2022年初中数学浙教版八年级下册2.2一元二次方程的解法 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·沙坪坝期末）一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（ ）
A．（x＋3）2＝5 B．（x＋3）2＝14
C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：B.
【分析】先把常数移到右边，然后两边同时加9将左式配成完全平方式即可.
2．（2021八上·平阳期中）一元二次方程 的是（ ）
A．1 B．0 C． -1或0 D．1或0
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 解： ，
x2-x=0，
x(x-1)=0，
∴x=0或x=1.
故答案为：D.
【分析】先移项，将右式化为0，然后用因式分解法解一元二次方程即可.
3．（2021八下·香坊期末）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴判别式
解得
故答案为：D．
【分析】因为一元二次方程 有两个相等的实数根，据此求出k的取值范围即可。
4．（2019八下·长春期末）已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c) 在第二象限，则关于 x 的方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】由于点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，求出判别式△=b2﹣4ac的值，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
5．（2019八上·嘉定月考）解关于 的方程 时,得到以下四个结论,其中正确的是（ ）
A．m为任意数时,方程总有两个不相等的实数根
B．m为任意数时,方程无实数根
C．只有当 =2时,方程才有两个相等的实数根
D．当 = 2时,方程有两个相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=m2+4(1 )(1+ )
=m2 4=0
此时m=±2
即当m=±2时，此时方程有两个相等的实数根。
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
二、填空题
6．方程 的根是 .
【答案】x1=-4，x2=4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】用开平方的方法解方程
【分析】移项得， =16，直接开平方得，x=4.
7．（2011八下·新昌竞赛）一元二次方程 可以配方成 .
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：∵
∴ ，
即 ，
∴
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并成一个非负常数即可。
8．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
9．（2019八上·昭通期末）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0有 个实数根．
【答案】两
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
∴此一元二次方程有两个实数根，
故答案为：两．
【分析】算出该方程根的判别式的值，由该值大于0即可得出结论：此一元二次方程有两个实数根。
10．（2017八下·宜兴期中）若 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】由 =0可得x-y=0，即x=y，所以 = .
【分析】因为已知条件的左边是一个完全平方式，可得x-y=0，所以x=y，把x=y代入所求的代数式可求解。
三、解答题
11．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程:
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
12．x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
【答案】解：把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】把2t+1看作一个整体，直接开平方得，2t+1=±3，所以2t+1=3，2t+1=-3，解这两个一元一次方程即可求解。
13．（2020八下·北京月考）已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】∵方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据方程有两个不等的实数根则根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
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一、单选题
1．（2021八下·沙坪坝期末）一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（ ）
A．（x＋3）2＝5 B．（x＋3）2＝14
C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14
2．（2021八上·平阳期中）一元二次方程 的是（ ）
A．1 B．0 C． -1或0 D．1或0
3．（2021八下·香坊期末）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·长春期末）已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c) 在第二象限，则关于 x 的方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．（2019八上·嘉定月考）解关于 的方程 时,得到以下四个结论,其中正确的是（ ）
A．m为任意数时,方程总有两个不相等的实数根
B．m为任意数时,方程无实数根
C．只有当 =2时,方程才有两个相等的实数根
D．当 = 2时,方程有两个相等的实数根
二、填空题
6．方程 的根是 .
7．（2011八下·新昌竞赛）一元二次方程 可以配方成 .
8．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
9．（2019八上·昭通期末）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0有 个实数根．
10．（2017八下·宜兴期中）若 ，则 .
三、解答题
11．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程:
（1）
（2）
（3）
（4）
12．x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
13．（2020八下·北京月考）已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：B.
【分析】先把常数移到右边，然后两边同时加9将左式配成完全平方式即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 解： ，
x2-x=0，
x(x-1)=0，
∴x=0或x=1.
故答案为：D.
【分析】先移项，将右式化为0，然后用因式分解法解一元二次方程即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴判别式
解得
故答案为：D．
【分析】因为一元二次方程 有两个相等的实数根，据此求出k的取值范围即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】由于点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，求出判别式△=b2﹣4ac的值，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=m2+4(1 )(1+ )
=m2 4=0
此时m=±2
即当m=±2时，此时方程有两个相等的实数根。
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
6．【答案】x1=-4，x2=4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】用开平方的方法解方程
【分析】移项得， =16，直接开平方得，x=4.
7．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：∵
∴ ，
即 ，
∴
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并成一个非负常数即可。
8．【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
9．【答案】两
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△=（-4）2-4×2×1=8＞0，
∴此一元二次方程有两个实数根，
故答案为：两．
【分析】算出该方程根的判别式的值，由该值大于0即可得出结论：此一元二次方程有两个实数根。
10．【答案】2.5
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】由 =0可得x-y=0，即x=y，所以 = .
【分析】因为已知条件的左边是一个完全平方式，可得x-y=0，所以x=y，把x=y代入所求的代数式可求解。
11．【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
12．【答案】解：把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】把2t+1看作一个整体，直接开平方得，2t+1=±3，所以2t+1=3，2t+1=-3，解这两个一元一次方程即可求解。
13．【答案】∵方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据方程有两个不等的实数根则根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
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