2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·萧山开学考）若三角形的边长为3、4、5，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的边长为3、4、5，
∴此三角形的周长为3+4+5=12
∴连结各边中点所成的三角形的周长为×12=6
故答案为：6
【分析】利用三角形中位线定理可知，连结已知三角形各边中点所成的三角形的周长=原三角形的周长的一半。
2．（2018·济南）在 ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF C．AD＝2BF D．BE＝2CF
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、根据CD∥AE可得∠E=∠CDF，A不符合题意；
B、根据AB=BE可得CD=BE，从而说明△DCF和△EBF全等，得到EF=DF，B不符合题意；
C、根据中点的性质可得BF为△ADE的中位线，则AD=2BF，C不符合题意；
D、D无法判定.
故答案为：D
【分析】利用平行四边形的性质及全等三角形的性质，三角形中位线定理可得出∠E＝∠CDF、EF＝DF、AD＝2BF，即可得出答案。
3．（2018·苏州）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD= BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG= AB= =4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4，
故答案为：B．
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得出EG= AB= ×8=4，设CD=x，则EF=BC=2x，故BG=CG=x，EF=2x=DG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EGDF是平行四边形，根据平行四边形对边相等得出答案。
4．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
5．如图所示，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C． 2cm2 D．3cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝3，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，
∴NM＝ BC＝DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是 AF÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S阴影＝4×0.75÷2＝1.5．
故答案为：B．
【分析】要求阴影三角形的面积，由题意只需求得阴影三角形的高即可。连接MN，作AF⊥BC于F．根据等腰三角形的三线合一可得BF=CF=BC，由三角形的中位线定理和题意易得MN=BC=DE，在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长，于是用角角边可证△MNO≌△EDO，则OM=OE，OD=ON，所以可得阴影三角形的高=AF，阴影三角形的面积可求解。
6．（2018·苏州模拟）如图，在梯形 中， ，中位线 与对角线 交于 两点，若 cm， cm，则 的长等于（ ）
A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB．
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线，
∴EM= CD，NF= CD．
∴EM=NF= =5，即CD=10．
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36．
∴AB=26．
故答案为：D．
【分析】首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AC，BD的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形的中位线定理即可求得AB的长．
7．（2018·井研模拟）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积= ×△ABE的面积= ×△ABD的面积= ×△ABC的面积= ，
同理可得△AEG的面积= ，
△BCE的面积= ×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积= ×△BCE的面积= ，
∴△AFG的面积是 ×3= ，
故答案为：A．
【分析】根据每条三角形中线分得的两个三角形面积相等得出△AEF的面积= ×△ABE的面积= ×△ABD的面积= ×△ABC的面积= ，再根据三角形的中位线定理可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得出△AFG的面积。
8．（2018·万全模拟）如图，在△ABC中，BC=15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB，AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（ ）
A．45 B．55 C．67.5 D．135
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1= BC；
当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2= BC+ BC；
…
当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ BC= BC=7.5（n﹣1）；
当n=10时，7.5（n﹣1）=67.5；
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5．
故答案为：C．
【分析】由三角形中位线定理可得B1C1= BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2= BC+ BC；当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ n BC= BC=7.5（n﹣1）；所以当n=10时，7.5（n﹣1）=67.5。
