2022年初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·峄城期中）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2
C．27的平方根是±3 D．立方根等于－1的实数是－1
3．（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．（2021八下·丽水期中）若x，y为实数，且y＝2+ + ，则|x+y|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
6．（2021·常德）计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7．（2021七下·运城期中）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足 =0，则△ABC是（ ）
A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形
C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形
8．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（ ）．
A． B． ，
C． ， D． ，
9．（2021九下·东坡开学考）要使代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1
C．x≠0 D．x＞﹣1且x≠0
10．（2021七下·运城期中）若 =2b-4，则（ ）
A．b>2 B．b<2 C．b≥2 D．b≤2
二、填空题
11．（2021八下·青神期中）函数 中自变量 的取值范围是 。
12．（2020七上·广饶期末）若实数m、n满足等式 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
13．（2021七下·上海期中）比较大小： ；(选填“>”或“<”)
14．（2020九上·洛阳期末）若a、b为有理数,且 ,则a+b=
15．（2021七下·上海期中）若 ( 为连续整数),那么 的值为 .
16．（2021八下·吉林月考）若 为正整数，则满足条件的a的最小正整数值为
17．（2020八上·砀山期末）最简二次根式与 是同类最简二次根式，则a-b= 。
18．当x= 时，代数式4- 有最大值，其最大值是
三、计算题
19．（2021八上·长清期中）计算：
（1）（ ）× ；
（2）（ ）2．
四、解答题
20．（2021八上·达州期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
.
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值.
21．（2021八上·秦都月考）已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
22．（2021八上·高州月考）如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简 ．
23．（2021八下·武汉月考）由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；零指数幂；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 是最简根式，故该选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据开方、二次根式的加减、零指数幂的性质分别计算，再判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可．
【解答】A、9的算术平方根是3，故本选项错误；
B、的平方根是±2，故本选项错误；
C、27的立方根是3，故本选项正确；
D、立方根等于1的数是1，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
5．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵3-x≥0，x-3≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x=3，
∴y=2，
∴|x+y|=|3+2|=5，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件分别列不等式得出x=3，从而求出y值，再代入原式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=1.
故答案为：B.
【分析】先算括号里的运算，再利用二次根式的乘法法则进行化简.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：根据题意可得，a=1，b=，c=
∵a2+b2=1+2=3=c2
∴构成了以c为斜边的直角三角形
故答案为：A.
【分析】根据非负数的性质分别计算得到a，b以及c的值，继而由勾股定理证明得到三条边围成直角三角形即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
9．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x+1＞0
解之：x＞-1.
故答案为：A.
【分析】利用分式有意义，则分母不等于0及二次根式有意义，则被开方数大于等于0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可得，4-2b≤0
4≤2b
2≤b
故答案为：C.
【分析】根据题意，由二次根式的性质，判断得到答案即可。
11．【答案】x≥-2且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得
解之：x≥-2且x≠3.
故答案为：x≥-2且x≠3.
【分析】观察函数解析式，含有分式，则分母不等于0，分子中含有二次根式，则被开方数大于等于0，由此建立关于x不等式组，然后求出不等式组的解集.
12．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】由题可知，│m－2│≥0， ≥0.又∵│m－2│＋ ＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，此时满足三角形三边关系，则C△ABC＝4＋4＋2＝10.
故答案是10.
【分析】根据绝对值及二次根式的的非负性，可得m－2＝0，n－4＝0，求出m＝2，n＝4.根据等腰三角形的性质，分两种情况①当以m为腰时，②当以n为腰时，然后利用三角形的三边关系进行检验即可.
13．【答案】<
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）2=18，（2）2=12
∴3＞2
∴-3＜-2
【分析】根据二次根式的性质，比较大小即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=0，b=，
∴a+b=.
故答案为：.
【分析】把原式化成，从而得出a，b的值，再代入a+b进行计算，即可求解.
