第一章 平行线?单元综合测试
二、填空题（共7小题，每题5分，共35分）
7．（2010 浙江衢州）如图7，直线DE交∠ABC的边BA于点D，若DE∥BC，∠B=70°，
则∠ADE的度数是 ．
图7 图8 图9
8．（2010广西桂林）如图8，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是（ ）．
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
9．（2010广西南宁）如图9所示，直线、被、所截，且，
则
10．（2010广东茂名）如图10，梯子的各条横档互相平行，若∠1=70o，则∠2的度数是
A．80o B．110o C．120o D．140o
图11 图12
11. （2011广东广州市）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c; ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
12. (2011 浙江湖州).如图11，已知CD平分∠ACD，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝ 度．
13．（2010山东日照）如图12，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ．
三、解答题（共25分）
14、如图：已知；AB∥CD，AD∥BC，∠B与∠D相等吗？试说明理由．
15、如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗?说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何?为什么?
（3）BC平分∠DBE吗?为什么．
16、如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
2.1 等腰三角形
我预学
1． 如图，已知线段AB．
(1)作图：请作出线段AB的垂直平分线MN；
(2)发现：线段AB 沿直线MN对折，直线两侧的图
形能够完全重合．我们称 是
的对称轴， 是轴对称图形．
（3）操作：你认为等腰三角形是轴对称图形吗？请你动手做一做．想一下，它的对称轴是什么？
2．画图并探究：作△ABC，使∠BAC=， AB=AC=3 cm． D是BC上的点，且BD=3cm，D关于等腰三角形的对称轴的对称点是E,那么CE= .连结AD、AE，你发现的等腰三角形有 个．
我梳理
我达标
1． 在△ABC中，AB=AC，则腰是 ，顶角是 ，
底角是 ．已知AD=DC=BC ，则 和 也为等腰三角形，BC 是 的腰，是 的底边．
2．等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 ．
3．下列条件可以判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．三条边长分别是5，5，11 B．周长为14，其中两边长分别是4，5
C．三条边长的比是1:1:3 D．周长为24，其中两边长分别是6，12
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC=22，AB的垂直平分线交AC于点D, △DBC的周长为38，则△ABC底边的长度是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.22
5．已知等腰三角形的一边是另一边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长．
6．已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，(1)请你说明△DBC是等 腰三角形．（2）求作点E，F关于AD的对称点E’，F’；（3）连结E E’，F F’，图中有哪几个等腰三角形？
我挑战
7．若等腰三角形的周长为24，则腰长a的取值范围是 ．
8．已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，
这个三角形的周长是 ．
9 ．七年级一班的张小明是体育委员，李聪是学习委员.这天，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先”竞赛，张小明与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花”项目竞赛.平时跑步比赛在班中数一数二的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷纷认真地研究起了这个问题.这个项目的比赛是这样规定的：参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜.同学们都说张小斌选择的路线不对.张小明觉得很冤枉.他说：我往河边跑时跑的是最近的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？
聪明的同学，你知道李聪的取胜的路线吗？请你试着画一画.
10．平面上能否找到4个点，使其中任意3个点连成的三角形都是等腰三角形？能否找到5个点，使其中任意3个点连成的三角形都是等腰三角形
2.2 等腰三角形的性质
我预学
操作：把等腰三角形沿顶角的平分线对折后再复原，请你把发现写下来.
根据轴对称图形的性质，解释图形现象：
条件说明：已知AB=AC，AD是顶角∠BAC的角平分线.
结论发现：△ABD≌ , 从而得到
∠ABC=∠ACB， (称∠ABC和∠ACB是△ABC 的底角)
BD= , (称AD是△ABC底边上的 线)
∠ADB=∠ADC= .(称AD是△ABC底边上的 线 )
归纳：等腰三角形的两条 、两个 重合在一起,
顶角平分线与 线、 线重合在一起.
2．请你在阅读教材内容后完成以下两个小题：
（1）等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm， 你认为其余两边长度怎么计算？
（2）等腰三角形的一个角是700，你认为其余两个角度该怎么计算？
我梳理
1.等腰三角形的底角只能是 角，不能是 角或 角，但顶角
可以是 角或 角，也可以是 角.
2.等腰直角三角形的两个底角相等且都等于 .
3.等腰三角形三线合一性.等腰三角形的顶角的 、底边上
的 和底边上的 互相重合.只要知道其中一个量，就可以得出其它两个量.
(1) ∵AB=AC ，∠ 1= ∠2 ∴
(2) ∵AB=AC ，AD⊥BC ∴
(3) ∵AB=AC ，BD=CD ∴
我达标
1．在△ABC中，AB=AC,BD是角平分线，如果∠A=40 o，那么∠BDC= .
