初中数学浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用 强化提升训练
一、单选题
1．（2019九上·平遥月考）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．13 D．9或12
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+10=0得x1=2，x2=5
∵2+2＜5，不符合三角形的任意两边的和都大于第三边，故2,2,5不能组成三角形。
∴该等腰三角形的周长为2+5+5=12.
故答案为：B。
【分析】先解一元二次方程得该方程的两个实数根，然后分2为腰或底两种情况利用三角形的三边关系定理验证是否能组成三角形，能组成的，计算出其周长即可。
2．（2019八下·温州期末）《代数学》中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25=64，则该方程的正数解为8-5=3”，小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m=0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．3 -3 C．3 -2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 由题意得：x2+6x=36，
解方程得：x2+2×3x+9=45，
（x+3）2=±3，
∴x+3=3， 或x+3=-3，
∴x=3-3， 或x=-3-3<0，
∴该方程的正数解为：3-3，
故答案为：B
【分析】根据题意列方程，即x2+6x就是阴影部分的面积，用配方法解二次方程，取正数解即可。
3．（2019八下·长兴月考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价降低x元，则(20+2x)(40-x)=1200，
整理得：（x-10）(x-20)=0，
解得：x=10，或x=20，
∵每件盈利不少于25元 ，
∴x=20(舍去)；
故答案为： A.
【分析】设销售单价降低x元， 根据销售利润=数量×单价利润，列方程求x即可，但要注意保证每件盈利不少于25元。
4．（2019·嘉兴模拟）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得（x+y）2= x（y+x+ x），
而x=1，
∴y2+y-1=0，
∴y= ，而y不能为负，
∴y= ．
故答案为：A．
【分析】根据甲图形的面积=乙图形的面积，由x=1，建立关于y的一元二次方程，解方程求出x的值即可。
5．（2019八下·温州期中）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若a=1，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2-b-1=0，
∴b= ，而y不能为负，
∴b= .
故答案为：B.
【分析】图甲的正方形的边长为（a+b）,根据正方形的面积等于边长的平方得出图甲的面积为（a+b）2;图乙矩形的宽为b，长为（a+b+b）,根据矩形的面积等于长乘以宽得出：图乙的面积为b（b+a+b），根据两个图形的面积相等，列出方程，求解并检验即可。
6．（2019八下·余姚月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．则AB长度为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．12.5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设AB=x米，则BC=（50-2x）米．
根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50-10-10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
故答案为：B．
【分析】此题实际告诉了AB+BC+CD的和，根据矩形对边相等得出AB=CD，故设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据矩形的面积=两邻边之积即可列出方程，求解并检验即可。
7．（2019九下·南宁月考）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元．
A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+
）﹣24=200．
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
∵200+
＞200+
，
∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．
故答案为：C．
【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+
千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．
8．（2019九上·黄石月考）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（ ）
A．15 B．18 C．21 D．35
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，
可得共有 种组合，
又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，
所以最长需要的天数是： ÷（24÷8）=70（天），
解得：x1=21，x2=-20，
即有21名护士.
故答案为：C.
【分析】抓住关键的已知条件：有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，再根据最长的天数=70天，由此列方程求出x的值。
二、填空题
9．（2019九上·硚口月考）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，一共打45场比赛.设有 个球队参赛，根据题意，所列方程为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵有 个球队参赛，
∴每个队参加（x-1）场比赛，
∵每两队只有1场比赛，
∴共有 x(x-1)场比赛，
∵一共打45场比赛.
∴可列方程为： x(x-1)=45，
故答案为： x(x-1)=45.
【分析】由题意可知此篮球联赛实行单循环赛制，根据一共比赛45场，列方程即可。
10．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意有
n（n+1）+1=56，
解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10
【分析】根据图形寻找规律，可知n条直线最多将平面分成 n（n+1）+1，就可得出等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列方程求解即可。
11．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元.