15．【答案】9
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可知，，a和b为连续的整数
∴a=4，b=5
∴a+b=4+5=9
【分析】根据二次根式的性质，计算得到a和b的值，继而得到答案即可。
16．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵2为正整数，
∴ a的最小正整数值为5.
【分析】先化简，再根据2为正整数，即可得出答案.
17．【答案】2
【知识点】代数式求值；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类最简二次根式，
∴a-1=2，5-2b=b+2，
∴a=3，b=1，
∴a-b=3-1=2.
【分析】根据同类二次根式的定义得出a-1=2，5-2b=b+2，求出a，b的值，即可得出答案.
18．【答案】-1；4
【知识点】二次根式有意义的条件；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵≥0，
∴4-≤4，
∴当x=-1时，4-的最大值为4.
故答案为：-1；4.
【分析】根据二次根式的性质得出，从而得出4-≤4，得出当x=-1时，4-的最大值为4，即可得出答案.
19．【答案】（1）解： ）×
= -
=6-1
=5；
（2）解：（ ）2
=（2 - + ）2
=（ + ）2
=6+2 +5
=11+2 ．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算化简计算即可；
（2）利用二次根式的加减及完全平方公式展开计算即可。
20．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = .
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；分母有理化
【解析】【分析】对a的分子、分母同时乘以+1，并化简可得a=+1，计算出a-1的值，结合完全平方公式可得a2-2a的值，然后将待求式变形为4(a2-2a)-3，据此计算.
21．【答案】解：
.
即长方形的周长是 .
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据长方形周长的公式列式，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果.
22．【答案】解：由数轴得a∴a-c<0，a+b<0，
∴
=-b-（c-a）+（a+b）
=-b-c+a+a+b
=2a-c.
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴得出a23．【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ,
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
【分析】(1 )直接套公式计算, 取相反数后, 套用公式计算即可；
(2 )设篱笆的长为x , 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可；
(3)设点B到AC的距离BE=h1 , 点D到OC的距离DF=h2 , 用AC , h1 ,h2 ,表示四边形的面积，最后套用公式计算即可.
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册第一章 二次根式 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·峄城期中）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；零指数幂；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 是最简根式，故该选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据开方、二次根式的加减、零指数幂的性质分别计算，再判断即可.
2．下列说法中错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2
C．27的平方根是±3 D．立方根等于－1的实数是－1
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可．
【解答】A、9的算术平方根是3，故本选项错误；
B、的平方根是±2，故本选项错误；
C、27的立方根是3，故本选项正确；
D、立方根等于1的数是1，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
3．（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
4．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
5．（2021八下·丽水期中）若x，y为实数，且y＝2+ + ，则|x+y|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵3-x≥0，x-3≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x=3，
∴y=2，
∴|x+y|=|3+2|=5，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件分别列不等式得出x=3，从而求出y值，再代入原式计算即可.
6．（2021·常德）计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=1.
故答案为：B.
【分析】先算括号里的运算，再利用二次根式的乘法法则进行化简.
7．（2021七下·运城期中）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足 =0，则△ABC是（ ）
A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形
C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：根据题意可得，a=1，b=，c=
∵a2+b2=1+2=3=c2
∴构成了以c为斜边的直角三角形
故答案为：A.
【分析】根据非负数的性质分别计算得到a，b以及c的值，继而由勾股定理证明得到三条边围成直角三角形即可。
8．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（ ）．
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
9．（2021九下·东坡开学考）要使代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1
C．x≠0 D．x＞﹣1且x≠0
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x+1＞0
解之：x＞-1.
故答案为：A.
【分析】利用分式有意义，则分母不等于0及二次根式有意义，则被开方数大于等于0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
10．（2021七下·运城期中）若 =2b-4，则（ ）
A．b>2 B．b<2 C．b≥2 D．b≤2
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可得，4-2b≤0
4≤2b
2≤b
故答案为：C.
【分析】根据题意，由二次根式的性质，判断得到答案即可。
二、填空题
11．（2021八下·青神期中）函数 中自变量 的取值范围是 。
【答案】x≥-2且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得
解之：x≥-2且x≠3.
