2.3 三角形的内切圆同步练习（含解析）
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浙教版九年级下 2.3三角形的内切圆同步练习
一．选择题
1．（2021秋 沭阳县月考）⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高的交点
2．（2021秋 夏津县期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
3． 下列说法正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D．弦的垂直平分线必过圆心
4．（2020秋 周村区期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
5．（2020 游仙区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，⊙O1和⊙O2分别是Rt△ABC的内切圆和外接圆，已知∠C是直角，∠A＝30°．且⊙O2的半径为2a，则⊙O1的半径等于（ ）
A．（﹣1）a B．（﹣1）a C．（）a D．a
7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S＝lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2（AD+CF+BE）＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
9．（2020 武汉模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7 B．7 C． D．
二．填空题
10．（2020秋 新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 ．
11．（2020秋 雨花区期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
12．（2020秋 江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为 ．
13．（2020秋 海陵区校级月考）若关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0的两个根恰好是△ABC的两条边的长，△ABC的一个内角度数为120°，△ABC内切圆半径为 ．
14．（2020秋 永年区期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 cm．
15．（2020 浙江自主招生）如图，设CD是△ABC的高，I1，I2分别是△ADC、△BDC的内心，DC＝12，AD＝9，BD＝16，则I1I2等于 ．
16．（2021 宁波模拟）如图，矩形ABCD的两个端点A，B落在⊙O上，CD与⊙O相切，已知AD＝2，AB＝8，连接AO，BO，点E为优弧上一点，若△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，那么∠BOE的度数为 度．
三．解答题
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长．
18．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．
19．已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．
20．（2020 滦州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AI平分∠BAC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O切AI于点I，交AB于点F．
（1）求证：I是△ABC的内心；
（2）连接IF，若IF＝2，∠IBC＝30°，求圆心O到BI的距离及弧IF的长．
21．（2020 潍坊三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，连接AI，AD，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 沭阳县月考）⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高的交点
【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：C．
2．（2021秋 夏津县期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD＝BG，CE＝CG，MH＝MD，NH＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN，
＝AM+MH+AN+NH
＝AM+MD+AN+NE
＝AD+AE
＝8（cm）．
∵△ABC的周长＝AD+AE+BD+BC+CE
＝8+BG+CG+BC
＝8+2BC
＝18（cm）．
∴BC＝5
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D．弦的垂直平分线必过圆心
【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．错误，应该是在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补；
B、和半径垂直的直线是圆的切线．错误．必须经过半径的外端；
C、三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．错误，应该是三角形的内心到三角形的三边距离相等；
D、正确．
故选：D．
4．（2020秋 周村区期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
【解析】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
5．（2020 游仙区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：
如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，
∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴OE＝OH＝OF，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴×3×4＝×3×OH+×4×OF+×5×OE，
∴OE＝OF＝OH＝1，
法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴四边形OFBH是矩形，
∴BF＝OH＝1，
∴CF＝3，
∵点O为Rt△ABC的内心，
∴∠OCF＝∠OCE，
又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，
∴△COE≌△COF（AAS），
∴CE＝CF＝3，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，
