2022年初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·咸宁月考）计算 的结果是（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =5，
故答案为：B.
【分析】根据可得结果.
2．（2021八上·莲湖期末）计算 ÷ 的结果是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷ =.
故答案为：B
【分析】
二次根式除法：.
3．（2021九上·甘谷期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 同时满足定义两个条件，所以A正确，
因为 ，不满足定义中不能含有开的尽方的因数，所以B错误，
因为 ，不满足定义中不能含有开的尽方的因数，所以C错误，
因为 ，不满足被开方数不含分母，所以D错误，
故答案为：A.
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义即可判断求解。根据定义即可判断求解.
4．（2021·柳州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. 符合题意；
D. ， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、B、D、根据同类二次根式的概念进行判断；
C、根据二次根式的乘法法则进行判断.
5．（2021八下·重庆期末）估算 的值应该在（ ）
A．-1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： .
所以 .
故答案为：C
【分析】先根据二次根式乘除法法则对第一项化简，然后根据二次根式的性质确定的范围，从而可得4-的范围，即可解答.
6．（2021·西安模拟）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 B．x+2y＝3xy
C． ﹣3 ＝0 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2，计算错误，不符合题意；
B、x和2y不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 ﹣3 ＝3 -3 =0，计算正确，符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可得原式=a2-b2； B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知x和2y不是同类项，所以不能合并； C、由二次根式的性质和合并同类二次根式的法则可得原式=3 -3 =0; D 、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=a6.
7．（2021·平房模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D． 与2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、化简结果是-2与2，互为相反数，符合题意；
B、化简结果是-2与-2，不互为相反数，不符合题意；
C、-2的相反数应该是2，不互为相反数，不符合题意；
D、化简结果2与2，不互为相反数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，再对每个选项一一计算判断求解即可。
8．（2021·南京一模）当x＝1时，下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】A、当 时， 的分母 ，此式子有意义，此项不符题意；
B、当 时， 的分母 ，此式子有意义，此项不符题意；
C、当 时， 的被开方数 ，此式子有意义，此项不符题意；
D、当 时， 的分母 ，此式子没有意义，此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分式有意义：分母≠0，二次根式有意义：被开方数非负可得结果.
9．若二次根式 的值是整数，则下列n的取值不符合条件的是（ ）
A．n=3 B．n=12 C．n=18 D．n=27
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵二次根式 的值是整数，
∴3n是一个正整数的平方，
∴当n=3时，3n=9=32，故A不符合题意；
当n=12时，3n=36=62，故B不符合题意；
当n=18时，3n=54，故C符合题意；
当n=27时，3n=81=92，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据题意得出3n是一个正整数的平方，逐项进行计算，即可得出答案.
10．（2021九上·汝阳期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
B、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
C、 ，根号下部分不可能小于零，故此选项正确；
D、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义“形如的式子叫二次根式”可判断求解.
二、填空题
11．（2017·上海）方程 =1的解是 ．
【答案】x=2
【知识点】二次根式的应用；解一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
故答案为x=2．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
12．（2021八上·丹江口期末）要使 有意义，则x的取值范围为 .
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.
13．（2017·巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b﹣2）2=0，第三边c为奇数，则c= ．
【答案】9
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵a、b满足 +（b﹣2）2=0，
∴a=9，b=2，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴7＜c＜11，
∵第三边c为奇数，
∴c=9，
故答案为：9．
【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边的关系求出c的取值范围，根据题意求出c的值.
14．（2021八上·杨浦期中）如果 有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得： 且 ，解得
故答案为
【分析】由于已知二次根式含有分母，即保证被开方数为非负数，还要保证分母不为0，据此解答即可.
15．（2021八上·宝山月考）化简： ＝ ， ＝ ．
【答案】；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ；
【分析】利用二次根式的性质及分母有理化化简即可。
16．（2021八上·秦都月考） 的值是一个整数，则正整数a的最小值是 .
【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为 = ， 的值是一个整数，
所以正整数a的最小值是2.
故答案为2
【分析】由已知得到 = ，要使的值是一个最小整数，则a最小，这时25×2a=100，是一个平方数，即可解答.
17．（2021八下·绍兴期中）计算 × （a≥0）的结果是 ．
【答案】4a
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=
=
=4a
【分析】二次根式相乘，就是被开方数相乘，然后再开方，或者化简为最简二次根式.
18．（2021·衢州）若 有意义，则x的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得： ，
∴x的值可以是3，
故答案为：3
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x的取值范围，根据其取值范围可得到符合题意的x的值.
三、计算题
19．（2017八下·姜堰期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2
（2）解：原式=（2）
=2.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，之后再来合并同类项.
（2）根据平方差公式化简计算即可.
四、解答题
20．（2017八下·广州期中）先化简，再求值： +（x﹣2）2﹣6 ，其中，x= +1．
【答案】解：∵x= +1＞0，
∴原式= +x2﹣4x+4﹣2x
=4x+x2﹣4x+4﹣2x
=x2﹣2x+4
=（x﹣1）2+3
=5+3
=8
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】原式第一项约分，第二项利用完全平方公式化简，第三项利用二次根式性质计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
21．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．
【答案】解：∵矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，
∴两个正方形的边长分别为： ， ，
∴大矩形内阴影部分的面积为：大矩形面积﹣2﹣6=（ + ）× ﹣8=2 ﹣2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ， ，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
22．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
23．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·咸宁月考）计算 的结果是（ ）
A． B．5 C． D．25
2．（2021八上·莲湖期末）计算 ÷ 的结果是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2021九上·甘谷期末）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·柳州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八下·重庆期末）估算 的值应该在（ ）
A．-1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
6．（2021·西安模拟）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 B．x+2y＝3xy
C． ﹣3 ＝0 D．（﹣a3）2＝﹣a6
7．（2021·平房模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D． 与2
8．（2021·南京一模）当x＝1时，下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
9．若二次根式 的值是整数，则下列n的取值不符合条件的是（ ）
A．n=3 B．n=12 C．n=18 D．n=27
10．（2021九上·汝阳期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2017·上海）方程 =1的解是 ．
12．（2021八上·丹江口期末）要使 有意义，则x的取值范围为 .
