浙教版九年级数学上册第4章相似三角形 期末复习训练题(2) （word版含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2（附答案）
1．已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
2．下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm，6cm，8cm，9cm B．3cm，5cm，6cm，9cm
C．3cm，6cm，7cm，9cm D．3cm，6cm，9cm，18cm
3．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．10
5．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的 （　　）
A．16倍 B．8倍 C．4 倍 D．2 倍
6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
7．附加题：若x＝，则x＝　 　．
8．已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝　 　．
9．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为　 　（用n表示）．
10．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为　 　．
11．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　 　m．
12．两个相似三角形周长的差是4cm，面积的比是16：25，那么这两个三角形的周长分别是　 　cm和　 　cm
13．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是　 　．（填序号）
14．如图，在直线m上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3＝12，则S2＝　 　．
15．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为　 　米．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是　 　；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是　 　．
17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．
（1）求下列各线段的比：，，；
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
18．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：EF∥CD．
19．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．
（1）求CE的长；
（2）求证：BC⊥AD．
20．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
21．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
22．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值；
（2）如图2，当OA＝OB，且时，求tan∠BPC的值．
（3）如图3，当AD：AO：OB＝1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．
参考答案
1．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
2．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；
B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；
C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；
D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；
故选：D．
3．解：∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
4．解：∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，
∵CD＝16．CE+ED＝CD，
∴DE＝，
故选：D．
5．解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．
故选：A．
6．解：∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
7．解：①a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴x＝＝＝﹣1；
②a+b+c≠0时，x＝＝＝．
综上所述，x＝或﹣1．
故答案为：或﹣1．
8．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；
故答案为2．
9．证明：∵AD：DC＝1：n，
∴AD：AC＝1：（n+1）．
作DG平行于AF交BC于G，则＝，
根据比例的性质知，＝＝，
又E是BD的中点，
∴EF是△BGD的中位线，
∴BF＝FG．
∴＝．
故答案为：．
10．解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，
所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：，
故答案为：
11．解：设每条纵向小路的宽为xm．
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
或，
解得x＝25.8（不符合实际意义）
故答案为：1.8．
12．解：由题意，相似比＝4：5，
两个相似三角形周长的比是4：5，
可得：5x﹣4x＝4，
解得：x＝4，
所以这两个三角形的周长分别是16cm，20cm；
故答案为：16；20
13．解：∵在 ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝4，＝（）2＝，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故答案为：①②③．
14．解：设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∵F、G分别是BC、CE的中点，AB∥HF∥DC∥GN，
∴MF＝AC＝BC，PF＝AB＝BC，
又∵BC＝CE＝CG＝GE，
∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，
∴S1＝S，S3＝2S，
∵S1+S3＝12，
∴S+2S＝12，
∴S＝4.8，
故答案为：4.8．
15．解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高，
∴BG＝BC，DF＝DE＝×12cm＝0.06m，
AF为臂长，即60cm＝0.6m．AG＝30m，
由题意可知△AFD∽△AGB，即＝，
即＝，解得BG＝3m，∴BC＝2BG＝2×3＝6m．
16．解：∵OA＝2．OC＝1，
∴B（﹣2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（﹣3，），
同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 （﹣，）．
故答案为 （﹣1，），（﹣，）．
17．解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，
∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，
∴＝＝，＝＝，＝；
（2）成比例线段有＝．
18．证明：∵DE∥BC，
∴，
∵AD2＝AF AB，
∴，
∴，
∴EF∥DC．
19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴
又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3
∴EC＝3.1；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BC⊥AD．
20．解：（1）△BPQ是等边三角形
当t＝2时
AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4
∴BQ＝BP
又∵∠B＝60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，
∴BE＝t，QE＝t
由AP＝t，得PB＝6﹣t
∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝﹣t
∴S＝﹣t；
（3）∵QR∥BA
∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°
∴△QRC是等边三角形
∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t
∵BE＝BQ cos60°＝×2t＝t
∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t
∴EP∥QR，EP＝QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR＝EQ＝t
又∵∠PEQ＝90°，
∴∠APR＝∠PRQ＝90°
∵△APR∽△PRQ，
∴，
∴
解得t＝
∴当t＝时，△APR∽△PRQ．
21．证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
22．
解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
∵D为OA中点，
∴AE＝CE＝，，
∵点C为OB中点，
∴BC＝CO，，
∴，
∴PC＝＝，
∴＝2；
（2）过点D作DE∥BO交AC于E，
∵，
∴＝＝，
∵点C为OB中点，
∴，
∴，
∴PC＝＝，
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD＝a，则AO＝4a，
∵OA＝OB，点C为OB中点，
∴CO＝2a，
在Rt△ACO中，AC＝＝＝2a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴，
∴AF＝，DF＝，
PF＝AC﹣AF﹣PC＝2a﹣﹣＝，
tan∠BPC＝tan∠FPD＝＝．
（3）与（2）的方法相同，设AD＝a，求出DF＝a，
PF＝a，所以tan∠BPC＝．