∴OD＝DC，
∵OD2＝DE2+OE2，
∴CD2＝（3﹣CD）2+1，
∴CD＝；
法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，
∴AB∥DG，DG＝OF＝1，
∴△ABC∽△DGC，
∴，
∴，
∴DC＝；
故选：A．
6． 如图，⊙O1和⊙O2分别是Rt△ABC的内切圆和外接圆，已知∠C是直角，∠A＝30°．且⊙O2的半径为2a，则⊙O1的半径等于（ ）
A．（﹣1）a B．（﹣1）a C．（）a D．a
【解析】解：设⊙O1的半径为r，
∵⊙O2的半径为2a，
∴AB＝4a，
∵∠C是直角，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝2a，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝2a，
∵AC BC＝（AB+BC+AC） r，
∴2a 2a＝（4a+2a+2a） r，
解得：r＝（﹣1）a，
故选：B．
7． 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S＝lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2（AD+CF+BE）＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【解析】解：如图，作直径ET,连接DT．
∵AB是⊙O的切线，
∴ET⊥AB,
∴∠AET＝90°,
∴∠AED+∠DET＝90°,
∵ET是直径，
∴∠EDT＝90°,
∴∠DET+∠ETD＝90°,
∴∠AED＝∠ETD,
∵∠EFD＝∠ETD,
∴∠AED＝∠EFD,
同法可证，∠BFE＝∠EDF,∠CDF＝∠DEF,
∵∠EFD+∠EDF+∠DEF＝180°,
∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°,故①正确，
连接OA,OB,OC,OF,OD．
∵S＝S△AOB+S△BOC+S△ACO＝ AB OE+ BC OF+ AC OD＝ (AB+BC+AC) r＝lr,故②正确，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°,∠BEF+∠BFE+∠ABC＝180°
∴∠BEF+∠BFE＝∠BAC+∠ACB,
∵∠BEF＝∠EDF,∠BFE＝∠EDF,
∴2∠EDF＝∠BAC+∠ACB,故③正确，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，
∴AE＝AD,CD＝CF,BE＝BF,
∴2(AD+CF+BE)＝l,故④正确，
故选：A．
9．（2020 武汉模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7 B．7 C． D．
【解析】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝20×＝AB CD，
∴20＝b c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
故选：D．
二．填空题
10．（2020秋 新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 1 ．
【解析】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴∠C＝90°，
连接OE、OQ，
设圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，
∴四边形OECQ是正方形，
∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，
∵AF+BF＝5，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
∴r＝1，
故答案为：1．
11．（2020秋 雨花区期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
【解析】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝，
∴OM＝．
则该三角形内心与外心之间的距离为．
故答案为：．
12．（2020秋 江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为 4 ．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝13，AC＝15，BC＝14，
设BH＝x，则CH＝14﹣x，
在Rt△ABH中，AH2+x2＝132，
在Rt△AHC中，AH2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ACH中，AH＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC AH＝×14×12＝84，
∵△ABC的内切圆圆心为I，切点分别为D，E，F，连接ID，IE，IF，AI，BI，CI，
∴ID＝IE＝IF，
∴S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，
∴84＝AB ID+BC IE+AC IF，
∴84＝ID（13+14+15），
∴ID＝4．
∴△ABC的内切圆半径为4．
故答案为：4．
13．（2020秋 海陵区校级月考）若关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0的两个根恰好是△ABC的两条边的长，△ABC的一个内角度数为120°，△ABC内切圆半径为 6﹣9 ．
【解析】解：关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，即（﹣12）2﹣4×1×（k2﹣4k+40）≥0，
整理得：（k﹣2）2≤0，
∵（k﹣2）2≥0，
∴k＝2，
此时方程为x2﹣12x+36＝0，方程的两根为x1＝x2＝6，即AABC是等腰三角形，
∵△ABC的一个内角度数为120°，
∴不妨设AB＝AC＝6，则∠BAC＝120°，
如图，设△ABC的内切圆圆心为O，与AB、BC切于点E、D，连接AD、OE，则点O在AD上，
∴AD⊥BC，OE⊥AB，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝60°，
∴AD＝AB＝3，
设OD＝OE＝r，则AO＝＝，
∵AO+OD＝3，
∴r+＝3，
解得：r＝6﹣9．
故答案为：6﹣9．
14．（2020秋 永年区期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 8 cm．
【解析】解：设G，H分别是⊙O的切点，由切线长定理得，BD＝BG，CE＝CG，MH＝MD，NH＝NE，
∴BD+CE＝BG+CG＝5（cm），
∴AD+AE＝18﹣10＝8（cm），
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NE＝AD+AE＝8（cm），
故答案为：8．
15．（2020 浙江自主招生）如图，设CD是△ABC的高，I1，I2分别是△ADC、△BDC的内心，DC＝12，AD＝9，BD＝16，则I1I2等于 5 ．