故答案为：x≥-2且x≠3.
【分析】观察函数解析式，含有分式，则分母不等于0，分子中含有二次根式，则被开方数大于等于0，由此建立关于x不等式组，然后求出不等式组的解集.
12．（2020七上·广饶期末）若实数m、n满足等式 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】由题可知，│m－2│≥0， ≥0.又∵│m－2│＋ ＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，此时满足三角形三边关系，则C△ABC＝4＋4＋2＝10.
故答案是10.
【分析】根据绝对值及二次根式的的非负性，可得m－2＝0，n－4＝0，求出m＝2，n＝4.根据等腰三角形的性质，分两种情况①当以m为腰时，②当以n为腰时，然后利用三角形的三边关系进行检验即可.
13．（2021七下·上海期中）比较大小： ；(选填“>”或“<”)
【答案】<
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）2=18，（2）2=12
∴3＞2
∴-3＜-2
【分析】根据二次根式的性质，比较大小即可。
14．（2020九上·洛阳期末）若a、b为有理数,且 ,则a+b=
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=0，b=，
∴a+b=.
故答案为：.
【分析】把原式化成，从而得出a，b的值，再代入a+b进行计算，即可求解.
15．（2021七下·上海期中）若 ( 为连续整数),那么 的值为 .
【答案】9
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意可知，，a和b为连续的整数
∴a=4，b=5
∴a+b=4+5=9
【分析】根据二次根式的性质，计算得到a和b的值，继而得到答案即可。
16．（2021八下·吉林月考）若 为正整数，则满足条件的a的最小正整数值为
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵2为正整数，
∴ a的最小正整数值为5.
【分析】先化简，再根据2为正整数，即可得出答案.
17．（2020八上·砀山期末）最简二次根式与 是同类最简二次根式，则a-b= 。
【答案】2
【知识点】代数式求值；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类最简二次根式，
∴a-1=2，5-2b=b+2，
∴a=3，b=1，
∴a-b=3-1=2.
【分析】根据同类二次根式的定义得出a-1=2，5-2b=b+2，求出a，b的值，即可得出答案.
18．当x= 时，代数式4- 有最大值，其最大值是
【答案】-1；4
【知识点】二次根式有意义的条件；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：∵≥0，
∴4-≤4，
∴当x=-1时，4-的最大值为4.
故答案为：-1；4.
【分析】根据二次根式的性质得出，从而得出4-≤4，得出当x=-1时，4-的最大值为4，即可得出答案.
三、计算题
19．（2021八上·长清期中）计算：
（1）（ ）× ；
（2）（ ）2．
【答案】（1）解： ）×
= -
=6-1
=5；
（2）解：（ ）2
=（2 - + ）2
=（ + ）2
=6+2 +5
=11+2 ．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算化简计算即可；
（2）利用二次根式的加减及完全平方公式展开计算即可。
四、解答题
20．（2021八上·达州期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
.
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = .
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；分母有理化
【解析】【分析】对a的分子、分母同时乘以+1，并化简可得a=+1，计算出a-1的值，结合完全平方公式可得a2-2a的值，然后将待求式变形为4(a2-2a)-3，据此计算.
21．（2021八上·秦都月考）已知长方形的长是 ，宽是 ，求长方形的周长.
【答案】解：
.
即长方形的周长是 .
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据长方形周长的公式列式，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果.
22．（2021八上·高州月考）如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简 ．
【答案】解：由数轴得a∴a-c<0，a+b<0，
∴
=-b-（c-a）+（a+b）
=-b-c+a+a+b
=2a-c.
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴得出a23．（2021八下·武汉月考）由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ,
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
【分析】(1 )直接套公式计算, 取相反数后, 套用公式计算即可；
(2 )设篱笆的长为x , 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可；
(3)设点B到AC的距离BE=h1 , 点D到OC的距离DF=h2 , 用AC , h1 ,h2 ,表示四边形的面积，最后套用公式计算即可.
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