9．（2017九上·萧山月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．以AB， BC，AC的中点A1，B1，C1构成△A1B1C1，以A1B，BB1，A1B1的中点A2，B2，C2构成△A2B2C2，……依次操作，阴影部分面积之和将接近 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC= ，
∵△A1B1C1是以AB， BC，AC的中点A1，B1，C1构成的，
∴S△A1B1C1=S△A1B1B= S△ABC=6，
同理可得：S△A2B2C2=6× =1.5，S△A3B3C3= ，S△A4B4C4= ，S△A5B5C5= ，……，
∴S阴影= S△A1B1C1+S△A2B2C2+S△A3B3C3+S△A4B4C4+S△A5B5C5+……=6+1.5+0.375+0.09375+0.0234375+……≈8.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据三角形的中位线定理可求出△A1B1C1、△A2B2C2的面积，观察规律，求出阴影部分的面积之和，可解答。
10．（2017八下·三门期末）某地需要开辟一条隧道，隧道AB长度无法直接测量。如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D,E分别是AC,BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
则DE＝ AB，
则AB=2DE=2200m，
故选B。
【分析】D，E分别是AC，BC的中点，则DE是△ABC的中位线，由中位线的定理即可解答。
二、填空题
11．（2018·巴中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E是AC中点，且EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
则CD=2EF=4，
在Rt△ABC中，∵D是AB中点，
∴AB=2CD=8，
故答案为：8．
【分析】利用已知条件易证EF是△ACD的中位线，利用中位线定理求出CD的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出AB的长。
12．（2018·济宁）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件 ，使△BED与△FDE全等．
【答案】D是BC的中点
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当D是BC的中点时，△BED≌△FDE，
∵E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴△BED≌△FDE，故答案为：D是BC的中点．
【分析】根据题意可知要使△BED与△FDE全等．只需得出四边形BEFD是平行四边形即可，因此应该添加D是BC的中点，利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质和判定，可证得结论。
13．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm，点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，则四边形A1B1C1D1的周长为 cm．
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，所以A1B1=C1D1= BD，A1D1=C1B1= AC，则四边形A1B1C1D1的周长为AC+BD=5+4=9cm，故答案为9
【分析】由题意根据三角形的中位线定理可得==BD，==AC，所以可得四边形A1B1C1D1的周长=AC+BD。
14．如图，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 长度的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接 ，
∵点 、 分别为 、 中点，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵ 与 重合时 最大，
，
∴ 的最大值是
【分析】连接DM，由三角形中位线定理可得EF=DM，要使EF的值最大，只需DM的值最大即可，由题意当点M与点B重合时，DM最大，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，则EF的最大值可求解。
15．（2018·河北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6，若AD=4，由作图痕迹可得GF= ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．∵ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠DHA=∠HAB．∵AH是∠DAB的平分线，∴∠DAH=∠HAB，∴∠DAH=∠DHA，∴DH=AD=4．∵EF是CB的垂直平分线，∴EF∥DC，ED=AE，∴AG=GH，∴EG是△DAG的中位线，∴EG= DH=2，∴EF∥DC，DE∥CF，∴DEFC是平行四边形，∴EF=DC=AB=6，∴GF=6－2=4．故答案为：4．
【分析】由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．用三角形的中位线定理可求解。
16．（2018·山西模拟）如图，已知线段AB⊥CD，E，F分别是AD，CB的中点，且AB＝16，CD＝12，则EF的长是 .
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AC，取AC中点M，连接EM、FM，
∵E，F分别是AD，CB的中点，
∴EM//CD，EM= CD= =6，
FM//AB，FM= AB= =8，
∵AB⊥CD，∴∠1=90°，
∵FM//AB，∴∠2=∠1=90°，
∵EM//CD，∴∠3=∠2=90°，
∴EF= =10，
故答案为：10.
【分析】连接AC，取AC中点M，连接EM、FM，因为E，F分别是AD，CB的中点，所以根据三角形的中位线定理可得EM//CD，EM= CD= × 12 =6，FM//AB，FM= AB= × 16 =8，根据平行线的性质易得∠3=∠2=90°，所以在直角三角形MEF中，由勾股定理可得EF= =10.