【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9．
故答案为：9
【分析】根据题意可得每件纪念品的利润为：（10﹣x﹣6）元，第二周的销量为（200+50x）件，清仓处理的利润为（4-6）（200-50x）元，再将第一第二周、清仓处理的利润相加表示出总利润，进而得出等式求出答案.
三、解答题
12．（2019九上·获嘉月考）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说出得出结论的道理。
【答案】解：设这个多边形是n边形，则
∵ =20，
∴n2-3n-40=0，
（n-8）（n+5）=0，
解得n=8，n=-5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵ =18，
∴n2-3n-36=0，
∵b2-4ac=9+144=153，
∴方程的根无法求出整数，
故这样的多边形不存在.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据多边形的对角线总条数= 列出方程，求解并根据n为正整数检验即可。
13．（2019九上·玉田期中）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 ．
由题意得；
解得：
当 时，周瑜的年龄 岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当 时，周瑜年龄为 岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为 岁．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
14．（2019九上·渠县月考）如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米;能否围成430平方米的矩形花园
【答案】解：当矩形的长BC为x米时，则AB为米，根据题意，得
·x=300
解得 x1=12 x2=50
∵50＞28
∴x=12
能。理由如下：
·x=430
整理，得 x2-62x+860=0
解，得 x1=31+ x2=31-
当 x=31+时，==-，不符合题意，舍去；
当 x=31-时，==，符合题意。
∴能围成430平方米的矩形花园。
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米;能围成430平方米的矩形花园。
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据砌墙材料共60m长，表示出AB=BC=xm，则AB=m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可。
15．（2019九上·莲湖期中）如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0).
（1）求几秒后，PQ的长度等于5 cm.
（2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8
cm2 并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意,得BP=(5-x),BQ=2x.
当PQ=5时,在Rt△PBQ中,BP2+BQ2=PQ2,
∴(5-x)2+(2x)2=52,
5x2-10x=0,
5x(x-2)=0,
x1=0(舍去),x2=2,
答:2秒后PQ的长度等于5cm.
（2）解：设经过x秒以后,△PBQ面积为8,
×(5-x)×2x=8.
整理得x2-5x+8=0,
Δ=25-32=-7<0,
∴△PQB的面积不能等于8cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2.
16．（2018九上·渝中期末）阅读材料，解决问题：
某数学学习小组在阅读数学史时，发现了一个有趣的故事；古希腊神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍，并说只要将每边扩大一倍就行，这当然是错误的，但这类问题却引出了著名的几何问题：倍立方问题．
此时他们刚好学面几何，所以甲同学提出：“任意给定一个正方形，是否存在另外一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍呢？”，对于这个问题小组成员很快给出了解答：
设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2
∵另一个正方形的周长为2×4a＝8a
∴此时边长为2a，面积为（2a）2＝4a2≠2a2
∴不存在这样的正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．
虽然甲同学的问题得到了很快的解决，但这一问题的提出触发了其他小组成员的积极思考，进一步乙同学提出：“任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”
通过讨论，他们决定先研究：“已知矩形的长和宽分别为m和1，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”，并给出了如下解答过程：
设所求矩形的长为x，则根据题意可表示出所求矩形的宽为2（m+1）﹣x
那么可建立方程：x [2（m+1）﹣x]＝2m
∵判别式△＝4m2+4＞0
∴原方程有解，即结论成立．
根据材料解决下列问题
（1）若已知一个矩形的长和宽分别为3和1，则是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？若存在，请求出此矩形的长和宽；若不存在，请说明理由；
（2）若已知一个矩形的长和宽分别为m和1，且一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍，求k的取值范围（写明解答过程）．
【答案】（1）解：设所求矩形的长为x，则它的宽为（2﹣x）．
由题可得：x（2﹣x）＝ ，
∵△＝﹣8＜0，
∴原方程无解，
∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
（2）解：设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（m+1）﹣x，
由题意得：x [k（m+1）﹣x]＝km，
整理得：x2﹣k（m+1）x+km＝0，
△＝k2m2+k2+2k2m﹣4km，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，即：k2m2+2k2m﹣4km+k2≥0，
整理得 m2+（2﹣ ）m+1≥0，
令y＝m2+（2﹣ ）m+1，为开口向上的抛物线，
则由y≥0，可得：（2﹣ ）2﹣4≤0，
解得：k≥1，
∴当k≥1时，结论成立，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）阅读材料并模仿材料中的过程解题，即先设所求矩形的长为x，根据题意得到用x表示的宽，再利用面积为等量关系列一元二次方程．若方程根的判别式大于等于零，则有解（存在），否则无解（不存在）；（2）题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零；令这个根的判别式（含m、k）为一个关于m的二次函数，其抛物线开口向上，又无论m取何值，此函数值大于等于零，即顶点纵坐标大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围．
17．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
【答案】（1）解：设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元
