2.3二次函数的性质
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课件21张PPT。2.3二次函数的性质向上向上向下向下y轴y轴y轴y轴（0、0）（0、0）（0、k）（0、k）复习回顾向上y轴（0、0）向下y轴（0、0）向上向下x=-h（-h、0）x=-h（-h、0）二次函数:y=ax2 +bx + c (a ? 0)二次函数的图象:一条抛物线抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.当a的绝对值相等时,其形状
完全相同,当a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.a 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>?yx 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>?抛物线y＝a(x+h)2+k的性质（1）对称轴是直线x＝_________（2）顶点坐标是___________(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________。（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________-h(-h、k)减小增大增大减小课前热身：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为 yxo2、二次函数 y=x2 - ４x+3 的对称轴是3、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，- 4），则它的函数解析式为4、抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个思考:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？5、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：⑴ y=2x２-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5a<0c>0b>0直线x = 2y=-2(x – 1)2 - 4C(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?观察与归纳：⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+5抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2- 4ac﹥0b2- 4ac=0b2- 4ac<0当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 。当b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；观察与归纳： 1、当a ﹥0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；
当a ﹤0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展。2、当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:尝试成功：1、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个-110xy2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值⑴ y=2x2-8x-3 ⑵ y=-5x２＋３√２x- 43、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上， 那么b等于多少？D例题教学 已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图,说出取哪些值时,
①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0(-15,0)(1,0)(0,7.5)(7,32)(-14,7.5).0xyxoyxyo(0,c)(0,c)..y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c..五点法:课后练习：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________. 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个D学习感想：1、你能正确地说出二次函数的性质吗？2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
完全相同,当a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.a 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>?yx 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>?抛物线y＝a(x+h)2+k的性质（1）对称轴是直线x＝_________（2）顶点坐标是___________(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________。（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________-h(-h、k)减小增大增大减小课前热身：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为 yxo2、二次函数 y=x2 - ４x+3 的对称轴是3、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，- 4），则它的函数解析式为4、抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个思考:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？5、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：⑴ y=2x２-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5a<0c>0b>0直线x = 2y=-2(x – 1)2 - 4C(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?观察与归纳：⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+5抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2- 4ac﹥0b2- 4ac=0b2- 4ac<0当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 。当b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；观察与归纳： 1、当a ﹥0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；
当a ﹤0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展。2、当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:尝试成功：1、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个-110xy2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值⑴ y=2x2-8x-3 ⑵ y=-5x２＋３√２x- 43、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上， 那么b等于多少？D例题教学 已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图,说出取哪些值时,
①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0(-15,0)(1,0)(0,7.5)(7,32)(-14,7.5).0xyxoyxyo(0,c)(0,c)..y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c..五点法:课后练习：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________. 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个D学习感想：1、你能正确地说出二次函数的性质吗？2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
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