2022年初中数学浙教版八年级下册2.3一元二次方程的应用 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·长兴期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30-2x）（40-x）=600 B．（30-2x）（40-2x）=600
C．（30-x）（40-2x）=600 D．（30-x）（40-x）=600
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，矩形的长为40cm，宽为30cm，小正方形的边为x
∴由图可知，纸盒底面的宽度为（30-2x）cm，长度为（40-2x）cm
∴可列式子为，
故答案为：B.
【分析】此题考查的是根据题意列出一元二次方程式子，要审清题意，找出等量关系式，列出式子，避免出现审题错误，导致等量关系错误，列出的式子也是错误的.
2．（2021九上·恩施期末）如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（ ）
A．(40－x)(70－x)＝2450 B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450 D．(40－2x)(70－3x)＝350
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为x，
（40-2x）（70-3x）=（1- ）×70×40，
（40-2x）（70-3x）=2450.
故答案为：C.
【分析】设路宽为x，根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程，解方程可求解.
3．（2020九上·霍林郭勒期末）一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：本次比赛共有x个参赛棋手，
所以可列方程为： x（x 1）=45．
故答案为：A．
【分析】利用关系式：比赛场数=棋手总数×每个棋手需参赛的场数÷2，列方程即可。
4．（2021九上·宜宾期末）国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区逐渐走向了致富的道路.某地区 年底有贫困人口 万人，通过社会各界的努力， 年底贫困人口减少至 万人.设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意所列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 ，根据题意得
，
故答案为：B.
【分析】设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 ，根据用一元二次方程求百分率问题公式，其中a代表原式数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可.
5．（2021·阿勒泰模拟）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得 ， （舍）
∴每次降价得百分率为
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：原来每件的价格×（1-降低率）2=16，设未知数，列方程，然后求出符合题意的方程的解.
二、填空题
6．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，由题意得：
n（n+1）+1=n+2，
解得：n=±1，
∵自然数为非负数，
∴n=1，n+1=2，n+2=3，
最大的数是3.故答案为：3
【分析】最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，根据最大的一个数比另外两个数的积还大1，列出方程，求解并检验即可。
7．（2016·丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】60（1+x）2=100
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
【分析】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数，列出方程．设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
8．（2020八上·上海期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次 ， 小组共有x人 ，列方程求解即可。
9．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .
【答案】1+a+a2
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2
【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为，所以可得总数=主干+支干+小分支。
10．（2021八下·通州期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多 尺，门的对角线长 尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为 尺，根据题意，那么可列方程 ．
【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】设未知数，一般设题目中“比”“是”后面的量为未知数
三、解答题
11．（2020九上·宽城期末）如图，某课外活动小组利用一面墙(墙足够长)，另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB、BC的长。
【答案】解：设边AB的长为xm． 根据题意，得 ． 解得 ． ∴AB=5，BC=20-2×5=10． ∴边AB的长为5m，边BC的长为10 m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设边AB的长为xm ,根据等量关系，列出一元二次方程，即可求解.
12．（2019九上·江都期末）根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元
超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
【答案】解：设参加这次旅游的员工有x人.
∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.
当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.
答：A公司参加这次旅游的员工有40人.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
13．（2019·定兴模拟）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm．动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为lcm/s，那么运动几秒时，它们相距5cm．
【答案】解：设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm， 根据题意得：x2+（7﹣x）2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4． 答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm，根据勾股定理及PQ＝5cm，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
14．（2021八下·上城期末）圆圆想买一个蓝牙耳机，家边上数码城售卖的某款蓝牙耳机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某电商平台“618”搞活动，同款蓝牙耳机原价是300元，现在7折优惠，包邮到家.同时，数码城按照前两次的平均降价率进行第三次降价.请问：圆圆选择哪种方式购买比较合算？请通过计算说明.
【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1-x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）.
答：平均每次降价的百分率为20%.
（2）解：选择在数码城购买比较合算，理由如下：
在电商平台购买所需费用为300×0.7=210（元），
在数码城购买所需费用为256×（1-20%）=204.8（元）.