三、解答题
17．（2017·白银）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】如图所示：
【知识点】作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
18．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
【答案】解：EF=DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF= OA，EF∥OA，
同理，DG= OA，DG∥OA，
∴EF=DG，EF∥DG
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接OA，由三角形的中位线定理可得EF=OA，EF∥OA，DG=OA，DG∥OA，根据平行线的传递性可得EF∥DG，EF=DG。
19．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB2+CD2的值．
【答案】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，∵∠BAD+∠ADC=270°，∴∠ABC+∠C=90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM∥AB，FM∥CD，EM= AB，FM= CD，∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=16，∴AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2=64．
【知识点】勾股定理的应用；多边形内角与外角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，由四边形的内角和为和已知条件可得∠ABC+∠C=90°，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得EM∥AB，FM∥CD，EM= AB，FM=CD，由平行线的性质可得∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，即可得∠NMF=90°，在直角三角形EMF中，用勾股定理可得的值，所以AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2，代入即可求解。
20．（2018·怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
【答案】（1）解：证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
（2）解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴EG= CD，
∵EG=5，
∴CD=10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定可证得结论。
（2）利用三角形中位线定理求出EG的长，再利用全等三角形的性质解答即可。
21．（2018·港南模拟）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE=∠ACB，DE交AB于点E；
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC=5，点D是AC的中点，求DE的长．
【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解：∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
【知识点】平行线的判定与性质；作图-角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交CB，CA于以点，再以D点为圆心，刚才的长度为半径画弧，交AD于一点，再量出CB，CA上两弧交点间的距离，以AD上的交点为圆心，以刚才量出的长度为半径，画弧，与前弧相交于一点，过这一点作直线交AB于点E，则∠ADE就是所求的角；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
22．如图， 中， ，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作 交BC的延长线于F；
（1）求证： ；
（2）若 ，求EF的长．
【答案】（1）证明： 、E分别是AB、AC的中点 ，又
四边形CDEF为平行四边形
（2）解 ， ，又 为AB中点 ， 在 中， ， ，
四边形CDEF是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE//CF，结合题意用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CDEF为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，于是BC=AB=AC，根据等边三角形的三线合一可得CD⊥AB，用勾股定理可求得CD的长，由（1）知四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可求解。
23．操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
【答案】（1）
（2）
（3）6a；7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：⑴∵CD=BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
；
⑵分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，
则AG∥EF，
∵A为CE的中点，
，
∵BC=CD，
；
⑶∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线， ，
∵△ABC的面积为a，
.
同理得， ， ，
.
，
，
，
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
【分析】（1）由CD=BC可知，△ABC与△ADC是等底同高，所以两者面积相等；
（2）作AG⊥BD、EF⊥BD，由AE=CA可知AG是△CEF的中位线，故得AG=EF，又因BC=CD，根据三角形面积计算公式即可得结果；
（3）类比（2）的方法和结果即可解答。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·萧山开学考）若三角形的边长为3、4、5，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
2．（2018·济南）在 ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF C．AD＝2BF D．BE＝2CF
3．（2018·苏州）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD= BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
4．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
5．如图所示，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C． 2cm2 D．3cm2
6．（2018·苏州模拟）如图，在梯形 中， ，中位线 与对角线 交于 两点，若 cm， cm，则 的长等于（ ）
A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm
7．（2018·井研模拟）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
8．（2018·万全模拟）如图，在△ABC中，BC=15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB，AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（ ）
A．45 B．55 C．67.5 D．135
9．（2017九上·萧山月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．以AB， BC，AC的中点A1，B1，C1构成△A1B1C1，以A1B，BB1，A1B1的中点A2，B2，C2构成△A2B2C2，……依次操作，阴影部分面积之和将接近 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2017八下·三门期末）某地需要开辟一条隧道，隧道AB长度无法直接测量。如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
二、填空题
11．（2018·巴中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
12．（2018·济宁）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件 ，使△BED与△FDE全等．
13．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm，点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，则四边形A1B1C1D1的周长为 cm．
14．如图，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 长度的最大值为 ．
15．（2018·河北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6，若AD=4，由作图痕迹可得GF= ．
16．（2018·山西模拟）如图，已知线段AB⊥CD，E，F分别是AD，CB的中点，且AB＝16，CD＝12，则EF的长是 .
三、解答题
17．（2017·白银）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
18．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
19．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB2+CD2的值．
20．（2018·怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
21．（2018·港南模拟）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE=∠ACB，DE交AB于点E；
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC=5，点D是AC的中点，求DE的长．
22．如图， 中， ，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作 交BC的延长线于F；
（1）求证： ；
（2）若 ，求EF的长．
23．操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的边长为3、4、5，
∴此三角形的周长为3+4+5=12
∴连结各边中点所成的三角形的周长为×12=6
故答案为：6
【分析】利用三角形中位线定理可知，连结已知三角形各边中点所成的三角形的周长=原三角形的周长的一半。
2．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、根据CD∥AE可得∠E=∠CDF，A不符合题意；
B、根据AB=BE可得CD=BE，从而说明△DCF和△EBF全等，得到EF=DF，B不符合题意；
C、根据中点的性质可得BF为△ADE的中位线，则AD=2BF，C不符合题意；
D、D无法判定.
