2022年初中数学浙教版八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知．
【解答】根据题意有两根之积x1x2==-2．
故一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是-2．
故选B．
【点评】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x1x2=．
2．（2019八下·杭州期末）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，且有 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，
∴△=（3a+1）2-8a（a+1）=（a-1）2＞0， ， a≠0，
∴a≠1且a≠0 ，
∵ ，
∴ ，
解得a=±1，
∴a=-1.
故答案为：B.
【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根可知：其根的判别式的值应该等于0，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解即可得出x的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而代入 求解并检验即可得出a的值。
3．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
4．（2020八下·丽水期末）若关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
5．一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
当x2=1时，x1=﹣2，p=1；
当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．
故选C．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，将x1=﹣2x2代入，即可求出p的值．
6．（2021八下·嘉兴期末）小宁在研究关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0时，得到以下4个结论：
①若m＝4，则方程有两个相等的实数根；②若m＜0，则方程必有两个异号的实数根；③若m＜4，则方程的两个实数根不可能都大于2；④若m＜－5，则方程的两个实数根一个小于5，另一个大于5．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①若m＝4， △=16-4m=0，∴方程有两个相等的实数根，正确；②若m＜0，△=16-4m>0， 则方程有两个不相等的实数根，∵x1x2=m<0，方程有两个相异的实数根； ③若△=16-m2>0，方程有两个不相等的实数根，∵ x1+x2=4，∴方程的两个实数根有一个大于2， 但两个实数根不可能都大于2，正确；④若m＜－5， △=16-4m>0，∴方程有两个不相等的实数根，∵ x1+x2=4， x1x2=m<-5，∴方程一根为正，一根为负， 方程的两个实数根一个小于5，另一个大于5，正确；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的判别式的正负性判断①根据一元二次方程的判别式和两根之积为负进行判断 ② ；根据一元二次方程的判别式和两根之和等于4进行判断③；根据一元二次方程的判别式，结合两根之和等于4和两根之积小于-5判断 ④ .
二、填空题
7．若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 ＝ 。
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】
【分析】设方程两根为、，因为两个根互为倒数，所以=1，由根与系数的关系可得，=，则=1，解得m=，当 m =时 ， Δ = 4 (-2 ) < 0，不符合题意；当 m = 3 时 ， Δ = 4 ( 2 ) > 0，所以m= .
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为 ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，
∴a2﹣a﹣3=0，
∴a2=a+3，
∴a2+b+3=a+3+b+3
=a+b+6，
∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，
∴a+b=1，
∴a2+b+3=1+6=7．
故答案为7．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．
9．（2020八下·长兴期末）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是 。
【答案】x2+x-6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，
∴x2-（-3+2）x+2×（-3）=0
∴x2+x-6=0
故答案为：x2+x-6=0.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1，x2是关于x的方程x2-（x1+x2）x+x1·x2=0的两个根，代入计算可得方程。
10．已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，则a= 。
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，
∴ ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵方程： ， ，
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数求出，再将转化为，然后代入建立关于a的方程，求出方程的解即可。
11．（2015八上·永胜期末）已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有 个．
【答案】6；2
【知识点】分式有意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，
∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，
∴a=6；
当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，
∵a＜6，
∴△=25﹣4a＞0，
故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，
即使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6，2．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
三、解答题
12．已知关于x的方程x2+5x-p2=0，
（1）求证:无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，;
（2）设方程两个实数根为x1、x2，当x1+x2= x1x2时，求p的值
【答案】（1）证明:
因为无论p取何值时,总有p2≥0，
所以，25+ p2>0,
所以无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，
（2）解：由题意得，x1+x2＝-5，x1x2＝- p2
因为，x1+x2=
x1x2，
所以，-5＝- p2
所以， .
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程总有两个不相等的实数根，即方程根的判别式大于零，将判别式利用完全平方公式进行化简，即可进行判断；
（2）根据方程根与系数的关系，即可得到p的值。
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2
（1）求m的取值范围并证明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根据求根公式，
∴；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后计算x1x2；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2两边平方得到（x1﹣x2）2=4，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．
14．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．
【答案】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1 x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．
15．（2020八下·德清期中）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k＝0有两个实数根x1、x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1 x2+1取得最小值，并求出该最小值.
【答案】（1）解：方程整理得：x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0，
∵△＝4（k+1）2﹣4（k2+2k）＝4＞0，
∴实数k的取值范围是任意实数
（2）解：根据题意得：x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2k，
∴x12+x22﹣x1 x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝4（k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+2k+5＝（k+1）2+4，
∴当k＝﹣1时，代数式x12+x22﹣x1 x2+1取得最小值，该最小值为4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算方程判别式的值，再根据判别式的情况解答即可；（2）先根据一元二次方程根与系数的关系把已知代数式变形为k2+2k+5，再配方为（k+1）2+4，进而可得结果.
16．（2021八下·拱墅期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-
、x1x2=
，于是﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，则可得方程②，解方程②可求解；
（2）由题意把x=r代入方程①并变形可得 + +1＝0，根据一元二次方程的根的意义可求解；
（3）由等式a2b+b＝0可得b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，则可求解.