∵210＞204.8，
∴选择在数码城购买比较合算.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：原来每只售价×（1-降低率）2=现在每只售价，设未知数，列方程求解即可.
（2）分别求出在电商平台购买所需费用和在数码城购买所需费用，再比较大小即可作出判断.
15．（2021八下·杭州期末）某租赁公司有房屋 套.据统计，当每套房屋的月租金为 元时，可全部租出.每套房屋的月租金每增加 元，租出的房屋数将减少 套.
（1）当每套房屋的月租金定为 元时，能租出多少套？
（2）当每套房屋的月租金定价为多少元时，租赁公司的月租金可达到 元？
【答案】（1）解： （套）.
答：当每套房屋的月租金定为3500元时，能租出90套.
（2）解：设每套房屋的月租金定价为 元，则可租出 套房屋，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
答：当每套房屋的月租金定价为4500元或3500元时，租赁公司的月租金可达到315000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先求出减少的套数，然后利用100减去减少的套数即可；
（2）设每套房屋的月租金定价为x元，依题意得： ，求解即可.
16．（2021八下·龙湾期中）如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD＝2AB，设AB＝xcm．
（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH＝ cm，EF＝ cm；
（2）
若所制作的长方体纸盒的容积为1500cm3，求长方体纸盒的表面积．
【答案】（1）x-5；x-10
（2）解：容积为：，
解得x1=25；x2=-10（不合题意，舍去），
∴AB=25cm，
∴EF=15cm，EH=20cm，
故表面积为.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵AB=x，AD=2AB=2x，
又∵四边形EFGH和MNQP为长方形纸盒的上、下底面，
∴EH=FG=MN=PQ，
∴EH=x-5，EF=x-10；
故答案为：x-5；x-10.
【分析】（1）由长方体的性质可得EH=FG=MN=PQ，进而可以表示出EH和EF的长；
（2）根据长方体容积的计算方法即可求出x的值，进而由（1）结合表面积计算公式即可得出答案.
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册2.3一元二次方程的应用 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·长兴期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30-2x）（40-x）=600 B．（30-2x）（40-2x）=600
C．（30-x）（40-2x）=600 D．（30-x）（40-x）=600
2．（2021九上·恩施期末）如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（ ）
A．(40－x)(70－x)＝2450 B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450 D．(40－2x)(70－3x)＝350
3．（2020九上·霍林郭勒期末）一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
4．（2021九上·宜宾期末）国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区逐渐走向了致富的道路.某地区 年底有贫困人口 万人，通过社会各界的努力， 年底贫困人口减少至 万人.设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意所列方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·阿勒泰模拟）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
6．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是 ．
7．（2016·丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
8．（2020八上·上海期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程 ．
9．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .
10．（2021八下·通州期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多 尺，门的对角线长 尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为 尺，根据题意，那么可列方程 ．
三、解答题
11．（2020九上·宽城期末）如图，某课外活动小组利用一面墙(墙足够长)，另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB、BC的长。
12．（2019九上·江都期末）根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元
超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
13．（2019·定兴模拟）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm．动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为lcm/s，那么运动几秒时，它们相距5cm．
14．（2021八下·上城期末）圆圆想买一个蓝牙耳机，家边上数码城售卖的某款蓝牙耳机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某电商平台“618”搞活动，同款蓝牙耳机原价是300元，现在7折优惠，包邮到家.同时，数码城按照前两次的平均降价率进行第三次降价.请问：圆圆选择哪种方式购买比较合算？请通过计算说明.
15．（2021八下·杭州期末）某租赁公司有房屋 套.据统计，当每套房屋的月租金为 元时，可全部租出.每套房屋的月租金每增加 元，租出的房屋数将减少 套.
（1）当每套房屋的月租金定为 元时，能租出多少套？
（2）当每套房屋的月租金定价为多少元时，租赁公司的月租金可达到 元？
16．（2021八下·龙湾期中）如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD＝2AB，设AB＝xcm．
（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH＝ cm，EF＝ cm；
（2）
若所制作的长方体纸盒的容积为1500cm3，求长方体纸盒的表面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，矩形的长为40cm，宽为30cm，小正方形的边为x
∴由图可知，纸盒底面的宽度为（30-2x）cm，长度为（40-2x）cm
∴可列式子为，
故答案为：B.
