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2022年初中数学浙教版八年级下册1.3二次根式的运算 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·扶风期末）下列计算正确的是（ ）
A． + = B． - =-1
C． × ＝ D． ÷ ＝
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不能合并，故A不符合题意；
B、不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；再利用两个二次根式相乘或相除，把被开方数相乘或相除，然后将结果化成最简二次根式，可对C，D作出判断.
2．（2021八上·镇海期末）下列说法中正确的是（ ）
A．使式子 有意义的是x＞﹣3
B．使 是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3 cm，则面积为30cm2
D．计算3÷ × 的结果是3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使 是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3 cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷ × 的结果是1，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案.
3．（2021八下·召陵期末）使 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可.
4．（2021·恩施）从 ， ， 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】实数大小的比较；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴所有积中小于2的有 两个；
故答案为：C.
【分析】先将任意两个数相乘，分别求出结果，再与2相比较即可.
5．（2021七下·海淀期中）如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了 dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知 dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
C．利用一个边长为 dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知 dm的大小
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A： ， =8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18， =18，不符合题意；
C： ， ，符合题意；
D： ， ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】在拼图的过程中，利用拼前，拼后的面积相等，分别计算各选项中拼前，拼后的面积，看是否相等即得结论.
二、填空题
6．（2021八上·普陀期中）计算： ＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】原式 ；
故答案是： ；
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
7．（2021九上·秦安期中） 化简得 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】给分子、分母同时乘以-1，然后利用平方差公式对分母进行计算即可.
8．（2020八上·长宁期末）若二次根式 与 是同类二次根式，则整数 可以等于 ．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式 与 是同类二次根式，
∴可设 ，
则 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义可得：，再求出a的值即可。
9．（2021七上·萧山期末）一个边长为a的正方形的面积为 ，一个棱长为b的立方体的体积为 ，则 = .
【答案】
【知识点】立方根及开立方；二次根式的应用
【解析】【解答】解：a=,
b==,
∴;
故答案为：；
【分析】根据平方根和立方根的定义先分别求出a、b值，再代入 化简求值即可.
10．（2021九上·大埔期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 和 ，则图中阴影部分的面积为
【答案】2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵大正方形的面积为 ，小正方形的面积为2，
∴大正方形的边长为 ，小正方形的边长为
∴阴影部分的面积为
故答案为：2．
【分析】先求出大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，再求阴影部分的面积即可。
三、解答题
11．（2017八下·苏州期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
.
则x-y=，xy==
则x2 x y + y2=（x-y）2+xy=（）2+=3+1=4.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先对x，y进行分母有理化；再求出x-y和xy的值，将代数式进行变化，然后代入x-y和xy的值计算.
12．（2020八下·衢州期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
13．（2021八下·长兴期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
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2022年初中数学浙教版八年级下册1.3二次根式的运算 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·扶风期末）下列计算正确的是（ ）
A． + = B． - =-1
C． × ＝ D． ÷ ＝
2．（2021八上·镇海期末）下列说法中正确的是（ ）
A．使式子 有意义的是x＞﹣3
B．使 是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3 cm，则面积为30cm2
D．计算3÷ × 的结果是3
3．（2021八下·召陵期末）使 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
4．（2021·恩施）从 ， ， 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021七下·海淀期中）如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了 dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知 dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
C．利用一个边长为 dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知 dm的大小
二、填空题
6．（2021八上·普陀期中）计算： ＝ ．
7．（2021九上·秦安期中） 化简得 .
8．（2020八上·长宁期末）若二次根式 与 是同类二次根式，则整数 可以等于 ．（写出一个即可）
9．（2021七上·萧山期末）一个边长为a的正方形的面积为 ，一个棱长为b的立方体的体积为 ，则 = .
10．（2021九上·大埔期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 和 ，则图中阴影部分的面积为
三、解答题
11．（2017八下·苏州期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
12．（2020八下·衢州期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm 和32dm 的正方形木板。
（1）求剩余木料的面积。
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条。
13．（2021八下·长兴期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不能合并，故A不符合题意；
B、不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；再利用两个二次根式相乘或相除，把被开方数相乘或相除，然后将结果化成最简二次根式，可对C，D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使 是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3 cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷ × 的结果是1，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可.
4．【答案】C
【知识点】实数大小的比较；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴所有积中小于2的有 两个；
故答案为：C.
【分析】先将任意两个数相乘，分别求出结果，再与2相比较即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A： ， =8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18， =18，不符合题意；
C： ， ，符合题意；
D： ， ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】在拼图的过程中，利用拼前，拼后的面积相等，分别计算各选项中拼前，拼后的面积，看是否相等即得结论.
6．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】原式 ；
故答案是： ；
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
7．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】给分子、分母同时乘以-1，然后利用平方差公式对分母进行计算即可.
8．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵二次根式 与 是同类二次根式，
∴可设 ，
则 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义可得：，再求出a的值即可。
9．【答案】
【知识点】立方根及开立方；二次根式的应用
【解析】【解答】解：a=,
b==,
∴;
故答案为：；
【分析】根据平方根和立方根的定义先分别求出a、b值，再代入 化简求值即可.
10．【答案】2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵大正方形的面积为 ，小正方形的面积为2，
∴大正方形的边长为 ，小正方形的边长为
∴阴影部分的面积为
故答案为：2．
【分析】先求出大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，再求阴影部分的面积即可。
11．【答案】（1）解：
.
则x-y=，xy==
则x2 x y + y2=（x-y）2+xy=（）2+=3+1=4.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先对x，y进行分母有理化；再求出x-y和xy的值，将代数式进行变化，然后代入x-y和xy的值计算.
12．【答案】（1）解：∵两个正方形的面积分别为18dm 和32dm ，
∴这两个正方形的边长分别为3 dm和4 dm，
∴剩余木料的面积为(4 -3 )×3 =6(dm).
（2）2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）4<3 <4.5，1< <2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条
【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出两个正方形的边长，然后求出剩余木材的面积。
（2）分别求出和3的范围，就可得出答案。
13．【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
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