【解析】解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，
在直角三角形ADC中，AC＝＝＝15，
在直角三角形BDC中，BC＝＝＝20，
∵I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
∴I1E＝（AD+CD﹣AC）＝（9+12﹣15）＝3，
连接DI1、DI2，
则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
∵∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB＝45°，
∴∠I1DI2＝90°，
∴I1D⊥I2D，
∴DI1＝EI1＝3，
同理，可得I2F＝4，DI2＝4，
∴I1I2＝＝＝5．
故答案为：5．
16．（2021 宁波模拟）如图，矩形ABCD的两个端点A，B落在⊙O上，CD与⊙O相切，已知AD＝2，AB＝8，连接AO，BO，点E为优弧上一点，若△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，那么∠BOE的度数为 96 度．
【解析】解：如图，设⊙O半径为R，CD与⊙O相切于点F，连接OF交AB于点G，则CD⊥OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OGB＝∠OFC＝90°，
∴OF⊥AB，
∴BG＝AG＝AB＝×8＝4，
∴∠AGF＝∠GFD＝∠D＝90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴FG＝AD＝2，
∵OB2＝OG2+BG2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5，
∴OB＝OF＝5，OG＝5﹣2＝3，
作∠ABO的平分线交OG于点I，作IH⊥OB于点H，
∵IG⊥BA，
∴IG＝IH，
∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴OF平分∠AOB，
∴点I为△ABO的内心，且IG和IH都是△ABO内切圆的半径，
如图，以点I为圆心，以IG为半径作圆，则⊙I就是△ABO的内切圆，
∴BH＝BG＝4，
∴OH＝5﹣4＝1，
∵∠OHI＝∠OGB＝90°，
∴＝tan∠BOG＝，
∴IH＝1×＝，
设∠BOE的度数为n，
∵△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，
∴的弧长与⊙I的周长相等，
∴＝2π×，
∴n＝96，
故答案为：96．
三．解答题
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长．
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，
∵AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，
∴AF+BF＝18cm，BD+CD＝28cm，AE+CE＝26cm，
∴AF＝8cm，BD＝10cm，CE＝18cm．
18．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．
【解析】证明：（1）如图1，连接OD，OC，
∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴，
∴∠BOC＝∠BAE，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠COD＝×180°＝60°，
∵CD∥AB，
∴S△ACD＝S△COD，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝；
（3）如图2，过点B作BP⊥CN，
∵点M是△ACB的内心，
∴∠ACN＝∠BCN＝45°，∠CBM＝∠ABC＝30°，
∵BP⊥CN，
∴∠NCB＝∠CBP＝45°，
∴CP＝BP＝BC，
∵∠CAB＝∠CNB＝30°，
∴PN＝PB＝BC，
∴CN＝PN+CP＝BC，
∵∠CBM＝∠CNB＝30°，∠MCB＝∠NCB，
∴△MCB∽△BCN，
∴，
∴BC2＝BC×（BC﹣2），
∴BC＝2，
∴CN＝×2＝+．
19．已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．
【解析】证明：∵EG垂直平分BP，
∴EP＝BE，
∵AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴以E为圆心、EB为半径作圆E，则点P、C都在该圆的圆周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE＝∠BAE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣∠PEC＝∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC＝90°﹣∠PEC，
∴∠PAE＝∠EPC，
∴EP是△APF的外接圆的切线．
20．（2020 滦州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AI平分∠BAC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O切AI于点I，交AB于点F．
（1）求证：I是△ABC的内心；
（2）连接IF，若IF＝2，∠IBC＝30°，求圆心O到BI的距离及弧IF的长．
【解析】（1）证明：如图，延长AI交BC于D，连接OI．
∵⊙O切AI于点I，
∴OI⊥AI．
∵AB＝AC，AI平分∠BAC．
∴AD⊥BC．
∴OI∥BD．
∴∠OIB＝∠IBD．
∵OB＝OI，
∴∠ODB＝∠OBI．
∴∠OBI＝∠IBD．
∴BI平分∠ABC．
∵AI平分∠BAC．
∴I是△ABC的内心；
（2）解：作OE⊥BI于点E，由垂径定理可知：OE平分BI，
∴E是BI的中点，
∵OB＝OF，
∴OE是△FBI的中位线，
∵IF＝2，
∴OE＝IF＝1，
∴圆心O到BI的距离为1；
∵∠IBC＝30°，
在Rt△OBE中，OB＝2OE＝2，
∵OF＝OI＝FI，
∴△FOI是等边三角形，
∴∠FOI＝60°，
∴弧IF的长度＝＝．
21．（2020 潍坊三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，连接AI，AD，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
【解析】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF，∠CBD＝∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴∠ADG＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADG＝∠CAD，
∴DG∥AC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