故答案为：D
【分析】利用平行四边形的性质及全等三角形的性质，三角形中位线定理可得出∠E＝∠CDF、EF＝DF、AD＝2BF，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG= AB= =4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4，
故答案为：B．
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得出EG= AB= ×8=4，设CD=x，则EF=BC=2x，故BG=CG=x，EF=2x=DG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EGDF是平行四边形，根据平行四边形对边相等得出答案。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝3，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，
∴NM＝ BC＝DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是 AF÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S阴影＝4×0.75÷2＝1.5．
故答案为：B．
【分析】要求阴影三角形的面积，由题意只需求得阴影三角形的高即可。连接MN，作AF⊥BC于F．根据等腰三角形的三线合一可得BF=CF=BC，由三角形的中位线定理和题意易得MN=BC=DE，在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长，于是用角角边可证△MNO≌△EDO，则OM=OE，OD=ON，所以可得阴影三角形的高=AF，阴影三角形的面积可求解。
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB．
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线，
∴EM= CD，NF= CD．
∴EM=NF= =5，即CD=10．
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36．
∴AB=26．
故答案为：D．
【分析】首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AC，BD的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形的中位线定理即可求得AB的长．
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积= ×△ABE的面积= ×△ABD的面积= ×△ABC的面积= ，
同理可得△AEG的面积= ，
△BCE的面积= ×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积= ×△BCE的面积= ，
∴△AFG的面积是 ×3= ，
故答案为：A．
【分析】根据每条三角形中线分得的两个三角形面积相等得出△AEF的面积= ×△ABE的面积= ×△ABD的面积= ×△ABC的面积= ，再根据三角形的中位线定理可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得出△AFG的面积。
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1= BC；
当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2= BC+ BC；
…
当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ BC= BC=7.5（n﹣1）；
当n=10时，7.5（n﹣1）=67.5；
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5．
故答案为：C．
【分析】由三角形中位线定理可得B1C1= BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2= BC+ BC；当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ n BC= BC=7.5（n﹣1）；所以当n=10时，7.5（n﹣1）=67.5。
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC= ，
∵△A1B1C1是以AB， BC，AC的中点A1，B1，C1构成的，
∴S△A1B1C1=S△A1B1B= S△ABC=6，
同理可得：S△A2B2C2=6× =1.5，S△A3B3C3= ，S△A4B4C4= ，S△A5B5C5= ，……，
∴S阴影= S△A1B1C1+S△A2B2C2+S△A3B3C3+S△A4B4C4+S△A5B5C5+……=6+1.5+0.375+0.09375+0.0234375+……≈8.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据三角形的中位线定理可求出△A1B1C1、△A2B2C2的面积，观察规律，求出阴影部分的面积之和，可解答。
10．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D,E分别是AC,BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
则DE＝ AB，
则AB=2DE=2200m，
故选B。
【分析】D，E分别是AC，BC的中点，则DE是△ABC的中位线，由中位线的定理即可解答。
11．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E是AC中点，且EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
则CD=2EF=4，
在Rt△ABC中，∵D是AB中点，
∴AB=2CD=8，
故答案为：8．
【分析】利用已知条件易证EF是△ACD的中位线，利用中位线定理求出CD的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出AB的长。
12．【答案】D是BC的中点
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当D是BC的中点时，△BED≌△FDE，
∵E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴△BED≌△FDE，故答案为：D是BC的中点．
【分析】根据题意可知要使△BED与△FDE全等．只需得出四边形BEFD是平行四边形即可，因此应该添加D是BC的中点，利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质和判定，可证得结论。
13．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，所以A1B1=C1D1= BD，A1D1=C1B1= AC，则四边形A1B1C1D1的周长为AC+BD=5+4=9cm，故答案为9
【分析】由题意根据三角形的中位线定理可得==BD，==AC，所以可得四边形A1B1C1D1的周长=AC+BD。
14．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接 ，
∵点 、 分别为 、 中点，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵ 与 重合时 最大，
，
∴ 的最大值是
【分析】连接DM，由三角形中位线定理可得EF=DM，要使EF的值最大，只需DM的值最大即可，由题意当点M与点B重合时，DM最大，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，则EF的最大值可求解。
15．【答案】4
【知识点】矩形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．∵ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠DHA=∠HAB．∵AH是∠DAB的平分线，∴∠DAH=∠HAB，∴∠DAH=∠DHA，∴DH=AD=4．∵EF是CB的垂直平分线，∴EF∥DC，ED=AE，∴AG=GH，∴EG是△DAG的中位线，∴EG= DH=2，∴EF∥DC，DE∥CF，∴DEFC是平行四边形，∴EF=DC=AB=6，∴GF=6－2=4．故答案为：4．
【分析】由作图可知：AH是∠DAB的平分线，EF是CB的垂直平分线．用三角形的中位线定理可求解。
16．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AC，取AC中点M，连接EM、FM，
∵E，F分别是AD，CB的中点，
∴EM//CD，EM= CD= =6，
FM//AB，FM= AB= =8，
∵AB⊥CD，∴∠1=90°，
∵FM//AB，∴∠2=∠1=90°，
∵EM//CD，∴∠3=∠2=90°，
∴EF= =10，
故答案为：10.
