浙教版数学九年级上册 3.7正多边形 教案

正多边形
【教学目标】
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。
【教学重难点】
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
【教学过程】
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题。
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：
1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2．实例略。正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点。
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD．CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B．C．D．E、F都在这个圆上。
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
我们以圆内接正六边形为例证明。
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形。
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆。
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长。正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形。
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形。
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径。
解：正五边形的中心角∠AOB==72°，
如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）
画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；
（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB．BC．CD．DE、EA。
（3）分别连结AB．BC．CD．DE、EA．则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示。
三、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距。
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系。
3．画正多边形的方法。
4．运用以上的知识解决实际问题。
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