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浙教版九年级下 2.3三角形的内切圆同步练习
一．选择题
1．（2021秋 沭阳县月考）⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高的交点
2．（2021秋 夏津县期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
3． 下列说法正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D．弦的垂直平分线必过圆心
4．（2020秋 周村区期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
5．（2020 游仙区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，⊙O1和⊙O2分别是Rt△ABC的内切圆和外接圆，已知∠C是直角，∠A＝30°．且⊙O2的半径为2a，则⊙O1的半径等于（ ）
A．（﹣1）a B．（﹣1）a C．（）a D．a
7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S＝lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2（AD+CF+BE）＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
9．（2020 武汉模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7 B．7 C． D．
二．填空题
10．（2020秋 新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 ．
11．（2020秋 雨花区期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
12．（2020秋 江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为 ．
13．（2020秋 海陵区校级月考）若关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0的两个根恰好是△ABC的两条边的长，△ABC的一个内角度数为120°，△ABC内切圆半径为 ．
14．（2020秋 永年区期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 cm．
15．（2020 浙江自主招生）如图，设CD是△ABC的高，I1，I2分别是△ADC、△BDC的内心，DC＝12，AD＝9，BD＝16，则I1I2等于 ．
16．（2021 宁波模拟）如图，矩形ABCD的两个端点A，B落在⊙O上，CD与⊙O相切，已知AD＝2，AB＝8，连接AO，BO，点E为优弧上一点，若△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，那么∠BOE的度数为 度．
三．解答题
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长．
18．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．
19．已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．
20．（2020 滦州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AI平分∠BAC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O切AI于点I，交AB于点F．
（1）求证：I是△ABC的内心；
（2）连接IF，若IF＝2，∠IBC＝30°，求圆心O到BI的距离及弧IF的长．
21．（2020 潍坊三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，连接AI，AD，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 沭阳县月考）⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高的交点
【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：C．
2．（2021秋 夏津县期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD＝BG，CE＝CG，MH＝MD，NH＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN，
＝AM+MH+AN+NH
＝AM+MD+AN+NE
＝AD+AE
＝8（cm）．
∵△ABC的周长＝AD+AE+BD+BC+CE
＝8+BG+CG+BC
＝8+2BC
＝18（cm）．
∴BC＝5
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 D．弦的垂直平分线必过圆心
【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．错误，应该是在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补；
B、和半径垂直的直线是圆的切线．错误．必须经过半径的外端；
C、三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．错误，应该是三角形的内心到三角形的三边距离相等；
D、正确．
故选：D．
4．（2020秋 周村区期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
【解析】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
5．（2020 游仙区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：
如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，
∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴OE＝OH＝OF，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴×3×4＝×3×OH+×4×OF+×5×OE，
∴OE＝OF＝OH＝1，
法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴四边形OFBH是矩形，
∴BF＝OH＝1，
∴CF＝3，
∵点O为Rt△ABC的内心，
∴∠OCF＝∠OCE，
又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，
∴△COE≌△COF（AAS），
∴CE＝CF＝3，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，
∴OD＝DC，
∵OD2＝DE2+OE2，
∴CD2＝（3﹣CD）2+1，