【分析】连接AC，取AC中点M，连接EM、FM，因为E，F分别是AD，CB的中点，所以根据三角形的中位线定理可得EM//CD，EM= CD= × 12 =6，FM//AB，FM= AB= × 16 =8，根据平行线的性质易得∠3=∠2=90°，所以在直角三角形MEF中，由勾股定理可得EF= =10.
17．【答案】如图所示：
【知识点】作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
18．【答案】解：EF=DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF= OA，EF∥OA，
同理，DG= OA，DG∥OA，
∴EF=DG，EF∥DG
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接OA，由三角形的中位线定理可得EF=OA，EF∥OA，DG=OA，DG∥OA，根据平行线的传递性可得EF∥DG，EF=DG。
19．【答案】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，∵∠BAD+∠ADC=270°，∴∠ABC+∠C=90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM∥AB，FM∥CD，EM= AB，FM= CD，∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=16，∴AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2=64．
【知识点】勾股定理的应用；多边形内角与外角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，由四边形的内角和为和已知条件可得∠ABC+∠C=90°，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得EM∥AB，FM∥CD，EM= AB，FM=CD，由平行线的性质可得∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，即可得∠NMF=90°，在直角三角形EMF中，用勾股定理可得的值，所以AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2，代入即可求解。
20．【答案】（1）解：证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
（2）解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴EG= CD，
∵EG=5，
∴CD=10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定可证得结论。
（2）利用三角形中位线定理求出EG的长，再利用全等三角形的性质解答即可。
21．【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解：∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
【知识点】平行线的判定与性质；作图-角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交CB，CA于以点，再以D点为圆心，刚才的长度为半径画弧，交AD于一点，再量出CB，CA上两弧交点间的距离，以AD上的交点为圆心，以刚才量出的长度为半径，画弧，与前弧相交于一点，过这一点作直线交AB于点E，则∠ADE就是所求的角；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
22．【答案】（1）证明： 、E分别是AB、AC的中点 ，又
四边形CDEF为平行四边形
（2）解 ， ，又 为AB中点 ， 在 中， ， ，
四边形CDEF是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE//CF，结合题意用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CDEF为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，于是BC=AB=AC，根据等边三角形的三线合一可得CD⊥AB，用勾股定理可求得CD的长，由（1）知四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可求解。
23．【答案】（1）
（2）
（3）6a；7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：⑴∵CD=BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
；
⑵分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，
则AG∥EF，
∵A为CE的中点，
，
∵BC=CD，
；
⑶∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线， ，
∵△ABC的面积为a，
.
同理得， ， ，
.
，
，
，
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
【分析】（1）由CD=BC可知，△ABC与△ADC是等底同高，所以两者面积相等；
（2）作AG⊥BD、EF⊥BD，由AE=CA可知AG是△CEF的中位线，故得AG=EF，又因BC=CD，根据三角形面积计算公式即可得结果；
（3）类比（2）的方法和结果即可解答。
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