2022年初中数学浙教版八年级下册2.2一元二次方程的解法 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2020八下·房山期中）一元二次方程2x2＋6x＋3= 0 经过配方后可变形为（ ）
A． =6 B． =12
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＋3= 0
∴
∴
∴
故答案为：C
【分析】先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数变为1，然后配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得到答案．
2．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
3．已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，
∴k=，b=﹣，
∴函数y=x﹣的图象不经过第二象限，
故选B．
【分析】首先利用因式分解法解一元二次方程求出k和b的值，然后判断函数y=x﹣ 的图象不经过的象限即可．
4．（2021八下·拱墅月考）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞
C．m＞ 且m≠1 D．m≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝8m﹣4＞0，
∴m＞ ，
∵m﹣1≠0，
∴m＞ 且m≠1，
故答案为：C.
【分析】 一元二次方程有两个不相等的实数根，即△>0，据此列式，结合一元二次方程的定义解答即可．
5．（2019八下·莲都期末）关于x的方程 至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =（-8m）2-4m2·12=16m2≥0,又m≠0
∴无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，
∴x=,
∴x1=,x2=
∵ 关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,
∴m=1或2或3或6，
∴ 满足条件的m的值的个数是 4个。
故答案为：B。
【分析】首先算出根的判别式的值，根据偶数次幂的非负性及方程的定义得出无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，然后利用求根公式用含m的式子表示出方程的两个根，进而根据关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,即可得出符合条件的m的值，从而得出答案。
二、填空题
6．（2017八下·三门期末）方程（x-1）(x+2)=0的解为 。
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-1）(x+2)=0，
∴x-1=0或x+2=0，
∴
故答案为 。
【分析】方程的左边已经是因式分解后的形式，即可得到x-1=0或x+2=0.
7．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= .
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，
∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，
∴m2﹣3m﹣10=0，
解得：m1=﹣2，m2=5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5；
故答案为：5．
【分析】设x2+y2=m，根据（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，得出m2﹣3m﹣10=0，再求出m的值，最后根据x2+y2≥0，即可得出答案．
8．（2019八下·南浔期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：△=b2-4ac=0,
∴（-4）2-4×2c=0,
∴8c=16, c=2 .
故答案为：2
【分析】一元二次方程有相等实数根的条件是△=0，据此列式即可求出c值。
9．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ,
∴a(x2+x+)=-c+ ,
∴a(x+)2= ,
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c, 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
10．（2017八下·柯桥期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ．
【答案】﹣3
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3=5，
即x2+6x﹣2=0，
∵a=1，b=6，c=﹣2，
∴△=36﹣4×1×（﹣2）=44＞0，
则x= =﹣3 ，
故答案为：﹣3 ．
【分析】根据题意列出方程x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，公式法求解可得．
三、解答题
11．（2017八下·湖州月考）已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根;
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根。并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
【答案】（1）解：由判别式可得(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4= m2-4m+8=(m-2)2+4>0.
所以方程恒有两个不相等的实数根。
（2）解：把x=1代入方程可得1-(m+2)+(2m-1)=0，解得m=2，
把m=2代入方程可整理得x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3.
当1和3都是直角边的边长时，斜边长为 ，周长为4+ 。
当3是斜边长时，另一条边长是 ，周长为4+ 。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）方程的解与根的判别式有关，求出判别式的范围，再判断根的情况；（2）由于方程中有个未知数m，可以将x=1代入方程先求出m的解；再将m的值代入，解出一元二次方程的两个解，则分类讨论两个解分别是直角边还是斜边，求出第三条边，写出周长。
12．用适当的方法解下列方程
（1）（3x-1）2=（x+1）2 （2）x2－2x－3=0
（3） x2+6x=1 （4）用配方法解方程：x2－4x+1=0
【答案】(1) （3x-1）2=（x+1）2 9x2-6x+1=x2+2x+19x2-x2-(6x+2x)=08x2-8x=08x(x-1)=0解得：x1=0,x2=1（2）x2－2x－3=0（x-3）（x+1）=0解得：x1=3，x2=-1（3） x2+6x=1x2+6x-1=0x=解得：x1=，x2=（4）x2－4x+1=0[x-(2+)][x+(-2)]=0解得：x1=2+，x2=2-
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此题主要考查了街二元一次方程的方法，如有提取公因式法，配方法，公式法和因式分解法等，除此之外，解方程还有十字相乘法，换元法和添项去项法等等，总之一定要灵活选取解题方法。
13．（2020八下·丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax + cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0必有实数根；
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积。
【答案】（1）证明：△=( c) -4ab=2c -4ab，
∵a +b =c ，
∴2c -4ab=2(a +b )-4ab=2(a-b) ≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0必有实数根.
（2）解：当x=-1时，有a- c+b=0，即a+b= c，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴2a+2b+ c=12，即2(a+b)+ c=12，
∴c=2
∴a2+b2=c2=8
又∵a+b=4.
∴(a+b) =a +2ab+b2，即16=8+2ab，
∴ab=4，
∴S△ABC= ab=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）求出根的判别式△=b2-4ac=2c -4ab，结合a +b =c ，可得△=2(a-b) ≥0，据此判断即可；
（2）将x=-1代入方程中，可得a+b= c①， 由于四边形ACDE的周长是12，可得2a+2b+ c=12②，联立①②可求出c=2 ，从而可得a +b =c =12，由a+b=4，从而可得ab=4，
由△ABC的面积=ab，即可求出结论.