（2）解：设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）× （1+a%）+40× （1+a%）=40（1+ a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）× （1+y）+40× （1+y）=40（1+ y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意可得不等关系：今年5月20日购买2.5千克猪肉的价格100，根据这个不等关系列不等式即可求解；
（2）由题意可得相等关系：5月21日出售的储备猪肉的销售总额+5月21日出售的非储备猪肉的销售总额=两种猪肉销售的总金额，根据相等关系列方程即可求解。
18．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 ）2；解得t=1或t=- （不合题意舍去）
（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= = ×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2t）×5t= ×（-2t2+7t）
当t=- 时，即t= =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2×1.75）×5×1.752= （cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×7×24- = （cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，在直角三角形PCQ中，根据勾股定理可得，PC2+CQ2=PQ2，将PC、CQ、PQ代入等式，可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，则△PCQ的面积=PC×CQ=15，列方程即可求解；
（3）由（2）知，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，△PCQ的面积=PC×CQ，要使四边形BPQA的面积最小，则△PCQ的面积最大，求得使△PCQ的面积最大的t值即可。
1 / 1初中数学浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用 强化提升训练
一、单选题
1．（2019九上·平遥月考）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．13 D．9或12
2．（2019八下·温州期末）《代数学》中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25=64，则该方程的正数解为8-5=3”，小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m=0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．3 -3 C．3 -2 D．3
3．（2019八下·长兴月考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元
4．（2019·嘉兴模拟）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八下·温州期中）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若a=1，则b等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八下·余姚月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．则AB长度为（ ）
A．10 B．15 C．10或15 D．12.5
7．（2019九下·南宁月考）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元．
A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.2
8．（2019九上·黄石月考）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（ ）
A．15 B．18 C．21 D．35
二、填空题
9．（2019九上·硚口月考）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，一共打45场比赛.设有 个球队参赛，根据题意，所列方程为 .
10．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 ．
11．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元.
三、解答题
12．（2019九上·获嘉月考）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说出得出结论的道理。
13．（2019九上·玉田期中）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
14．（2019九上·渠县月考）如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米;能否围成430平方米的矩形花园
15．（2019九上·莲湖期中）如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0).
（1）求几秒后，PQ的长度等于5 cm.
（2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8
cm2 并说明理由.
16．（2018九上·渝中期末）阅读材料，解决问题：
某数学学习小组在阅读数学史时，发现了一个有趣的故事；古希腊神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍，并说只要将每边扩大一倍就行，这当然是错误的，但这类问题却引出了著名的几何问题：倍立方问题．
此时他们刚好学面几何，所以甲同学提出：“任意给定一个正方形，是否存在另外一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍呢？”，对于这个问题小组成员很快给出了解答：
设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2
∵另一个正方形的周长为2×4a＝8a
∴此时边长为2a，面积为（2a）2＝4a2≠2a2
∴不存在这样的正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．
虽然甲同学的问题得到了很快的解决，但这一问题的提出触发了其他小组成员的积极思考，进一步乙同学提出：“任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”
通过讨论，他们决定先研究：“已知矩形的长和宽分别为m和1，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”，并给出了如下解答过程：
设所求矩形的长为x，则根据题意可表示出所求矩形的宽为2（m+1）﹣x
那么可建立方程：x [2（m+1）﹣x]＝2m
∵判别式△＝4m2+4＞0
∴原方程有解，即结论成立．
根据材料解决下列问题
（1）若已知一个矩形的长和宽分别为3和1，则是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？若存在，请求出此矩形的长和宽；若不存在，请说明理由；
（2）若已知一个矩形的长和宽分别为m和1，且一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍，求k的取值范围（写明解答过程）．
17．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
18．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+10=0得x1=2，x2=5
∵2+2＜5，不符合三角形的任意两边的和都大于第三边，故2,2,5不能组成三角形。
∴该等腰三角形的周长为2+5+5=12.