【分析】此题考查的是根据题意列出一元二次方程式子，要审清题意，找出等量关系式，列出式子，避免出现审题错误，导致等量关系错误，列出的式子也是错误的.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为x，
（40-2x）（70-3x）=（1- ）×70×40，
（40-2x）（70-3x）=2450.
故答案为：C.
【分析】设路宽为x，根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程，解方程可求解.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：本次比赛共有x个参赛棋手，
所以可列方程为： x（x 1）=45．
故答案为：A．
【分析】利用关系式：比赛场数=棋手总数×每个棋手需参赛的场数÷2，列方程即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 ，根据题意得
，
故答案为：B.
【分析】设 年底至 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 ，根据用一元二次方程求百分率问题公式，其中a代表原式数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得 ， （舍）
∴每次降价得百分率为
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：原来每件的价格×（1-降低率）2=16，设未知数，列方程，然后求出符合题意的方程的解.
6．【答案】3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，由题意得：
n（n+1）+1=n+2，
解得：n=±1，
∵自然数为非负数，
∴n=1，n+1=2，n+2=3，
最大的数是3.故答案为：3
【分析】最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，根据最大的一个数比另外两个数的积还大1，列出方程，求解并检验即可。
7．【答案】60（1+x）2=100
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
【分析】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数，列出方程．设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次 ， 小组共有x人 ，列方程求解即可。
9．【答案】1+a+a2
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2
【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为，所以可得总数=主干+支干+小分支。
10．【答案】 或
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】设未知数，一般设题目中“比”“是”后面的量为未知数
11．【答案】解：设边AB的长为xm． 根据题意，得 ． 解得 ． ∴AB=5，BC=20-2×5=10． ∴边AB的长为5m，边BC的长为10 m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设边AB的长为xm ,根据等量关系，列出一元二次方程，即可求解.
12．【答案】解：设参加这次旅游的员工有x人.
∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.
当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.
答：A公司参加这次旅游的员工有40人.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
13．【答案】解：设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm， 根据题意得：x2+（7﹣x）2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4． 答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm，根据勾股定理及PQ＝5cm，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
14．【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1-x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）.
答：平均每次降价的百分率为20%.
（2）解：选择在数码城购买比较合算，理由如下：
在电商平台购买所需费用为300×0.7=210（元），
在数码城购买所需费用为256×（1-20%）=204.8（元）.
∵210＞204.8，
∴选择在数码城购买比较合算.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：原来每只售价×（1-降低率）2=现在每只售价，设未知数，列方程求解即可.
（2）分别求出在电商平台购买所需费用和在数码城购买所需费用，再比较大小即可作出判断.
15．【答案】（1）解： （套）.
答：当每套房屋的月租金定为3500元时，能租出90套.
（2）解：设每套房屋的月租金定价为 元，则可租出 套房屋，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
答：当每套房屋的月租金定价为4500元或3500元时，租赁公司的月租金可达到315000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先求出减少的套数，然后利用100减去减少的套数即可；
（2）设每套房屋的月租金定价为x元，依题意得： ，求解即可.
16．【答案】（1）x-5；x-10
（2）解：容积为：，
解得x1=25；x2=-10（不合题意，舍去），
∴AB=25cm，
∴EF=15cm，EH=20cm，
故表面积为.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵AB=x，AD=2AB=2x，
又∵四边形EFGH和MNQP为长方形纸盒的上、下底面，
∴EH=FG=MN=PQ，
∴EH=x-5，EF=x-10；
故答案为：x-5；x-10.
【分析】（1）由长方体的性质可得EH=FG=MN=PQ，进而可以表示出EH和EF的长；
（2）根据长方体容积的计算方法即可求出x的值，进而由（1）结合表面积计算公式即可得出答案.
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