圆的总复习
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课件94张PPT。圆的复习第24章圆的复习本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.
2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.
3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
5.圆的旋转不变性.
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.
7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆.
9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆.
10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为
等弧.
11.顶点在圆心的角称为圆心角.
12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有
另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
点与圆的位置关系●A●B●C●Odrd﹥rd=rd﹤r练1：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值
范围是＿＿＿＿＿.r2cm3.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？2.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作⊙B，
问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？
（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有________个
2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在_______________ 上.
3.过三点的圆有______________个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）
5.锐角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形____ ，钝角三角形的外心在三角形____。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线斜边上 一、垂径定理③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形” 若 ① CD是直径② CD⊥AB1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r⑵经验点拔垂径定理的应用2、垂径定理的推论推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理及推论直径 (过圆心的线) (2)垂直弦
(3) 平分弦 (4)平分弧知二得二注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?错!1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.3AC=BC2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD
于点E,CE=1,AB=10,
求CD的长.ABCDEO.2 如图，在直角坐标系内，⊙D与y轴相切，与x轴相交于A（1，0），B（5，0）两点，圆心D在第四象限，则点D的坐标是 （ ）A （3，2） B （ ，-2）
C （3， ） D （2， ） 如图4，⊙M与x 轴相交于点A（2，0），
B（8，0），与y轴相切于点C，
则圆心M的坐标是（ ）3.矩形ABCD与圆O交A,B,E,F
DE=1cm,EF=3cm,则AB=___ABFECD4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___.5.如图，有两个同心圆，大圆的
弦AB为小圆的切线，切点为C.
若AB=4cm，求圆环的面积.ABCP6. 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7米，AB=28米 ，你能求出这个广场的半径吗？O7.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径。假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB长是 毫米9 mm5.某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，?ABO7.2m2.4mr=3.9 m 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件:③AB=A′B′④ OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角、弦、弧、弦心距、前四组量中有一组量相等，其余各组量也相等；2. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角
∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角为______.1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，
AB为直径，AC=BC， 则∠A的
度数为（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60°三、圆周角定理及推论 90°的圆周角所对的弦是 .定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 .直角直径判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.××√1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.60度30度2。已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC等于140度时，求∠ B的度数。110度3.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？若∠B=70度,则∠DOE=＿＿。E例1:求下列各图中的角αO.EBD80°αα=100°α=160°α=25°β=138°圆周角→弧→圆心角圆周角→弧→圆心角
圆的内接四边形外角等于内对角
圆周角→弧→圆周角
直径所对的圆周角为直角
圆心角→弧→圆周角
圆的内接四边形对角互补
α=42°由弧到角,由角看弧例2: 1)已知⊙o的内接△ABC中,∠A=30°,BC=2,
求⊙o 的半径。
ABCOA2A1A330° 2)已知⊙o的内接△ABC 中,BC=2，R=2，
点A是圆上任意一点，求∠A。. 想
一
想R=2∠A=30°, ∠A=150°
例3、已知：如图，AB是半圆的直
径，AC是一条弦，D是弧AC
的中点，DE⊥AB于E交AC于F，
DB交AC于G，
求证：AF=FGADEBFGCO..5123467如图,四边形ABDC为⊙O的内
接四边形,已知∠BOC为100°,
求∠BAC及∠BDC的度数。 解：∠BAC=50°,
∠BDC=130°练习一如图,BC是直径，则∠DBC＋∠BAE等于：( )
(A)60° (B)90°
(C)120° (D)180° B练习二 如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与
⊙O2交于点F．
求证：CE ∥ DF练习三3、如图，A、B、C三点在圆上，若∠ABC=400，
则∠AOC=4.如图,则∠1+∠2=__12.5.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B.70°
C．110° D.140° D例1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为
⊙O的直径，已知∠C=45°，
AD= ，求AB的长。例题讲解:例2、如图，矩形ABCD中，AB=1，
BC=2，以B为圆心，BC为半径画CE交
AD于F，交BA的延长线于E，求扇形BEC
被矩形所截剩余部分面积。
例3、如图，⊙O1和⊙O2相交于点
A、B，经过点A的直线分别交两圆于
C、D，经过点B的直线分别交两圆于
点E、F，且CD∥EF，
求证：CE=DF 例4、P是⊙O直径AB上一点，
PC⊥AB，PC交⊙O于C，∠OCP的
平分线交⊙O于D，当点P在半径OA
（包括0点，但不包括A点）上移动时，
试比较弧AD和弧BD的大小，
并证明你的结论。例5、已知，如图，AB是⊙O的直径，
弦CD交AB于P点，∠APD = 45?，
AP = 5，PB = 1。求：CD的长。例6、已知，⊙O中，直径CD交
弦AB于E，D是 的中点，
CD = 16cm，CE∶ED = 3∶1。
求AB的长。例7、已知：AB是⊙O中一条弦，
∠AOB = 120?，AB = 6cm，
