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26.2.2二次函数最值教学设计
课题 二次函数最值 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值。 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题。
重点 会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值或最小值。
难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题1 二次函数 问题2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 问题3 如何用一元二次方程模型解决实际问题？ 教师带领学生复习二次函数的概念以及图象及性质，回顾本章的两个知识点.再回顾用一元二次方程解决实际问题的方法. 复习本章之前学习过的知识，为本节课所学知识做好铺垫.
讲授新课 问题1 如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃面积最大？ 解：设矩形的宽AB为x m，则矩形的长BC为(20-2x)m，由于x>0，且 20-2x>0，所以00，且>0，即得到 x＞0, 不等式组 ＞0, 解这个不等式组，得到不等式组的解集为0课堂练习 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 2．用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120 3．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2. 4．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积 是 . 5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围； (2)请设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用. 6、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 二次函数的简单应用 例1. 解：设宽AB为x m，则BC=(20-2x)m. 由于x>0，且20-2x>0，则021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
26.2.2二次函数最值
华师大版 九年级下
复习导入
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大.
当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大.
直线
直线
做一做
小贴士
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；
顶点坐标：（ ， ）；最大值：.
新知讲解
问题1 如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
怎样围法才能使围成的花圃面积最大？
解：根据题意，得y=-2x2+20x（0＜x＜10）
配方，得y=-2（x-5）2+50
函数图象开口向下，顶点坐标为（5，50），即当x=5时，函数取得最大值50.
所以当AB长为5m，BC长为10m时，花圃的面积最大，为50m2.
试一试
问题2 某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
你会解吗？
请同学们完成这个问题的解答
新知讲解
解：根据题意，得关系式为
y=-100x2+100x+200（0≤x≤2）
=-100
∵ 0≤x≤2
∴当x=时，y有最大值，最大值为225.
方法点拨
当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
典例精析
例5 用长为6米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为x m，则长为m.这里应有x＞0，且，故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
典例精析
配方得
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
因此，所做矩形窗框的宽为1m，长为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积为1.5m2.
即 y=-x2+3x
y=- (x-1)2+
∴当x=1时，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0思考
（1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为60米，怎样围才能使车棚的面积最大
做一做
解:(1)设长方形的面积为Sm2,自行车棚的宽为xm,
由题意得:S=x(60-2x)=-2x2+60x,
即S=-2（x-15）2+450
∴当x=15时，车棚的面积最大，
答:让与墙垂直的边等于15m，与墙平行的边等于30m车棚的面积最大.
（2） 在（1）中，如果可利用的墙壁长为25米，怎样围才能使车棚的面积最大
解：设长方形的面积为Sm2 ,自行车棚的长(与墙平行的边)为ym,
由题意得: ,
即 ,
∵a= ＜0
∴ 当y≤30时,S随y的增大而增大,
当y=25时,车棚的面积最大,
答:让与墙垂直的边等于17.5m,与墙平行的边等于30m时车棚的面积最大.
思考
题（2）与题 （1）的解答完全相同吗 试比较并作出正确的解答，和同学交流。
题(2)与题(1)的解答不完全相同,题(2)要考虑墙的课利用长度,题(1)不用考虑。
思考
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
课堂练习
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
2．用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
C
D
课堂练习
3．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.
4．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 .
24 m2
12.5
课堂练习
5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)请设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
解:(1)设矩形一边长为x m，则另一边长为(6－x) m,
∴ S=x(6－x)=－x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=－x2+6x=－(x－3)2+9,
∴当x=3时,即矩形的一边长为3m时,矩形面积最大,为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000(元).
∵ 0＜x<6,
课堂练习
6.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
课堂练习
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
作业布置
1.课本P20 练习 2,3
2.已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？
课堂小结
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
1、求出函数解析式和自变量的取值范围
2、 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值
3、检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须
在自变量的取值范围内
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26.2.2二次函数的最值导学案
课题 26.2.2二次函数的最值 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1.会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值． 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．
重点难点 重点：会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值或最小值. 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值。
教学过程
知识链接 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
合作探究 一、教材第19页 现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章 第1节中提出的两个问题 问题1、如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃面积最大？ 解： 二、教材第19页 问题2、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品每件每降低0.1元，其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大 解： 三、教材第19页 例5、用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大 最大透光面积是多少 (铝合金型材宽度不计) 四、教材第20页 试一试 (1)如图6,要搭建-一个矩形的自行车棚,一边靠墙,另外三边围栏材料的总长为60米，怎样围才能使车棚的面积最大 (2)在(1)中，如果可利用的墙壁长为25米,怎样围才能使车棚的面积最大 题(2)与题(1)的解答完全相同吗 试比较并作出正确的解答,和同学交流
自主尝试 1.二次函数y=(x+1)2-2的最小值是 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知二次函数y=a(x-1)2+b(a≠0)有最大值2,则a,b的大小关系为 ( ) A.a>b B.a当堂检测 1.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( ) A.m≥2 B.0≤m≤2 C.2≤m≤4 D.m≤4 2.如图1,在△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=6 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以 1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是 ( ) A.18 cm2 B.12 cm2 C.9 cm2 D.3 cm2 3.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(-1,-3),则代数式mn+1有 ( ) A.最小值-3 B.最小值3 C.最大值-3 D.最大值3 图1 图2 4.如图2,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=12,AD=8,矩形EFGH的边EF在BC上,点G,H分别在AC,AB上运动,当矩形EFGH的面积最大时,EF的长是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.已知二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,2),则函数y的最小值是 . 6.直角三角形的一条直角边长为x cm,两条直角边长的和为14 cm,则此三角形的面积y与x之间的函数关系式为 (不用体现自变量的取值范围);当x= cm时,直角三角形有最大面积,最大面积为 cm2. 7.王大伯决定销售一批风筝,经市场调研发现,蝙蝠型风筝进价为每个10元,当售价为每个12元时,每日销售量为180个,若售价每个每提高1元,每日销售量就会减少10个,当销售单价是 元/个时,王大伯获得的利润最大. 8.如图3,在正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与点B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为 . 图3 9.某商场以每件50元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=-x+100. (1)求商场销售这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围). (2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到700元 如果能,求出此时的销售价格;如果不能,请说明理由. 10.某广告公司要设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米. (1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)设计费能达到30000元吗 为什么 (3)当x是多少时,设计费最多 最多是多少元 11.如图4,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-4与x轴交于点A,B,与y轴交于 点C. (1)求点A,B,C的坐标; (2)若M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMC的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. 图4 12.某企业生产并销售某种产品.假设销售量与产量相等,如图5中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系. (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义; (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式; (3)当该产品的产量为多少时,获得的利润最大 最大利润是多少
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. C 2. C 3. A 4. B . 5. -2 6. y=-x2+7x 7 7. 20 8. 4 9.解:(1)y=(x-50)(-x+100)=-x2+150x-5000. (2)不能.理由:∵y=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625, ∴当x=75时,获得的利润最大,最大利润为625元. ∵700>625,∴销售利润不能达到700元. 10.解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米, ∴S=x(8-x)=-x2+8x(065时,W随x的增大而减小, ∴当x=90时,W有最大值,W最大值=-0.6×(90-65)2+2535=2160. ∵2160<2250,∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250. 因此,当该产品的产量为75 kg时,获得的利润最大,最大利润是2250元.
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