两条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向上
y轴
( 0,0)
( 0,1)
(5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下最小值分别为_______、_______;
(6)函数的增减性都相同:当x>0(对称轴右侧)时_______________,当x<0时(对称轴左侧) ____________________.


y=0
y=1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
新知讲解
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
函数y=x2+1的图象可由 y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.
练一练
画出二次函数 , 的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
y
-2
-2
4
2
2
-4
0
新知讲解
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下最大值分别
为_______、_______、 。
(6) 函数的增减性都相同:
____________________________
_____________________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0,2)


y=0
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
( 0,-2)
y=-2
归纳总结
二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的性质
做一做
在同一直角坐标系中,画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象.
解:先列表:
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
-1
1
3.5
7
新知讲解
4
x
y
O
-2
2
2
4
6
-4
8
10
-2
y = 2x2+1
y = 2x2-1
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么?
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
新知讲解
(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系?
可以发现,把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 ;把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 y=2x2-1.

y=2x2+1

归纳总结
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到:
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k(a ≠ 0)的图象的关系
上下平移规律:
平方项不变,常数项上加下减.
练一练
1. 将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象;
将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象;
将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。

4

7

9
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步?
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么?怎样决定的?c决定什么?
第一种方法:平移法,两步即第一步画y=ax2的图象,再向上(或向下)平移︱c ︱单位.
第二种方法:描点法,三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小;c决定顶点的纵坐标.
课堂练习
1.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,则平移以后的二次函数的表达式为( )
A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2
2.二次函数y=2x2+1的图象大致是( )
A
D
课堂练习
3.二次函数y=5x2-3的图象开口向____________,顶点坐标为_____________,对称轴为__________,当x>0时,y随x的增大而__________;当x<0时,y随x的增大而__________.因为a=5>0,所以y有最_______值,当x=______时,y的最________值是________.
4.二次函数y=mx2+m-2的图象的顶点在y轴的负半轴上,且开口向上,则m的取值范围为________________.

(0,-3)
y轴
增大
减小

0

-3
0<m<2
课堂练习
5.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后,得到抛物线y=3x2-1,求m,n的值.
解:将抛物线y=3x2-1,向上平移2个单位后得到抛物线
y=3x2-1+2=3x2+1,
即抛物线y=mx2+n的函数表达式为y=3x2+1,
所以m=3,n=1.
课堂练习
6.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在
x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM.
课堂练习
(1)求抛物线对应的函数表达式;
解:∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,
∴A(-1,0).∵点B的横坐标为2,
∴将x=2代入y=x+1可求得y=3,
∴B(2,3).
∵抛物线顶点在y轴上,
课堂练习
课堂练习
(2)判断△ABM的形状,并说明理由.
解:△ABM为直角三角形,理由如下:由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为y=x2-1可知M点的坐标为(0,-1),
作业布置
1.课本练习第1、2题
2.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5).
(1)求该函数的表达式;
(2)若点C(-2,m),D(n,7)也在函数的图象上,求m、n的值.
课堂小结
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定;
k决定顶点位置;
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律:
k正向上;
k负向下.
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