2. 在△ABC中，点D在CB上，且AB=AD=CD,∠C=25 o,那么∠BAC= .
3.下列说法正确的是（ ）
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍
D.等腰三角形的两个底角相等
4. 在△ABC中，AB=AC, ∠A︰∠B=4︰7,求三角形的各个内角度数.
5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E在底边BC上且AD=AE，你能说明BD与CE相等吗？为什么？
6.如图，等腰三角形两腰上的中线BD,CE相交于点F，连结AF，
请你判断AF和BC的位置关系,并说明理由.
我挑战
7．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20o，
AD＝AE，则∠EDC= ．
9.如图D是△ABC中AB边上的一点，E是CA延长线上的点，
AB=AC,AE=AD，请你用所学知识说明DE与BC的位置关系.
2.3 等腰三角形的判定
我预学：
1.已知AB=AD, ∠ABC=∠ADC，说明BC=CD的理由.下面是小明同学对这个题的说理过程，细心的小慧发现了他的错误，请你指出小明的错误，并试着在预习完新课后写下你认为正确的方法.
我梳理
我达标
1.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= .
2.如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，
则图中等腰三角形共有 个.
3.如图，已知D、E是BC边上的点，且BD=CE，
下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AB=AC B.AD=AE
C.BE=CD D.∠BDA=∠CEA
4.下列说法正确的有（ ）
①等角对等边；
②等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍；
③过等腰三角形一腰上的点作底边的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形；
④过等腰三角形底边上的点作一腰的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形.
A..1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，且OA=OB，
请说明OC=OD的理由.
6.如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由.
我挑战
7.（1）已知：OD平分∠AOB，ED∥OB.请说明：EO=ED.
（2）已知：OD平分∠AOB，EO=ED.请说明：ED∥OB.
（3）已知：ED∥OB，EO=ED.请说明：OD平分∠AOB.
8.如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于
点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，
则线段DE的长为（ ）.
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
9. 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，
DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则 DM= .
2.4 等边三角形
我预学：
1. 在△ABC中，AB=AC=3cm, ∠ABC=60 o ,发现∠ACB= ，∠CAB= ，BC= ，我们称△ABC为 三角形.
2.等边三角形的所有的角平分线、中线和高线，共计 条.等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条.我们把等边三角形三条角平分线的交点G叫做正三角形的中心，那么等边三角形绕点G旋转一周的过程中和原图形重合了 次，重合一次至少需要旋转 度.
3.用尺规作图画一个边长为2cm的等边三角形，说说你认识的等边三角形有哪些性质？想一想判断一个等边三角形的方法有哪些，请写下来.
我达标
1. 如果一个三角形的三边a,b,c满足，那么这个三角形是 .
2.如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D,使CD = AC，连结AD,则∠BAD= .
3.下列三角形：①有两个角是60°；②有一个角是60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④腰上的中线等于这条腰上的高线的等腰三角形.其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
4.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
5.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.说明△DEF是正三角形.
6.如图，在△ABC中，∠A＝60o，AB=AC，D是AC边上的中点，延长BC至E，使CE=CD,DF⊥BC于F,试说明BF=EF的理由.
我挑战
7.在等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 .
8.如图，E是等边△ABC的边AC上的一点，且∠1=∠2，CD=BE,试判断△ADE的形状.
9.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，连结AN和BM分别与MC、NC交于点D、E,连结DE请说明下列结论成立的理由.
（1）AN=BM ；（2）△CDE是等边三角形.
我登峰
10．如图，∠AOB=30 o，P是∠AOB内一点，且OP=4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN, 求（1）CD的长 （2）△PMN的周长
2.5 直角三角形(1)
我预学
1.（1） 的三角形叫做直角三角形.
（2）如图的直角三角形可用符号表示为 .
其中斜边为 ，直角边为 .
2. (1)三角形的三个内角的和为 .
(2)若三角形中有一个内角为90度，则另外两个内角有什么关系？
3. 等腰直角三角形既是直角三角形，也是等腰三角形，请从边、角、高线、中线、角平分线等方面说说它所具有的性质.
我梳理
我达标
1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请用符号表示出所有的直角三角形： .
2．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则这个三角形是 .
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A∶∠B=2∶3，则∠A= ，∠B= .
4．如图，这个图形可以看做是由一个等腰直角三角形旋转若干次而形成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A．90° B.60° C.45° D.30°
5．如图，AC⊥BD，DE⊥AB，DE交AC于点F.若∠B=40°，求∠AFE的度数
6．如图，已知CD∥AE, ∠1=∠2，∠,3 =∠4.判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
我挑战
7．若等腰直角三角形的斜边长为，则它的面积是 .