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
2．（2019八下·杭州期末）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，且有 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
3．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
4．（2020八下·丽水期末）若关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
6．（2021八下·嘉兴期末）小宁在研究关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0时，得到以下4个结论：
①若m＝4，则方程有两个相等的实数根；②若m＜0，则方程必有两个异号的实数根；③若m＜4，则方程的两个实数根不可能都大于2；④若m＜－5，则方程的两个实数根一个小于5，另一个大于5．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 ＝ 。
8．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为 ．
9．（2020八下·长兴期末）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是 。
10．已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，则a= 。
11．（2015八上·永胜期末）已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有 个．
三、解答题
12．已知关于x的方程x2+5x-p2=0，
（1）求证:无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，;
（2）设方程两个实数根为x1、x2，当x1+x2= x1x2时，求p的值
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2
（1）求m的取值范围并证明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．
14．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．
15．（2020八下·德清期中）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k＝0有两个实数根x1、x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1 x2+1取得最小值，并求出该最小值.
16．（2021八下·拱墅期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知．
【解答】根据题意有两根之积x1x2==-2．
故一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是-2．
故选B．
【点评】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x1x2=．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，
∴△=（3a+1）2-8a（a+1）=（a-1）2＞0， ， a≠0，
∴a≠1且a≠0 ，
∵ ，
∴ ，
解得a=±1，
∴a=-1.
故答案为：B.
【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根可知：其根的判别式的值应该等于0，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解即可得出x的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而代入 求解并检验即可得出a的值。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
当x2=1时，x1=﹣2，p=1；
当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．
故选C．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，将x1=﹣2x2代入，即可求出p的值．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①若m＝4， △=16-4m=0，∴方程有两个相等的实数根，正确；②若m＜0，△=16-4m>0， 则方程有两个不相等的实数根，∵x1x2=m<0，方程有两个相异的实数根； ③若△=16-m2>0，方程有两个不相等的实数根，∵ x1+x2=4，∴方程的两个实数根有一个大于2， 但两个实数根不可能都大于2，正确；④若m＜－5， △=16-4m>0，∴方程有两个不相等的实数根，∵ x1+x2=4， x1x2=m<-5，∴方程一根为正，一根为负， 方程的两个实数根一个小于5，另一个大于5，正确；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的判别式的正负性判断①根据一元二次方程的判别式和两根之积为负进行判断 ② ；根据一元二次方程的判别式和两根之和等于4进行判断③；根据一元二次方程的判别式，结合两根之和等于4和两根之积小于-5判断 ④ .
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】
【分析】设方程两根为、，因为两个根互为倒数，所以=1，由根与系数的关系可得，=，则=1，解得m=，当 m =时 ， Δ = 4 (-2 ) < 0，不符合题意；当 m = 3 时 ， Δ = 4 ( 2 ) > 0，所以m= .
8．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，
∴a2﹣a﹣3=0，
∴a2=a+3，
∴a2+b+3=a+3+b+3
=a+b+6，
∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，
∴a+b=1，
∴a2+b+3=1+6=7．
故答案为7．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．
9．【答案】x2+x-6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，
∴x2-（-3+2）x+2×（-3）=0
∴x2+x-6=0
故答案为：x2+x-6=0.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1，x2是关于x的方程x2-（x1+x2）x+x1·x2=0的两个根，代入计算可得方程。
10．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，
∴ ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵方程： ， ，
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数求出，再将转化为，然后代入建立关于a的方程，求出方程的解即可。
11．【答案】6；2
【知识点】分式有意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，
∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，
∴a=6；
当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，
∵a＜6，
∴△=25﹣4a＞0，
故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，
即使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6，2．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
12．【答案】（1）证明:
因为无论p取何值时,总有p2≥0，
所以，25+ p2>0,
所以无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，
（2）解：由题意得，x1+x2＝-5，x1x2＝- p2
因为，x1+x2=
x1x2，
所以，-5＝- p2
所以， .
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程总有两个不相等的实数根，即方程根的判别式大于零，将判别式利用完全平方公式进行化简，即可进行判断；
（2）根据方程根与系数的关系，即可得到p的值。
13．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根据求根公式，
∴；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后计算x1x2；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2两边平方得到（x1﹣x2）2=4，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．
14．【答案】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1 x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．
15．【答案】（1）解：方程整理得：x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0，
∵△＝4（k+1）2﹣4（k2+2k）＝4＞0，
∴实数k的取值范围是任意实数
（2）解：根据题意得：x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2k，
∴x12+x22﹣x1 x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝4（k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+2k+5＝（k+1）2+4，
∴当k＝﹣1时，代数式x12+x22﹣x1 x2+1取得最小值，该最小值为4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算方程判别式的值，再根据判别式的情况解答即可；（2）先根据一元二次方程根与系数的关系把已知代数式变形为k2+2k+5，再配方为（k+1）2+4，进而可得结果.
16．【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-
、x1x2=
，于是﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，则可得方程②，解方程②可求解；
（2）由题意把x=r代入方程①并变形可得 + +1＝0，根据一元二次方程的根的意义可求解；
（3）由等式a2b+b＝0可得b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，则可求解.
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