∴CD＝；
法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，
∴AB∥DG，DG＝OF＝1，
∴△ABC∽△DGC，
∴，
∴，
∴DC＝；
故选：A．
6． 如图，⊙O1和⊙O2分别是Rt△ABC的内切圆和外接圆，已知∠C是直角，∠A＝30°．且⊙O2的半径为2a，则⊙O1的半径等于（ ）
A．（﹣1）a B．（﹣1）a C．（）a D．a
【解析】解：设⊙O1的半径为r，
∵⊙O2的半径为2a，
∴AB＝4a，
∵∠C是直角，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝2a，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝2a，
∵AC BC＝（AB+BC+AC） r，
∴2a 2a＝（4a+2a+2a） r，
解得：r＝（﹣1）a，
故选：B．
7． 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S＝lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2（AD+CF+BE）＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【解析】解：如图，作直径ET,连接DT．
∵AB是⊙O的切线，
∴ET⊥AB,
∴∠AET＝90°,
∴∠AED+∠DET＝90°,
∵ET是直径，
∴∠EDT＝90°,
∴∠DET+∠ETD＝90°,
∴∠AED＝∠ETD,
∵∠EFD＝∠ETD,
∴∠AED＝∠EFD,
同法可证，∠BFE＝∠EDF,∠CDF＝∠DEF,
∵∠EFD+∠EDF+∠DEF＝180°,
∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°,故①正确，
连接OA,OB,OC,OF,OD．
∵S＝S△AOB+S△BOC+S△ACO＝ AB OE+ BC OF+ AC OD＝ (AB+BC+AC) r＝lr,故②正确，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°,∠BEF+∠BFE+∠ABC＝180°
∴∠BEF+∠BFE＝∠BAC+∠ACB,
∵∠BEF＝∠EDF,∠BFE＝∠EDF,
∴2∠EDF＝∠BAC+∠ACB,故③正确，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，
∴AE＝AD,CD＝CF,BE＝BF,
∴2(AD+CF+BE)＝l,故④正确，
故选：A．
9．（2020 武汉模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆半径为（ ）
A．7 B．7 C． D．
【解析】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝20×＝AB CD，
∴20＝b c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
故选：D．
二．填空题
10．（2020秋 新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为 1 ．
【解析】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴∠C＝90°，
连接OE、OQ，
设圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，
∴四边形OECQ是正方形，
∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，
∵AF+BF＝5，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
∴r＝1，
故答案为：1．
11．（2020秋 雨花区期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
【解析】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝，
∴OM＝．
则该三角形内心与外心之间的距离为．
故答案为：．
12．（2020秋 江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为 4 ．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝13，AC＝15，BC＝14，
设BH＝x，则CH＝14﹣x，
在Rt△ABH中，AH2+x2＝132，
在Rt△AHC中，AH2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ACH中，AH＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC AH＝×14×12＝84，
∵△ABC的内切圆圆心为I，切点分别为D，E，F，连接ID，IE，IF，AI，BI，CI，
∴ID＝IE＝IF，
∴S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，
∴84＝AB ID+BC IE+AC IF，
∴84＝ID（13+14+15），
∴ID＝4．
∴△ABC的内切圆半径为4．
故答案为：4．
13．（2020秋 海陵区校级月考）若关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0的两个根恰好是△ABC的两条边的长，△ABC的一个内角度数为120°，△ABC内切圆半径为 6﹣9 ．
【解析】解：关于x的方程x2﹣12x+k2﹣4k+40＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，即（﹣12）2﹣4×1×（k2﹣4k+40）≥0，
整理得：（k﹣2）2≤0，
∵（k﹣2）2≥0，
∴k＝2，
此时方程为x2﹣12x+36＝0，方程的两根为x1＝x2＝6，即AABC是等腰三角形，
∵△ABC的一个内角度数为120°，
∴不妨设AB＝AC＝6，则∠BAC＝120°，
如图，设△ABC的内切圆圆心为O，与AB、BC切于点E、D，连接AD、OE，则点O在AD上，
∴AD⊥BC，OE⊥AB，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝60°，
∴AD＝AB＝3，
设OD＝OE＝r，则AO＝＝，
∵AO+OD＝3，
∴r+＝3，
解得：r＝6﹣9．
故答案为：6﹣9．
14．（2020秋 永年区期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 8 cm．
【解析】解：设G，H分别是⊙O的切点，由切线长定理得，BD＝BG，CE＝CG，MH＝MD，NH＝NE，
∴BD+CE＝BG+CG＝5（cm），
∴AD+AE＝18﹣10＝8（cm），
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NE＝AD+AE＝8（cm），
故答案为：8．
15．（2020 浙江自主招生）如图，设CD是△ABC的高，I1，I2分别是△ADC、△BDC的内心，DC＝12，AD＝9，BD＝16，则I1I2等于 5 ．