求?AOB的面积。例8、已知，P是⊙O外一点，PO交
⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，又知
PO = 13cm，O到AB距离等于5cm，
PA = 5cm，求AB长。 例9. (2004山东枣庄)如图，在
△ABC中，AB＝17，AC＝5 ，
∠CAB＝45°，点O在BA上移动，
以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，
切点为D，设⊙O的半径为x，四边形
AODC的面积为y．
（1）求 y与x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC
都相切？√2175 √245°六、直线和圆的位置关系●ldrd﹥r——0d=r切线1d﹤r割线21.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点C为圆心,
4.8为半径的圆与线段AB的位置关系
是___________;相切设⊙C的半径为r,则当 ______________ 时,
⊙C与线段AB没交点;
当______________时,
⊙C与线段AB有两个交点;
当 ______________ 时,
⊙C与线段AB仅有一交点;0＜r＜4.8或r＞84.8＜r≤6r =4.8 或6＜r≤8六、切线的判定与性质1.如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，求证：AC是圆的切线切线的判定一般有三种方法：
1.定义法：和圆有唯一的一个公共点
2.距离法： d=r
3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径2.如图圆O切PB于
点B,PB=4,PA=2,则
圆O的半径是____.E 1.如图,若AB,AC与⊙O相切与点B,C两点,P为弧BC上任意一点,过点P作⊙O的切线交AB,AC于点D,E,若AB=8,则△ADE的周长为_______;
16cm若∠A=70°,则∠BPC= ___ ;125°M2、如图，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为直径，∠BAC=200，则∠P=3、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F 求证：
（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．S △ABC = C △ABC · r内AD = AF = ( b+c-a)BD = BE = ( a+c-b)CE = CF = ( a+b-c).三、三角形的内切圆AB＋CD＝AD＋CB1.已知△ABC外切于⊙O,
(1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD= __;BE= __;CF= __;
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_____;
(3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=____;S △ABC= C △ABC·r内184635172.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的弦长相等.则 ∠BOC=____.
A.140°B.135°C.130°D.125°EMNGFDBCAO∠BOC＝90°+ ∠AD3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶54.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则△ABC的外接圆半径为 。内切圆半径____
5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是______, ____6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点
A，B，C，其中B点
坐标为（4，4），则
该圆弧所在圆的圆心
坐标为 。圆复习 liudeguangABCO七.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.三角形的外心是否一定在三角形的内部？达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。（ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ ）
二、填空
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径————，内切圆半径————。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。
×√6.5cm2cm2:1三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
C四.一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______.
30交点个数 名称0外离1外切2相交1内切0内含同心圆是内含的特殊情况d , R , r 的关系dR rd > R + rd = R + rR-r< d < R+ rd = R - rd < R - r圆与圆的位置关系两圆位置关系的性质与判定:性质判定0R―rR+r同心圆内含外离 外切相交内切位 置 关 系 数 字 化d1,已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2＝3,
则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ )
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切2．已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距
是4，则这两个圆的位置关系是 （ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D． 内切 3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为6cm,则另一个圆的半径为_____.4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是______.例1、已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为
2R， ⊙O1、 ⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径？2、如图已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，
C为OA上一点，以AC为直径的半圆O1，和以
OB为直径的半圆O2相外切，求半圆O1的半径。3、如图，半径相等的两圆相切，且圆与ABCD各边
都切，CD=16，则圆的半径的为____。4、如图，在圆心角为90度的圆内画一圆与它相切，
且大圆半径为10，求小半径。6、已知如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O
内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为
y,AM的长为x，则y关系x的函数关系式是_____M3.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t（秒） 如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时, ⊙P和⊙Q外切？ABCD正多边形和圆 例 1 ①正六边形ABCDEF外切于⊙O, ⊙O的半径为R, 则该正六边形的周长为 面积为 .ABCDEFOMR ②正六边形的内切圆与外接圆面积之比是___. 例 2 ①如图1,正六边形ABCDEF的边长是a.分别以C,F为圆心, a 为半径作弧,则图中阴影部分的周长是_____.ABCDEF⌒⌒ ② 如图,等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.ABCOO’⌒一、圆的周长公式二、圆的面积公式C=2πrS=πr2三、弧长的计算公式四、扇形面积计算公式五 、大于半圆的弓形面积为S弓形=S扇形+S△六 、小于半圆的弓形面积为S弓形=S扇形-S△圆锥的侧面积和全面积圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，
圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积 和全面积弧长和扇形面积的计算例1 扇形AOB的半径为12cm,
∠AOB=120°,求AB的长和扇形
的面积及周长.例2 如图,当半径为30cm的转动轮
转过120°时,传送
带上的物体A平移
的距离为______.A 如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长。
扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇
形的圆心角的度数是_________°.