故答案为：B。
【分析】先解一元二次方程得该方程的两个实数根，然后分2为腰或底两种情况利用三角形的三边关系定理验证是否能组成三角形，能组成的，计算出其周长即可。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 由题意得：x2+6x=36，
解方程得：x2+2×3x+9=45，
（x+3）2=±3，
∴x+3=3， 或x+3=-3，
∴x=3-3， 或x=-3-3<0，
∴该方程的正数解为：3-3，
故答案为：B
【分析】根据题意列方程，即x2+6x就是阴影部分的面积，用配方法解二次方程，取正数解即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价降低x元，则(20+2x)(40-x)=1200，
整理得：（x-10）(x-20)=0，
解得：x=10，或x=20，
∵每件盈利不少于25元 ，
∴x=20(舍去)；
故答案为： A.
【分析】设销售单价降低x元， 根据销售利润=数量×单价利润，列方程求x即可，但要注意保证每件盈利不少于25元。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得（x+y）2= x（y+x+ x），
而x=1，
∴y2+y-1=0，
∴y= ，而y不能为负，
∴y= ．
故答案为：A．
【分析】根据甲图形的面积=乙图形的面积，由x=1，建立关于y的一元二次方程，解方程求出x的值即可。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2-b-1=0，
∴b= ，而y不能为负，
∴b= .
故答案为：B.
【分析】图甲的正方形的边长为（a+b）,根据正方形的面积等于边长的平方得出图甲的面积为（a+b）2;图乙矩形的宽为b，长为（a+b+b）,根据矩形的面积等于长乘以宽得出：图乙的面积为b（b+a+b），根据两个图形的面积相等，列出方程，求解并检验即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设AB=x米，则BC=（50-2x）米．
根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50-10-10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
故答案为：B．
【分析】此题实际告诉了AB+BC+CD的和，根据矩形对边相等得出AB=CD，故设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据矩形的面积=两邻边之积即可列出方程，求解并检验即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+
）﹣24=200．
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
∵200+
＞200+
，
∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．
故答案为：C．
【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+
千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，
可得共有 种组合，
又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，
所以最长需要的天数是： ÷（24÷8）=70（天），
解得：x1=21，x2=-20，
即有21名护士.
故答案为：C.
【分析】抓住关键的已知条件：有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时換班一次，某两人同值班后，到下次两人再同班，再根据最长的天数=70天，由此列方程求出x的值。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵有 个球队参赛，
∴每个队参加（x-1）场比赛，
∵每两队只有1场比赛，
∴共有 x(x-1)场比赛，
∵一共打45场比赛.
∴可列方程为： x(x-1)=45，
故答案为： x(x-1)=45.
【分析】由题意可知此篮球联赛实行单循环赛制，根据一共比赛45场，列方程即可。
10．【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意有
n（n+1）+1=56，
解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10
【分析】根据图形寻找规律，可知n条直线最多将平面分成 n（n+1）+1，就可得出等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列方程求解即可。
11．【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9．
故答案为：9
【分析】根据题意可得每件纪念品的利润为：（10﹣x﹣6）元，第二周的销量为（200+50x）件，清仓处理的利润为（4-6）（200-50x）元，再将第一第二周、清仓处理的利润相加表示出总利润，进而得出等式求出答案.
