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26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质教学设计
课题 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想. 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.
重点 把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标和相关性质。
难点 把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题1:你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 问题2:函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质 学生回顾，填空，思考问题 复习旧知，归纳学习函数图象的步骤和方向，为本节新课奠定基础．
讲授新课 1.怎样将 转换成y=a(x-h)2+k形式？ 配方： = = = 配方步骤：1、“提”：提出二次项系数； “配”：括号内配成完全平方； 3、“化”：化成顶点式. 称为一般式； y=称为顶点式. 一般式通过配方得到顶点式. 2.探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴 由配方的结果可知， y=的顶点是(1,-2)，对称轴是x=1. 因此，的顶点是(1,-2)，对称轴是x=1. 根据前面的知识，我们可以先画出二次函数 的图象，然后把这个图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到二次函数 的图象. 思考：还有其他平移方法吗？ 先画出二次函数的图象，然后把这个图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到二次函数的图象. 除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象. 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质。 解: 函数通过配方可得y=， 先列表： 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点是 如果a>0，当时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大 ； 如果a<0，当时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小. 通过配方法将二次函数一般式转变为顶点式，并探究其性质. 通过环节一的练习，总结规律，找出y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴. 教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识. 在学生画函数图象的基础上引导学生探索图象的性质，归纳出掌握函数的基本方法． 从具体问题到一般规律获得二次函数y=ax2+bx+c的性质. 引导学生学会总结规律
课堂练习 1. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位，再向右平移一个单位后，得到的抛物线的表达式是( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 2．抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( ) A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 3．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，m)，B (4，m)，C(5，n)，则c和n的大小关系是c________n.(填“< ”“>”或“＝” ) 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M_______N.(填“＞”“＝”或“＜”) 5. 已知抛物线y＝x2＋bx－3经过点(2，－3). (1)求这条抛物线的表达式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点． (1)求二次函数的表达式； (2)结合函数的图象探索：当y>0时，x的取值范围 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 图象：抛物线 性质：开口方向 对称轴 顶点 增减性 对称性 解析式（一般式、顶点式）：待定系数法 例 练习
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26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导学案
课题 26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想. 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.
重点难点 重点：把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标和相关性质。. 难点：把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。
教学过程
知识链接 1．函数图象的开口______，对称轴为 ______，顶点坐标是( ， ). 2.二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
合作探究 一、教材第14页 探究点一： 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质 怎样将转换成y=a(x-h)2+k形式？ 配方步骤：1、“提”：提出二次项系数； “配”：括号内配成完全平方； 3、“化”：化成顶点式. 称为一般式； y=称为顶点式. 一般式通过配方得到顶点式. 探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴 由配方的结果可知,y=的顶点是 ，对称轴是 . 因此，的顶点是 ，对称轴是 . 的图象由怎样平移来的？ 思考：还有其他平移方法吗？ 除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象. 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质。 解: 函数通过配方可得y=， 先列表： 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x的增大而 ； 当x＞1时，函数值y随x的增大而 ； 当x=1时，函数取得最大值，最大值 . 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
自主尝试 1.抛物线的对称轴是直线( ) A. B. C. D. 2.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有( ) A. B. C. D. 3.把二次函数配方得 ，故其函数图象的开口 ， 对称轴为_______，顶点坐标为________，当时，随的增大而___， 当时，随的增大而_______，当________时，有最_____值是______． 【方法宝典】 根据二次函数y=a的性质进行解题即可.