240° 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_______24πcm2练习圆锥有关的计算例小红准备自己动手用纸板制作圆锥
形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
们计算制作一个这样
的生日礼帽需要纸板
的面积为_________.|--36cm---|9cm.7、已知：在RtΔABC,
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：
以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。练习如图有一圆锥形粮堆,其正视图为
边长是6m的正三角形ABC,粮堆
的母线AC的中点P处有一老鼠正
在偷吃粮食此时,小猫正在B处,它
要沿圆锥侧面到达P,
处捕捉老鼠,则小猫
所经过的最短路程
是_____.(保留 )ABCP.4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知∠C=90度，AB=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。O专项练习4.圆的半径为R,则弦长L的取值范
围是___________.5.在正方形铁皮上剪下一个圆形和
扇形,使之恰好围成一个圆锥模型,
设圆的半径为r,扇形
半径为R,则r,
R间的关系是
____.|-- R --- |r6.平面上一点P到圆O上一点的距
离最长为6cm,最短为2cm,则圆O
的半径为_______.7.如图,圆的半径为2,则阴影部分
的面积为________####12.如图∠PAQ是直角,半径为5的圆O
与AP相切于点T,与AQ相交于点B,C
两点.
(1)BT是否平分∠OBA?
证明你的结论.
(2)若已知AT=4,
试求AB的长.PTAOBCQ与圆有关的作图问题1.三点作圆
2.补残圆
3..找直径
4.找圆心
5.三角形的内切圆与外接圆
6.作正多边形
7.已知图案要求仿照图案作图
8.圆锥侧面展开图
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.
2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.
3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
5.圆的旋转不变性.
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.
7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆.
9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆.
10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为
等弧.
11.顶点在圆心的角称为圆心角.
12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有
另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
点与圆的位置关系●A●B●C●Odrd﹥rd=rd﹤r练1：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值
范围是＿＿＿＿＿.r
问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？
（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有________个
2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在_______________ 上.
3.过三点的圆有______________个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）
5.锐角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形____ ，钝角三角形的外心在三角形____。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线斜边上 一、垂径定理③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形” 若 ① CD是直径② CD⊥AB1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r⑵经验点拔垂径定理的应用2、垂径定理的推论推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理及推论直径 (过圆心的线) (2)垂直弦
(3) 平分弦 (4)平分弧知二得二注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?错!1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.3AC=BC2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD
于点E,CE=1,AB=10,
求CD的长.ABCDEO.2 如图，在直角坐标系内，⊙D与y轴相切，与x轴相交于A（1，0），B（5，0）两点，圆心D在第四象限，则点D的坐标是 （ ）A （3，2） B （ ，-2）
C （3， ） D （2， ） 如图4，⊙M与x 轴相交于点A（2，0），
B（8，0），与y轴相切于点C，
则圆心M的坐标是（ ）3.矩形ABCD与圆O交A,B,E,F
DE=1cm,EF=3cm,则AB=___ABFECD4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___.5.如图，有两个同心圆，大圆的
弦AB为小圆的切线，切点为C.
