2021-2022学年浙教版八年级数学下册1.2二次根式的性质 解答题专题训练（word版含解析）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《1-2二次根式的性质》解答题专题训练（附答案）
1．已知﹣1≤a﹣3≤0，化简：．
2．点A，B在数轴上对应实数a，b的位置如图，化简．
3．计算：
（1）；
（2）．
4．阅读下列过程，回答问题．
（1）通过计算下列各式的值探究问题：＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　；探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　．
（2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++．
5．已知：x，y为实数，且，化简：．
6．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：
题目：若代数式+的值是1，求m的取值范围．
解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，
当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；
当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件；
当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；
所以，m的取值范围是1≤m≤2．
请你根据小明的做法，解答下列问题：
（1）当3≤m≤5时，化简：+＝　 　；
（2）若代数式﹣的值是4，求m的取值范围．
7．已知：如图：
化简：．
8．探究题：
＝_　 　，＝　 　，＝　 　，
＝　 　，＝　 　，02＝　 　，
根据计算结果，回答：
（1）一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则＝　 　；
②＝　 　；
（3）若a，b，c为三角形的三边，化简++．
9．设的小数部分为a，的小数部分为b，求（a﹣1）（b+2）的值．
10．计算：
（1）
（2）
（3）已知，求的值．
11．像...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
；再如：
．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝　 　，＝　 　；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
12．实践与探索
（1）填空：＝　 　；＝　 　．
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示．
13．求的值．
解：设x＝，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝3++3﹣+4，x2＝10．
∴x＝±．
∵＞0，
∴＝．
请利用上述方法，求的值．
14．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．
15．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以
，问题：
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，即＝m，，那么便有：＝　 　．
（3）化简：（请写出化简过程）．
16．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如3＝（）2，5＝（）2，下面我们观察：（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2；反之，3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2，∴3﹣2＝（﹣1）2，∴＝﹣1．
（1）化简．
（2）化简．
（3）化简．
（4）若＝±，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由．
17．①计算＝（　 　），＝（　 　），＝（　 　）．
②探索规律，对于任意的有理数a，都有＝（　 　）．
③有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简
．
18．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7．
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
19．观察，猜想，证明．
观察下列的等式
①；②；③…
（1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
（2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程．
20．在化简式子a+时，李东的解答过程如下：
解：a+
＝a+（第一步）
＝a+（1﹣a）（第二步）
＝1（第三步）
（1）李东的解答过程错在第　 　步；
（2）若其中a＝，给出正确的化简过程，并求值．
参考答案
1．解：∵﹣1≤a﹣3≤0，
∴2≤a≤3，
∴a+1＞0，a﹣4＜0，
∴原式＝a+1+（4﹣a）＝a+1+4﹣a＝5．
2．解：由数轴可得：a+b＜0，a＞0，a﹣b＞0，
故原式＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）+a+b
＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b+a+b
＝﹣2a+b．
3．解：（1）原式＝3+﹣﹣
＝3+﹣﹣2
＝+；
（2）原式＝3﹣+
＝3﹣2+3+2
＝6．
4．解：（1）＝2，＝0，＝，＝3；
当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．
故答案为：2，0，，3，a，﹣a；
（2）由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣1＜a+b＜0，
故原式＝﹣a+b﹣（a+b）
＝﹣a+b﹣a﹣b
＝﹣2a．
5．解：依题意，得
∴x﹣1＝0，解得：x＝1
∴y＜3
∴y﹣3＜0，y﹣4＜0
∴
＝3﹣y﹣
＝3﹣y﹣（4﹣y）
＝﹣1．
6．解：∵3≤m≤5，
∴+＝|m﹣3|+|m﹣5|
＝m﹣3﹣（m﹣5）
＝m﹣3﹣m+5
＝2；
故答案为2；
（2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，
当m＜2时，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合条件；
当2≤m≤6时，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合条件；
当m＞6时，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合条件；
所以m的取值范围是m≥6．
7．解：由已知a＜b＜0，b﹣c＜0，a+b＜0，a+c＜0，
则原式＝﹣a+a+b﹣b+c﹣a﹣c＝﹣a．
8．解：＝3，＝0.5，＝6，＝，＝，02＝0；
（1）不一定等于a．当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．
（2）①＝2﹣x；
②＝π﹣3.14；
（3）++＝a+b﹣c+c+a﹣b+b+c﹣a＝a+b+c．
9．解：的整数部分为3，则a＝5﹣﹣3＝2﹣，
的整数部分为6，则b＝5+﹣6＝﹣1．
把a、b代入代数式，则有
（a﹣1）（b+2）＝（1﹣）（1+）＝1﹣3＝﹣2．
故答案为2．
10．解：（1）＝2+﹣+
＝；
（2）＝×b2××（﹣）×a×
＝；
（3）＝（﹣）×x
＝﹣
∵，∴x2＝3+2
＝﹣
＝．
11．解：（1）＝＝＝＝．
＝＝＝＝﹣3．
（2）∵＝m2+5n2＝a+6．
∴．
∵m，n，a均为正整数．
∴或．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
12．解：（1）＝3，＝5．
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．
故答案为：a，﹣a；
（3）由数轴可得x的取值范围为2＜x＜4，
∴原式＝（x﹣2）﹣（x﹣4）＝2．
13．解：设X＝，
两边平方得：X2＝（）2+2+（）2，
即X2＝9++2×8+9﹣，X2＝34，
∴X＝，
∵，
∴＝．
14．解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，
∴原式＝﹣
＝|c﹣2|﹣|c﹣8|
＝c﹣2﹣（8﹣c）
＝c﹣6．
15．解：（1）；＝＝＝；
故答案为：+1；；
（2）＝＝＝；
故答案为：；
（3）＝＝＝＝．
16．解：（1）＝＝+1．
（2）＝＝+1．
（3）＝＝＝﹣1．
（4）
理由：把＝±两边平方，得a±2＝m+n±2，
∴
17．解：①＝2，＝，＝2．
故答案为：2，，2．
②＝|a|．
故答案为：|a|．
③由数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴
＝a﹣b+c﹣（a﹣b）+a﹣c
＝a﹣b+c﹣a+b+a﹣c
＝a．
18．解：（1）我框的是2，9，16，
＝
＝
＝7；
（2）证明：设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，
＝
＝
＝
＝7．
19．解：（1）猜想：，
验证：右边＝＝左边；
（2）第n﹣1个等式：；
证明：右边＝＝左边．
20．解：（1）错在第二步，
故答案为：二
（2）∵，
当a＝时，1﹣a＜0，，
当a＝时，
原式＝a+a﹣1
＝2a﹣1
＝×2﹣1＝4．