12．【答案】解：设这个多边形是n边形，则
∵ =20，
∴n2-3n-40=0，
（n-8）（n+5）=0，
解得n=8，n=-5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵ =18，
∴n2-3n-36=0，
∵b2-4ac=9+144=153，
∴方程的根无法求出整数，
故这样的多边形不存在.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据多边形的对角线总条数= 列出方程，求解并根据n为正整数检验即可。
13．【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 ．
由题意得；
解得：
当 时，周瑜的年龄 岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当 时，周瑜年龄为 岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为 岁．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
14．【答案】解：当矩形的长BC为x米时，则AB为米，根据题意，得
·x=300
解得 x1=12 x2=50
∵50＞28
∴x=12
能。理由如下：
·x=430
整理，得 x2-62x+860=0
解，得 x1=31+ x2=31-
当 x=31+时，==-，不符合题意，舍去；
当 x=31-时，==，符合题意。
∴能围成430平方米的矩形花园。
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米;能围成430平方米的矩形花园。
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据砌墙材料共60m长，表示出AB=BC=xm，则AB=m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可。
15．【答案】（1）解：根据题意,得BP=(5-x),BQ=2x.
当PQ=5时,在Rt△PBQ中,BP2+BQ2=PQ2,
∴(5-x)2+(2x)2=52,
5x2-10x=0,
5x(x-2)=0,
x1=0(舍去),x2=2,
答:2秒后PQ的长度等于5cm.
（2）解：设经过x秒以后,△PBQ面积为8,
×(5-x)×2x=8.
整理得x2-5x+8=0,
Δ=25-32=-7<0,
∴△PQB的面积不能等于8cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2.
16．【答案】（1）解：设所求矩形的长为x，则它的宽为（2﹣x）．
由题可得：x（2﹣x）＝ ，
∵△＝﹣8＜0，
∴原方程无解，
∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
（2）解：设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（m+1）﹣x，
由题意得：x [k（m+1）﹣x]＝km，
整理得：x2﹣k（m+1）x+km＝0，
△＝k2m2+k2+2k2m﹣4km，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，即：k2m2+2k2m﹣4km+k2≥0，
整理得 m2+（2﹣ ）m+1≥0，
令y＝m2+（2﹣ ）m+1，为开口向上的抛物线，
则由y≥0，可得：（2﹣ ）2﹣4≤0，
解得：k≥1，
∴当k≥1时，结论成立，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）阅读材料并模仿材料中的过程解题，即先设所求矩形的长为x，根据题意得到用x表示的宽，再利用面积为等量关系列一元二次方程．若方程根的判别式大于等于零，则有解（存在），否则无解（不存在）；（2）题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零；令这个根的判别式（含m、k）为一个关于m的二次函数，其抛物线开口向上，又无论m取何值，此函数值大于等于零，即顶点纵坐标大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围．
17．【答案】（1）解：设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元
（2）解：设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）× （1+a%）+40× （1+a%）=40（1+ a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）× （1+y）+40× （1+y）=40（1+ y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意可得不等关系：今年5月20日购买2.5千克猪肉的价格100，根据这个不等关系列不等式即可求解；
（2）由题意可得相等关系：5月21日出售的储备猪肉的销售总额+5月21日出售的非储备猪肉的销售总额=两种猪肉销售的总金额，根据相等关系列方程即可求解。
18．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 ）2；解得t=1或t=- （不合题意舍去）
（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= = ×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2t）×5t= ×（-2t2+7t）
当t=- 时，即t= =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2×1.75）×5×1.752= （cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×7×24- = （cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，在直角三角形PCQ中，根据勾股定理可得，PC2+CQ2=PQ2，将PC、CQ、PQ代入等式，可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，则△PCQ的面积=PC×CQ=15，列方程即可求解；
（3）由（2）知，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，△PCQ的面积=PC×CQ，要使四边形BPQA的面积最小，则△PCQ的面积最大，求得使△PCQ的面积最大的t值即可。
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