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册2.2一元二次方程的解法 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2020八下·房山期中）一元二次方程2x2＋6x＋3= 0 经过配方后可变形为（ ）
A． =6 B． =12
C． D．
2．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2021八下·拱墅月考）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞
C．m＞ 且m≠1 D．m≠1
5．（2019八下·莲都期末）关于x的方程 至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
6．（2017八下·三门期末）方程（x-1）(x+2)=0的解为 。
7．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= .
8．（2019八下·南浔期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
9．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
10．（2017八下·柯桥期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ．
三、解答题
11．（2017八下·湖州月考）已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根;
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根。并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
12．用适当的方法解下列方程
（1）（3x-1）2=（x+1）2 （2）x2－2x－3=0
（3） x2+6x=1 （4）用配方法解方程：x2－4x+1=0
13．（2020八下·丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax + cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0必有实数根；
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＋3= 0
∴
∴
∴
故答案为：C
【分析】先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数变为1，然后配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，
∴k=，b=﹣，
∴函数y=x﹣的图象不经过第二象限，
故选B．
【分析】首先利用因式分解法解一元二次方程求出k和b的值，然后判断函数y=x﹣ 的图象不经过的象限即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝8m﹣4＞0，
∴m＞ ，
∵m﹣1≠0，
∴m＞ 且m≠1，
故答案为：C.
【分析】 一元二次方程有两个不相等的实数根，即△>0，据此列式，结合一元二次方程的定义解答即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =（-8m）2-4m2·12=16m2≥0,又m≠0
∴无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，
∴x=,
∴x1=,x2=
∵ 关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,
∴m=1或2或3或6，
∴ 满足条件的m的值的个数是 4个。
故答案为：B。
【分析】首先算出根的判别式的值，根据偶数次幂的非负性及方程的定义得出无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，然后利用求根公式用含m的式子表示出方程的两个根，进而根据关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,即可得出符合条件的m的值，从而得出答案。
6．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-1）(x+2)=0，
∴x-1=0或x+2=0，
∴
故答案为 。
【分析】方程的左边已经是因式分解后的形式，即可得到x-1=0或x+2=0.
7．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，
∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，
∴m2﹣3m﹣10=0，
解得：m1=﹣2，m2=5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5；
故答案为：5．
【分析】设x2+y2=m，根据（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，得出m2﹣3m﹣10=0，再求出m的值，最后根据x2+y2≥0，即可得出答案．
8．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：△=b2-4ac=0,
∴（-4）2-4×2c=0,
∴8c=16, c=2 .
故答案为：2
【分析】一元二次方程有相等实数根的条件是△=0，据此列式即可求出c值。
9．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ,
∴a(x2+x+)=-c+ ,
∴a(x+)2= ,
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c, 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
10．【答案】﹣3
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3=5，
即x2+6x﹣2=0，
∵a=1，b=6，c=﹣2，
∴△=36﹣4×1×（﹣2）=44＞0，
则x= =﹣3 ，
故答案为：﹣3 ．
【分析】根据题意列出方程x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，公式法求解可得．
11．【答案】（1）解：由判别式可得(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4= m2-4m+8=(m-2)2+4>0.
所以方程恒有两个不相等的实数根。
（2）解：把x=1代入方程可得1-(m+2)+(2m-1)=0，解得m=2，
把m=2代入方程可整理得x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3.
当1和3都是直角边的边长时，斜边长为 ，周长为4+ 。
当3是斜边长时，另一条边长是 ，周长为4+ 。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）方程的解与根的判别式有关，求出判别式的范围，再判断根的情况；（2）由于方程中有个未知数m，可以将x=1代入方程先求出m的解；再将m的值代入，解出一元二次方程的两个解，则分类讨论两个解分别是直角边还是斜边，求出第三条边，写出周长。
12．【答案】(1) （3x-1）2=（x+1）2 9x2-6x+1=x2+2x+19x2-x2-(6x+2x)=08x2-8x=08x(x-1)=0解得：x1=0,x2=1（2）x2－2x－3=0（x-3）（x+1）=0解得：x1=3，x2=-1（3） x2+6x=1x2+6x-1=0x=解得：x1=，x2=（4）x2－4x+1=0[x-(2+)][x+(-2)]=0解得：x1=2+，x2=2-
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此题主要考查了街二元一次方程的方法，如有提取公因式法，配方法，公式法和因式分解法等，除此之外，解方程还有十字相乘法，换元法和添项去项法等等，总之一定要灵活选取解题方法。
13．【答案】（1）证明：△=( c) -4ab=2c -4ab，
∵a +b =c ，
∴2c -4ab=2(a +b )-4ab=2(a-b) ≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax + cx+b=0必有实数根.
（2）解：当x=-1时，有a- c+b=0，即a+b= c，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴2a+2b+ c=12，即2(a+b)+ c=12，
∴c=2
∴a2+b2=c2=8
又∵a+b=4.
∴(a+b) =a +2ab+b2，即16=8+2ab，
∴ab=4，
∴S△ABC= ab=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）求出根的判别式△=b2-4ac=2c -4ab，结合a +b =c ，可得△=2(a-b) ≥0，据此判断即可；
（2）将x=-1代入方程中，可得a+b= c①， 由于四边形ACDE的周长是12，可得2a+2b+ c=12②，联立①②可求出c=2 ，从而可得a +b =c =12，由a+b=4，从而可得ab=4，
由△ABC的面积=ab，即可求出结论.
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