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB的垂直平分线交AC于点 D，BD平分∠ABC.求∠A、∠ABC的度数.
9．如图，在4×4方格中作出以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的直角三角形你能作出几个？其中有几个是等腰直角三角形？请试一试.
我登峰
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，试说明：AE=AF.
2.5 直角三角形(2)
我预学
1． 是三角形的中线. 请画出右图中Rt△ABC的斜边AB上的中线CD；
2.（1）请用刻度尺或圆规比较一下第1题中AB的一半和CD的长短；
（2）请再画一个不同的直角三角形，也比较一下斜边的一半和斜边上的中线的长短；
（3）根据上述探索，你能猜测一下直角三角形斜边和斜边上的
中线具有怎样的数量关系.
3. 本节内容中有一个直角三角形的重要性质“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，下面给出了一个说明此性质正确的说理过程，你能把它补充完整吗？
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的中线，
延长CD到点E，使CD=DE，连结BE，
∵CD=DE，∠ADC=∠BDE，AD=BD
∴△ ≌△
∴∠ACD=∠BED，AC=BE
∴ ∥
∴∠ACB=∠EBC=Rt∠
∵AC=BE，∠ACB=∠EBC，BC=CB
∴△ ≌△
∴AB=
∴CD=CE=AB
我达标
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD一定相等的线段有（ ）
A．AD与BD B. BD与BC
C. AD与BC D. AD、BD与BC
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边的中点，连结CD，若∠ACD=25°，则
∠B=
3.已知直角三角形斜边上的高线与中线分别为4㎝，5㎝，则它的面积是
4．如图， DP, BP分别是Rt△ACD，Rt△ABC的斜边上的中线，则∠PDB =∠PBD.请说明理由.
5.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=60°，BD=3，试求AB的长.
6.如图，在Rt△ABC中，CD, CE分别是斜边AB上的高线和中线，若∠B=35°，求∠DCE的大小
我挑战
7.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5?m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是
8.如图，在△ABC中，AB=AC=8,AD是底边上的中线，E为AC的中点，则DE=
（8）
（7）
9.如图，在△ABC中，BE, CF分别是 AC，AB边上的高，D是BC的中点，M是EF的中点，试说明DM⊥EF的理由.
我登峰
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E.若BC=12，试求BF的长.
2.6 探索勾股定理(1)
我预学
1．在如图的方格纸（每个小正方形的边长为1）中，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作三个正方形，它们的面积分别记为，，，你能求出，，的值吗？
2.上题中的，，，三者具有怎样的数量关系？
3. 本节内容中有一个关于直角三角形的著名定理——勾股定理，在课本中利用一副图形对它进行了说明，你能仿造课本中的方法，利用下面的图形说明一下它的正确性吗？
我梳理
我达标
1．已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b，
（1）若a=1，b=3，则c=
（2）若a=，c=，则b= ，
（3）若c=26，a：b=5：12，则a= ，
2. 一架长为13米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，底端离墙角5米，则梯子顶端可到
达 米
3.已知在直角三角形中，两边长为3，4，则第三条边长为
4. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC = BC ，则AC，BC，AB的长度之比为
5．利用勾股定理，请用直尺和圆规在数轴上作出表示的点.
6. 求如图4×4方格中线段AB，AC的长
我挑战
7.一个正三角形的边长为4，则它的面积是
8.当阳光与地面成60°角时，量得一棵树的影长为3米，则这棵树的高度为
9. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若AB=4，BC=8，则（1）试判断折叠后重叠部分三角形的形状；（2）求重叠部分的面积.
我登峰
10. 如图，直线l表示草原上的一条河，一少年从点A出发，骑马去河边饮水，然后回村庄B.问走怎样的路线可使路程最短？请画出这条路线；若A到河岸的距离AC为1km，B到河岸的距离BD为3km，CD为4km，则这条路线的总路程是多少？
2.6 探索勾股定理(2)
我预学
1．（1）作一个三角形，使它的边长分别为3㎝，4㎝，5㎝；
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等；
（3）量一量最长一条边所对的角是否是直角.
2.请你从角、边两方面说一说如何判断一个三角形是直角三角形.
我梳理
我达标
1．若，，为△ABC的三边，且满足，则△ABC为 三角形
2. 已知有长为6㎝和8㎝的两条线段，下列线段中能与它们组成直角三角形的是（ ）
A．14㎝ B．㎝ C．7㎝ D．100㎝
3.若以三个数为边长能构成直角三角形，我们把它们称为一组勾股数，如3，4，5就是一组勾股数.你能再写出三组吗？ ， ， .