13．（2017·巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b﹣2）2=0，第三边c为奇数，则c= ．
14．（2021八上·杨浦期中）如果 有意义，那么实数x的取值范围是 ．
15．（2021八上·宝山月考）化简： ＝ ， ＝ ．
16．（2021八上·秦都月考） 的值是一个整数，则正整数a的最小值是 .
17．（2021八下·绍兴期中）计算 × （a≥0）的结果是 ．
18．（2021·衢州）若 有意义，则x的值可以是 .（写出一个即可）
三、计算题
19．（2017八下·姜堰期末）计算：
（1）
（2）
四、解答题
20．（2017八下·广州期中）先化简，再求值： +（x﹣2）2﹣6 ，其中，x= +1．
21．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．
22．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
23．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =5，
故答案为：B.
【分析】根据可得结果.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷ =.
故答案为：B
【分析】
二次根式除法：.
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 同时满足定义两个条件，所以A正确，
因为 ，不满足定义中不能含有开的尽方的因数，所以B错误，
因为 ，不满足定义中不能含有开的尽方的因数，所以C错误，
因为 ，不满足被开方数不含分母，所以D错误，
故答案为：A.
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义即可判断求解。根据定义即可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. 符合题意；
D. ， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、B、D、根据同类二次根式的概念进行判断；
C、根据二次根式的乘法法则进行判断.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： .
所以 .
故答案为：C
【分析】先根据二次根式乘除法法则对第一项化简，然后根据二次根式的性质确定的范围，从而可得4-的范围，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2，计算错误，不符合题意；
B、x和2y不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 ﹣3 ＝3 -3 =0，计算正确，符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可得原式=a2-b2； B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知x和2y不是同类项，所以不能合并； C、由二次根式的性质和合并同类二次根式的法则可得原式=3 -3 =0; D 、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=a6.
7．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、化简结果是-2与2，互为相反数，符合题意；
B、化简结果是-2与-2，不互为相反数，不符合题意；
C、-2的相反数应该是2，不互为相反数，不符合题意；
D、化简结果2与2，不互为相反数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，再对每个选项一一计算判断求解即可。
8．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】A、当 时， 的分母 ，此式子有意义，此项不符题意；
B、当 时， 的分母 ，此式子有意义，此项不符题意；
C、当 时， 的被开方数 ，此式子有意义，此项不符题意；
D、当 时， 的分母 ，此式子没有意义，此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分式有意义：分母≠0，二次根式有意义：被开方数非负可得结果.
9．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵二次根式 的值是整数，
∴3n是一个正整数的平方，
∴当n=3时，3n=9=32，故A不符合题意；
当n=12时，3n=36=62，故B不符合题意；
当n=18时，3n=54，故C符合题意；
当n=27时，3n=81=92，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据题意得出3n是一个正整数的平方，逐项进行计算，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
B、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
C、 ，根号下部分不可能小于零，故此选项正确；
D、 ，根号下部分有可能小于零，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义“形如的式子叫二次根式”可判断求解.
11．【答案】x=2
【知识点】二次根式的应用；解一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
故答案为x=2．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
12．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.
13．【答案】9
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵a、b满足 +（b﹣2）2=0，
∴a=9，b=2，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴7＜c＜11，
∵第三边c为奇数，
∴c=9，
故答案为：9．
【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边的关系求出c的取值范围，根据题意求出c的值.
14．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得： 且 ，解得
故答案为
【分析】由于已知二次根式含有分母，即保证被开方数为非负数，还要保证分母不为0，据此解答即可.
15．【答案】；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ；
【分析】利用二次根式的性质及分母有理化化简即可。
16．【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为 = ， 的值是一个整数，
所以正整数a的最小值是2.
故答案为2
【分析】由已知得到 = ，要使的值是一个最小整数，则a最小，这时25×2a=100，是一个平方数，即可解答.
17．【答案】4a
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=
=
=4a
【分析】二次根式相乘，就是被开方数相乘，然后再开方，或者化简为最简二次根式.
18．【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得： ，
∴x的值可以是3，
故答案为：3
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x的取值范围，根据其取值范围可得到符合题意的x的值.
19．【答案】（1）解：原式=2
（2）解：原式=（2）
=2.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，之后再来合并同类项.
（2）根据平方差公式化简计算即可.
20．【答案】解：∵x= +1＞0，
∴原式= +x2﹣4x+4﹣2x
=4x+x2﹣4x+4﹣2x
=x2﹣2x+4
=（x﹣1）2+3
=5+3
=8
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】原式第一项约分，第二项利用完全平方公式化简，第三项利用二次根式性质计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
21．【答案】解：∵矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，
∴两个正方形的边长分别为： ， ，
∴大矩形内阴影部分的面积为：大矩形面积﹣2﹣6=（ + ）× ﹣8=2 ﹣2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ， ，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
22．【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
23．【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
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