【解析】解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，
在直角三角形ADC中，AC＝＝＝15，
在直角三角形BDC中，BC＝＝＝20，
∵I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
∴I1E＝（AD+CD﹣AC）＝（9+12﹣15）＝3，
连接DI1、DI2，
则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
∵∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB＝45°，
∴∠I1DI2＝90°，
∴I1D⊥I2D，
∴DI1＝EI1＝3，
同理，可得I2F＝4，DI2＝4，
∴I1I2＝＝＝5．
故答案为：5．
16．（2021 宁波模拟）如图，矩形ABCD的两个端点A，B落在⊙O上，CD与⊙O相切，已知AD＝2，AB＝8，连接AO，BO，点E为优弧上一点，若△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，那么∠BOE的度数为 96 度．
【解析】解：如图，设⊙O半径为R，CD与⊙O相切于点F，连接OF交AB于点G，则CD⊥OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OGB＝∠OFC＝90°，
∴OF⊥AB，
∴BG＝AG＝AB＝×8＝4，
∴∠AGF＝∠GFD＝∠D＝90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴FG＝AD＝2，
∵OB2＝OG2+BG2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5，
∴OB＝OF＝5，OG＝5﹣2＝3，
作∠ABO的平分线交OG于点I，作IH⊥OB于点H，
∵IG⊥BA，
∴IG＝IH，
∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴OF平分∠AOB，
∴点I为△ABO的内心，且IG和IH都是△ABO内切圆的半径，
如图，以点I为圆心，以IG为半径作圆，则⊙I就是△ABO的内切圆，
∴BH＝BG＝4，
∴OH＝5﹣4＝1，
∵∠OHI＝∠OGB＝90°，
∴＝tan∠BOG＝，
∴IH＝1×＝，
设∠BOE的度数为n，
∵△ABO的内切圆与扇形OBE恰好是一个圆锥的底面和侧面，
∴的弧长与⊙I的周长相等，
∴＝2π×，
∴n＝96，
故答案为：96．
三．解答题
17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长．
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，
∵AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，
∴AF+BF＝18cm，BD+CD＝28cm，AE+CE＝26cm，
∴AF＝8cm，BD＝10cm，CE＝18cm．
18．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．
【解析】证明：（1）如图1，连接OD，OC，
∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴，
∴∠BOC＝∠BAE，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠COD＝×180°＝60°，
∵CD∥AB，
∴S△ACD＝S△COD，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝；
（3）如图2，过点B作BP⊥CN，
∵点M是△ACB的内心，
∴∠ACN＝∠BCN＝45°，∠CBM＝∠ABC＝30°，
∵BP⊥CN，
∴∠NCB＝∠CBP＝45°，
∴CP＝BP＝BC，
∵∠CAB＝∠CNB＝30°，
∴PN＝PB＝BC，
∴CN＝PN+CP＝BC，
∵∠CBM＝∠CNB＝30°，∠MCB＝∠NCB，
∴△MCB∽△BCN，
∴，
∴BC2＝BC×（BC﹣2），
∴BC＝2，
∴CN＝×2＝+．
19．已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．
【解析】证明：∵EG垂直平分BP，
∴EP＝BE，
∵AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴以E为圆心、EB为半径作圆E，则点P、C都在该圆的圆周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE＝∠BAE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣∠PEC＝∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC＝90°﹣∠PEC，
∴∠PAE＝∠EPC，
∴EP是△APF的外接圆的切线．
20．（2020 滦州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AI平分∠BAC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O切AI于点I，交AB于点F．
（1）求证：I是△ABC的内心；
（2）连接IF，若IF＝2，∠IBC＝30°，求圆心O到BI的距离及弧IF的长．
【解析】（1）证明：如图，延长AI交BC于D，连接OI．
∵⊙O切AI于点I，
∴OI⊥AI．
∵AB＝AC，AI平分∠BAC．
∴AD⊥BC．
∴OI∥BD．
∴∠OIB＝∠IBD．
∵OB＝OI，
∴∠ODB＝∠OBI．
∴∠OBI＝∠IBD．
∴BI平分∠ABC．
∵AI平分∠BAC．
∴I是△ABC的内心；
（2）解：作OE⊥BI于点E，由垂径定理可知：OE平分BI，
∴E是BI的中点，
∵OB＝OF，
∴OE是△FBI的中位线，
∵IF＝2，
∴OE＝IF＝1，
∴圆心O到BI的距离为1；
∵∠IBC＝30°，
在Rt△OBE中，OB＝2OE＝2，
∵OF＝OI＝FI，
∴△FOI是等边三角形，
∴∠FOI＝60°，
∴弧IF的长度＝＝．
21．（2020 潍坊三模）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，连接AI，AD，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
【解析】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF，∠CBD＝∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴∠ADG＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADG＝∠CAD，
∴DG∥AC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
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