2022年初中数学浙教版八年级下册1.3二次根式的运算 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·澄海期末）化简 的结果是（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用分母有理化，分子分母同乘即可。
2．（2021九上·朝阳期中）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
B． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
C． 与 是同类二次根式，符合题意；
D． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将各式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判断。
3．（2021八上·成都期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．5 ﹣2 ＝3 B．2 ×3 ＝6
C．2 +3 ＝5 D．3 ÷ ＝3
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、 ，原式运算正确，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、合并同类二次根式，只把同类二次根式前的系数相加，二次根式部分不变，据此即可判断A；
B、二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，结果再化简，据此即可判断B；
C、根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知和不是同类二次根式，所以不能合并；
D、二次根式的除法，把系数与被开方数分别相除，结果再化简，据此即可判断D.
4．（2021八上·沈河月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可以得到2a-4=2，再求解即可。
5．（2021九上·朝阳期中）一个长方体纸盒的体积为 ，若这个纸盒的长为 ，宽为 ，则它的高为（ ）
A．1dm B． C． D．48dm
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：设长方体纸盒的高为x，
则 ，
解得： ，
故长方体纸盒的高为：1dm，
故答案为：A．
【分析】利用长方体的体积公式列方程即可求解。
二、填空题
6．（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
7．（2021八上·奉贤期中）计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ．
故答案为：2．
【分析】利用二次根式的除法计算法则求解即可。
8．（2019·定兴模拟）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝3 ﹣2
＝ ．
故答案为：
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
9．（2021八下·江都期末）请写出一个与 为同类二次根式的最简二次根式 .
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得： ，
根据同类二次根式的被开方数相同可得答案为 ，
【分析】同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，据此解答即可.
10．（2021八下·吉林期中）已知矩形ABCD的面积为 cm2，它的长为2 cm，则它的宽为 cm
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD的面积为 cm2，它的长为2 cm，
∴ 它的宽为 cm.
【分析】根据矩形的面积=长×宽，得出矩形的宽为，进行计算即可得出答案.
三、解答题
11．（2017七下·独山期末）已知x=2﹣ ，y=2+ ，求代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【答案】（1）解：x2+2xy+y2
=（x+y）2
=[（2﹣ ）+（2+ ）]2
=42
=16；
（2）解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
=（2﹣ +2+ ）（2﹣ ﹣2﹣ ）
=4×（﹣2 ）
=﹣8 ．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式，然后再将x、y的值代入求得x+y的值，最后，再依据有理数的乘方法则进行计算即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式，然后再分别求得x+y和x-y的值，最后再依据实数的乘法法则进行计算即可.
12．（2020八下·云县月考）如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
【答案】解：依题意得：x2=12×8
∴x2=96
∴
答：x的值为 .
【知识点】二次根式的应用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x代表的实际意义.
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠B=45°， ， ．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：AD和BC的延长线相交于E点，如图，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，
∴S△ABE= AB2= ×（2 ）2=12，S△CDE= CD2= ×（ ）2= ，
∴四边形ABCD的面积=12﹣ = ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】AD和BC的延长线相交于E点，根据条件易判断△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式得到S△ABE= AB2=12，S△CDE= CD2= ，然后求它们的差即可．
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一、单选题
1．（2021八下·澄海期末）化简 的结果是（ ）．
A． B． C． D．2
2．（2021九上·朝阳期中）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·成都期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．5 ﹣2 ＝3 B．2 ×3 ＝6
C．2 +3 ＝5 D．3 ÷ ＝3
4．（2021八上·沈河月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021九上·朝阳期中）一个长方体纸盒的体积为 ，若这个纸盒的长为 ，宽为 ，则它的高为（ ）
A．1dm B． C． D．48dm
二、填空题
6．（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
7．（2021八上·奉贤期中）计算： ．
8．（2019·定兴模拟）计算 的结果是 ．
9．（2021八下·江都期末）请写出一个与 为同类二次根式的最简二次根式 .
10．（2021八下·吉林期中）已知矩形ABCD的面积为 cm2，它的长为2 cm，则它的宽为 cm
三、解答题
11．（2017七下·独山期末）已知x=2﹣ ，y=2+ ，求代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
12．（2020八下·云县月考）如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠B=45°， ， ．求四边形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用分母有理化，分子分母同乘即可。
2．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
B． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
C． 与 是同类二次根式，符合题意；
D． 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将各式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判断。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、 ，原式运算正确，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、合并同类二次根式，只把同类二次根式前的系数相加，二次根式部分不变，据此即可判断A；
B、二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，结果再化简，据此即可判断B；
C、根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知和不是同类二次根式，所以不能合并；
D、二次根式的除法，把系数与被开方数分别相除，结果再化简，据此即可判断D.
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可以得到2a-4=2，再求解即可。
5．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：设长方体纸盒的高为x，
则 ，
解得： ，
故长方体纸盒的高为：1dm，
故答案为：A．
【分析】利用长方体的体积公式列方程即可求解。
6．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
7．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ．
故答案为：2．
【分析】利用二次根式的除法计算法则求解即可。
8．【答案】
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝3 ﹣2
＝ ．
故答案为：
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
9．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得： ，
根据同类二次根式的被开方数相同可得答案为 ，
【分析】同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，据此解答即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD的面积为 cm2，它的长为2 cm，
∴ 它的宽为 cm.
【分析】根据矩形的面积=长×宽，得出矩形的宽为，进行计算即可得出答案.
11．【答案】（1）解：x2+2xy+y2
=（x+y）2
=[（2﹣ ）+（2+ ）]2
=42
=16；
（2）解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
=（2﹣ +2+ ）（2﹣ ﹣2﹣ ）
=4×（﹣2 ）
=﹣8 ．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式，然后再将x、y的值代入求得x+y的值，最后，再依据有理数的乘方法则进行计算即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式，然后再分别求得x+y和x-y的值，最后再依据实数的乘法法则进行计算即可.
12．【答案】解：依题意得：x2=12×8
∴x2=96
∴
答：x的值为 .
【知识点】二次根式的应用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x代表的实际意义.
13．【答案】解：AD和BC的延长线相交于E点，如图，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，
∴S△ABE= AB2= ×（2 ）2=12，S△CDE= CD2= ×（ ）2= ，
∴四边形ABCD的面积=12﹣ = ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】AD和BC的延长线相交于E点，根据条件易判断△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式得到S△ABE= AB2=12，S△CDE= CD2= ，然后求它们的差即可．
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