若AB=4cm，求圆环的面积.ABCP6. 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7米，AB=28米 ，你能求出这个广场的半径吗？O7.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径。假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB长是 毫米9 mm5.某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，?ABO7.2m2.4mr=3.9 m 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件:③AB=A′B′④ OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角、弦、弧、弦心距、前四组量中有一组量相等，其余各组量也相等；2. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角
∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角为______.1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，
AB为直径，AC=BC， 则∠A的
度数为（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60°三、圆周角定理及推论 90°的圆周角所对的弦是 .定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 .直角直径判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.××√1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.60度30度2。已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC等于140度时，求∠ B的度数。110度3.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？若∠B=70度,则∠DOE=＿＿。E例1:求下列各图中的角αO.EBD80°αα=100°α=160°α=25°β=138°圆周角→弧→圆心角圆周角→弧→圆心角
圆的内接四边形外角等于内对角
圆周角→弧→圆周角
直径所对的圆周角为直角
圆心角→弧→圆周角
圆的内接四边形对角互补
α=42°由弧到角,由角看弧例2: 1)已知⊙o的内接△ABC中,∠A=30°,BC=2,
求⊙o 的半径。
ABCOA2A1A330° 2)已知⊙o的内接△ABC 中,BC=2，R=2，
点A是圆上任意一点，求∠A。. 想
一
想R=2∠A=30°, ∠A=150°
例3、已知：如图，AB是半圆的直
径，AC是一条弦，D是弧AC
的中点，DE⊥AB于E交AC于F，
DB交AC于G，
求证：AF=FGADEBFGCO..5123467如图,四边形ABDC为⊙O的内
接四边形,已知∠BOC为100°,
求∠BAC及∠BDC的度数。 解：∠BAC=50°,
∠BDC=130°练习一如图,BC是直径，则∠DBC＋∠BAE等于：( )
(A)60° (B)90°
(C)120° (D)180° B练习二 如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与
⊙O2交于点F．
求证：CE ∥ DF练习三3、如图，A、B、C三点在圆上，若∠ABC=400，
则∠AOC=4.如图,则∠1+∠2=__12.5.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B.70°
C．110° D.140° D例1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为
⊙O的直径，已知∠C=45°，
AD= ，求AB的长。例题讲解:例2、如图，矩形ABCD中，AB=1，
BC=2，以B为圆心，BC为半径画CE交
AD于F，交BA的延长线于E，求扇形BEC
被矩形所截剩余部分面积。
例3、如图，⊙O1和⊙O2相交于点
A、B，经过点A的直线分别交两圆于
C、D，经过点B的直线分别交两圆于
点E、F，且CD∥EF，
求证：CE=DF 例4、P是⊙O直径AB上一点，
PC⊥AB，PC交⊙O于C，∠OCP的
平分线交⊙O于D，当点P在半径OA
（包括0点，但不包括A点）上移动时，
试比较弧AD和弧BD的大小，
并证明你的结论。例5、已知，如图，AB是⊙O的直径，
弦CD交AB于P点，∠APD = 45?，
AP = 5，PB = 1。求：CD的长。例6、已知，⊙O中，直径CD交
弦AB于E，D是 的中点，
CD = 16cm，CE∶ED = 3∶1。
求AB的长。例7、已知：AB是⊙O中一条弦，
∠AOB = 120?，AB = 6cm，
求?AOB的面积。例8、已知，P是⊙O外一点，PO交
⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，又知
PO = 13cm，O到AB距离等于5cm，
PA = 5cm，求AB长。 例9. (2004山东枣庄)如图，在
△ABC中，AB＝17，AC＝5 ，
∠CAB＝45°，点O在BA上移动，
以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，
切点为D，设⊙O的半径为x，四边形
AODC的面积为y．
（1）求 y与x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC
都相切？√2175 √245°六、直线和圆的位置关系●ldrd﹥r——0d=r切线1d﹤r割线21.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点C为圆心,
4.8为半径的圆与线段AB的位置关系
是___________;相切设⊙C的半径为r,则当 ______________ 时,
⊙C与线段AB没交点;
当______________时,
⊙C与线段AB有两个交点;
当 ______________ 时,
⊙C与线段AB仅有一交点;0＜r＜4.8或r＞84.8＜r≤6r =4.8 或6＜r≤8六、切线的判定与性质1.如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，求证：AC是圆的切线切线的判定一般有三种方法：
1.定义法：和圆有唯一的一个公共点
2.距离法： d=r
3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径2.如图圆O切PB于
点B,PB=4,PA=2,则
圆O的半径是____.E 1.如图,若AB,AC与⊙O相切与点B,C两点,P为弧BC上任意一点,过点P作⊙O的切线交AB,AC于点D,E,若AB=8,则△ADE的周长为_______;
16cm若∠A=70°,则∠BPC= ___ ;125°M2、如图，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为直径，∠BAC=200，则∠P=3、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F 求证：
（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．S △ABC = C △ABC · r内AD = AF = ( b+c-a)BD = BE = ( a+c-b)CE = CF = ( a+b-c).三、三角形的内切圆AB＋CD＝AD＋CB1.已知△ABC外切于⊙O,
(1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD= __;BE= __;CF= __;
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_____;
(3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=____;S △ABC= C △ABC·r内184635172.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的弦长相等.则 ∠BOC=____.