4．如图，要检验一个大型三角形工件△ABC中的∠ACB是否为直角，而检验员手中只有直尺，因而他在AC上取一点D，在CB上取一点E，连结DE后测得CD=6㎝，CE=8㎝，DE=10㎝，判定∠C=90°，其依据是
5. 如图，△ABC在由小正方形组成的网格中，请判断△ABC是否直角三角形，并说明理由.
6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BC=2，CD=，AC=，判断∠ACB是不是直角，并说明理由.
我挑战
7.直角三角形两条直角边分别为5，12，其斜边上的高为
8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于
9.如图，在四边形ABCD中，已知AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
我登峰
10. 如图，以△ABC的每一边为边长，作三个等边三角形，所得的图形可分成五个三角形，其中，试判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由.
2.7 直角三角形全等的判定
我预学
1．（1）我们学过的判定两个三角形全等的方法有 ；
（2）有两条边对应相等的两个三角形全等吗？
2.本节内容学习后又多了一种判定两个直角三角形全等的方法，请你对三角形全等的知识作一个整理，总结一下判定两个直角三角形全等有哪些方法.
3.本节内容中还有一个判定角平分线的方法“角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.”你能整理一下在三角形中说明两个角相等有哪些方法吗？
我达标
1．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
2. 如图，已知AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，那么图中共有 对全等三角形
3.如图，已知CD∥AB，AD=BC，DE⊥AB，CF⊥AB，E，F分别为垂足，则AE=BF.请说明理由.
4．如图，在Rt△BCD和Rt△CBE中，∠BDC=∠CEB=Rt∠，BE=CD，判断△ABC是不是等腰三角形，并说明理由.
5.如图，AD是△ABC的边BC上的高，E是AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，试说明BE⊥AC的理由.
6. 如图，AB，CD，AC是三条交通线，CD∥AB，请在CD与AB之间用直尺和圆规找出到三条交通线的距离都相等的点，这样的点你能找出几个？
我挑战
7. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点P，则点P必定也在∠BAC的平分线上，请说明理由.
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，CE⊥AE，试求DE与BD，CE的数量关系，并说明理由.
我登峰
9.由五个全等的小正方形组成的图形如图所示，你能剪两刀，把剪成的四块拼成一个大正方形吗？请在原图中画出剪裁线和拼成的大正方形.
2.1 等腰三角形
1．AB AC ，∠A，∠B和∠ACB，△BCD，△ACD，△BCD，△ABC. 2． 22 , 20或22 , 20 3．B 4．B 5．5,15 ,15 6．略 7．6＜a＜12 8．13或11 9．利用等腰三角形的轴对称性解决 10．能找到 正方形的4个顶点;能找到 正五边形的5个顶点
2.2等腰三角形的性质
1．75° 2．105° 3．D 4．C 5．∠A=40°∠B=∠C=70° 6．BD=CE 理由略 7．AF垂直平分BC 理由略 8．C 9．10° 10 ．DE⊥BC 11． ∠ABC=2∠C 理由略
2.3 等腰三角形的判定
1．70°或40°或55° 2．3 3．C 4．C 5.略 6．略7．略 8．A 9．6 10．提示过D作DF∥AE交BC于点F
2.4 等边三角形
1．等边三角形 2．90° 3．D 4．C 5．证△ADE≌△BEF≌△CDF 6．略 7．60° 8．△ADE是等边三角形 9．(1)证△CAN≌△BCM (2)证△CDN≌△CBE或△ACD≌△MCE 10．(1)CD=4cm (2)4cm
2.5 直角三角形（1）
Rt△ADC，Rt△BDC，Rt△ACB；2.直角三角形；3. 36°，54°；4.C；5. 40°；6.是，理由略 7.；8.∠A=30°，∠ABC=60°；9. 6个，3个； 10.略
2.5 直角三角形（2）
A；2. 65°；3. 20cm2 ；4.略；5. 12；6. 20° 7. 15m；8. 4；9.提示：连结DE，DF； 10.提示：连结AF，BF=4
2.6探索勾股定理（1）
1.（1），（2）1，（3）10；2. 12；3. 5或；4. 1：1:；5.略；6.AB=5，AC= 7. ；8. 米；9.（1）等腰三角形，（2）10； 10.画图略，km
2.6探索勾股定理（2）
1.直角；2. B；3. 略；4.勾股定理；5.是，理由略；6.是，理由略 7. ；8. 3；9. 234；
10.是，理由略
2.7 直角三角形全等的判定
1.D；2. 4；3.略；4.是，理由略；5.略；6.作图略，2个 7.提示：过点P作各边的垂线段；8.DE=BD-CE，理由略； 9.图略