当堂检测 1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 ( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 2. 抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是 ( ) A.直线x=2 B.直线x=-2 C.直线x=1 D.直线x=-1 3.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为 ( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-1,3) 4.关于抛物线y=-x2-2x-3,下列说法错误的是 ( ) A.开口方向向下 B.对称轴是直线x=-1 C.当x>-1时,y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(-1,-2) 5.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的函数关系式是 ( ) A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2 6.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是 ( ) 图1 7.抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示: x…-2-1012…y…04664…
从上表可知,下列说法中,错误的是 ( ) A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0) B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6) C.抛物线的对称轴是直线x=0 D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的 8.抛物线y=-x2-2x-6的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,当x 时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小. 9.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为 . 10.图2是二次函数y=ax2-5x+4-a2的图象,那么a的值是 . 11.已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1,当x<时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 . 图2 图3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示,若M=4a+2b,N=a-b,则M,N的大小关系为M N.(填“>”“=”或“<”) 13.已知二次函数y=2x2-4x-6 (1)求函数图象的对称轴、顶点坐标; (2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标; (3)当x为何值时,y随x的增大而增大 (4)x为何值时,y≥0 14.已知抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,3),平移抛物线y得到抛物线y1,抛物线y1的顶点为B(-1,-4).请说明平移的过程,并写出抛物线y1的函数关系式. 15.如图5所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C. (1)求m的值; (2)求点B的坐标; (3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D. 6. C 7. C 8. 下 (-2,-4) 直线x=-2 <-2 >-2 9. -4 10. -2 11. 00,函数图象的对称轴为直线x=1, ∴当x>1时,y随x的增大而增大. (4)当x≤-1或x≥3时,y≥0. 14.解:∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,3), 则将A(0,3)代入y=-x2+2x+C,得c=3, ∴y=-x2+2x+3,=-(x2-2x+1)+1+3,=-(x-1)2+4, ∴抛物线y的顶点坐标为(1,4). ∵抛物线y1的顶点为B(-1,-4), ∴平移的过程不唯一,如先向左平移2个单位,再向下平移8个单位, 抛物线y1的函数关系式为y=-(x+1)2-4. 15.解:(1)将(3,0)代入二次函数关系式, 得-32+2×3+m=0,解得m=3. (2)∵m=3,∴二次函数的关系式为y=-x2+2x+3. 令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.∴点B的坐标为(-1,0). (3)∵S△ABD=S△ABC,点D在第一象限, ∴点C,D关于函数图象的对称轴对称. 由二次函数关系式可得其图象的对称轴为直线x=1,点C的坐标为(0,3), ∴点D的坐标为(2,3).
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26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
华师大版 九年级下册
复习导入
上下平移
左右平移
左右平移
上下平移
已经学过的二次函数之间的关系
一般式
配方
顶点式
对比
对称轴：
顶点坐标：
复习导入
小贴士
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
新知讲解
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质
问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式
新知讲解
配方可得：
=
=
=
想一想：配方的方法及步骤是什么
新知讲解
配方
你知道是怎样配方的吗
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
y=
新知讲解
问题2 你能说出y=的对称轴及顶点坐标吗
答：对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1，-2）.
问题3 二次函数y=可以看作是由怎样平移得到的
答：平移方法1：
先向下平移2个单位，再向右平移1个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.
新知讲解
例 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质。
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数通过配方可得y=，
先列表：
归纳总结
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
思考
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax +bx+c
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
课堂练习
1. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
2．抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
D
A
课堂练习
3．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，m)，B (4，m)，C(5，n)，则c和n的大小关系是c________n.(填“< ”“>”或“＝” )
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M_______N.(填“＞”“＝”或“＜”)
＜
＜
课堂练习
5. 已知抛物线y＝x2＋bx－3经过点(2，－3).
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：(1)把(2，－3)代入y＝x2＋bx－3，得4＋2b－3＝－3，
解得b＝－2，则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∵a＝1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)
课堂练习
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过
B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)结合函数的图象探索：当y>0时，x的取值范围．
课堂练习
解：(1)将B(2，2)，C(0，2)代入得b＝，c＝2，
即y＝－x2＋x＋2
(2)令y＝0，求出与x轴的交点坐标分别为(－1，0)，(3，0).
结合函数图象，当y＞0时，－1＜x＜3
作业布置
1.课本P18 练习 1,2,3
2．二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0).
(1)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)在所给坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋3的图象．
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
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