A.140°B.135°C.130°D.125°EMNGFDBCAO∠BOC＝90°+ ∠AD3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶54.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则△ABC的外接圆半径为 。内切圆半径____
5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是______, ____6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点
A，B，C，其中B点
坐标为（4，4），则
该圆弧所在圆的圆心
坐标为 。圆复习 liudeguangABCO七.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.三角形的外心是否一定在三角形的内部？达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。（ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ ）
二、填空
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径————，内切圆半径————。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。
×√6.5cm2cm2:1三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
C四.一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______.
30交点个数 名称0外离1外切2相交1内切0内含同心圆是内含的特殊情况d , R , r 的关系dR rd > R + rd = R + rR-r< d < R+ rd = R - rd < R - r圆与圆的位置关系两圆位置关系的性质与判定:性质判定0R―rR+r同心圆内含外离 外切相交内切位 置 关 系 数 字 化d1,已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2＝3,
则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ )
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切2．已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距
是4，则这两个圆的位置关系是 （ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D． 内切 3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为6cm,则另一个圆的半径为_____.4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是______.例1、已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为
2R， ⊙O1、 ⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径？2、如图已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，
C为OA上一点，以AC为直径的半圆O1，和以
OB为直径的半圆O2相外切，求半圆O1的半径。3、如图，半径相等的两圆相切，且圆与ABCD各边
都切，CD=16，则圆的半径的为____。4、如图，在圆心角为90度的圆内画一圆与它相切，
且大圆半径为10，求小半径。6、已知如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O
内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为
y,AM的长为x，则y关系x的函数关系式是_____M3.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t（秒） 如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时, ⊙P和⊙Q外切？ABCD正多边形和圆 例 1 ①正六边形ABCDEF外切于⊙O, ⊙O的半径为R, 则该正六边形的周长为 面积为 .ABCDEFOMR ②正六边形的内切圆与外接圆面积之比是___. 例 2 ①如图1,正六边形ABCDEF的边长是a.分别以C,F为圆心, a 为半径作弧,则图中阴影部分的周长是_____.ABCDEF⌒⌒ ② 如图,等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.ABCOO’⌒一、圆的周长公式二、圆的面积公式C=2πrS=πr2三、弧长的计算公式四、扇形面积计算公式五 、大于半圆的弓形面积为S弓形=S扇形+S△六 、小于半圆的弓形面积为S弓形=S扇形-S△圆锥的侧面积和全面积圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，
圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积 和全面积弧长和扇形面积的计算例1 扇形AOB的半径为12cm,
∠AOB=120°,求AB的长和扇形
的面积及周长.例2 如图,当半径为30cm的转动轮
转过120°时,传送
带上的物体A平移
的距离为______.A 如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长。
扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇
形的圆心角的度数是_________°.
240° 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_______24πcm2练习圆锥有关的计算例小红准备自己动手用纸板制作圆锥
形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半
径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他
们计算制作一个这样
的生日礼帽需要纸板
的面积为_________.|--36cm---|9cm.7、已知：在RtΔABC,
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：
以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。练习如图有一圆锥形粮堆,其正视图为
边长是6m的正三角形ABC,粮堆
的母线AC的中点P处有一老鼠正
在偷吃粮食此时,小猫正在B处,它
要沿圆锥侧面到达P,
处捕捉老鼠,则小猫
所经过的最短路程
是_____.(保留 )ABCP.4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知∠C=90度，AB=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。O专项练习4.圆的半径为R,则弦长L的取值范
围是___________.5.在正方形铁皮上剪下一个圆形和
扇形,使之恰好围成一个圆锥模型,
设圆的半径为r,扇形
半径为R,则r,
R间的关系是
____.|-- R --- |r6.平面上一点P到圆O上一点的距
离最长为6cm,最短为2cm,则圆O
的半径为_______.7.如图,圆的半径为2,则阴影部分
的面积为________####12.如图∠PAQ是直角,半径为5的圆O
与AP相切于点T,与AQ相交于点B,C
两点.
(1)BT是否平分∠OBA?
证明你的结论.
(2)若已知AT=4,
试求AB的长.PTAOBCQ与圆有关的作图问题1.三点作圆
2.补残圆
3..找直径
4.找圆心
5.三角形的内切圆与外接圆
6.作正多边形
7.已知图案要求仿照图案作图
8.圆锥侧面展开图
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